初中人教版22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质教学设计

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1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
【新课讲解】
知识点1：利用二次函数解决实物抛物线形问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)实际问题。
（2）建立二次函数模型。
（3）利用二次函数的图象和性质求解。
（4）确定实际问题的解。
【例题1】有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；
【答案】见解析。
【解析】设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
知识点2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题
【例题2】悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
【答案】见解析。
【解析】根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a•4502+0.5.
解得
故所求表达式为
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
解：当x=450－100=350（m）时，得
当x=450－50=400（m）时，得
拱桥问题和运动中的抛物线过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
1．(8分)图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？
【答案】
【解析】建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0).
∵图象经过点（2，-2），
∴-2=4a，
解得：.
∴.
当y=-3时，.
答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．
2．（8分）抛物线形桥拱的跨度为米，拱高为米，求桥拱的函数关系式．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系，
∵AB=6
∴AO=3
∴点A的坐标为（-3,0）
可设所求解析式为，
由抛物线过和得：
解得：
∴抛物线解析式为（答案不唯一）．
【点睛】此题考查的是二次函数的应用，建立适当的坐标系，并利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．
3．（10分）有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时宽20，水位上升3就达到警戒线，这时水面宽度为10.
（1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式.
（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2的速度上升）
【答案】（1）；（2）再持续5到达拱桥顶.
【解析】（1）设所求抛物线的解析式为.
设，则，
把、的坐标分别代入，
得解得
∴.
（2）∵，
∴
∴拱桥顶到的距离为1，.
故再持续5到达拱桥顶.
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，将实际问题抽象成二次函数的问题．
4．（10分）某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；
（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（2）500（3）n=620时，w最大=19200元
【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入即可求解；
（2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由题可知D（2,0），E（0,1）
代入到
得
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入，得y=
∴N（1，）
∴MN=m，
∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=，
则一扇窗户的价格为×50=75元
因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；
（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000,
∵一个月最多生产160个，
∴100+20×≤160
解得n≥620
∵-2＜0
∴n≥620时，w随n的增大而减小
∴当n=620时，w最大=19200元．
【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
5．（10分）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）利用现以O点为原点，抛物线最大高度为6米，底部宽度OM为12米，得出点M及抛物线顶点P的坐标即可；
（2）利用顶点式将P点M点代入求出抛物线解析式即可．
【详解】（1）∵其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，
∴点M及抛物线顶点P的坐标分别为：M（12，0），P（6，6）．
（2）设抛物线解析式为：，
∵抛物线经过点（0，0），
∴，即，
∴抛物线解析式为：，即．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求二次函数解析式，利用数形结合得出抛物线解析式是解题关键．
6．（10分）某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示.
(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
(2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由
【答案】（1）；（2）不能通过.
【分析】（1）根据图中数据假设适当的解析式，用待定系数法求解；
（2）车从中间过，即x＝1.5，代入解析式求出y值后，比较即可．
【详解】
(1)如图，设抛物线对应的函数关系式为y=ax2
抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，
所以抛物线过点A(−3,−3)，
代入得−3=9a，
解得a=−，
所以函数关系式为
(2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，
将x=1.5代入抛物线方程，得y=−0.75，
此时集装箱角离隧道的底为5−0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25<4.5.
从而此车不能通过此隧道.
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键．
7．（10分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆贷车能否安全通过？
【答案】(1) y=﹣x2+8；（2）货运卡车能通过，理由见解析.
【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y=ax2+6，再有条件求出a的值即可；
（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．
【详解】（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
设抛物线的解析式为y=ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入
64a+8=6
解得：a=﹣．
抛物线的解析式为y=﹣x2+8．
（2）根据题意，把x=±4代入解析式，
得y=7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴货运卡车能通过．
8．（10分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度．他先测出门的宽度AB＝8 m，然后用一根长为4 m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC＝1 m．小强画出了如图的草图，请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1 m)．
【答案】门的高度约为9.1m
【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE长．
【详解】解：由题意得，抛物线过点、、，
设，
把代入，
得，
解得，
．
令得，即，
门的高度约为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．
9.（12分）如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB为26m，当水位上涨1m时，抛物线拱桥的水面宽CD为24m．现以水面AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？
【答案】见解析。
【解析】（1）设抛物线的解析式为
y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵对称轴为y轴，
∴y0，
∴b＝0，
∴y＝ax2+c，由题意得，抛物线过点（13，0），（12，1），
把 ，，
代入得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为yx2；
（2）由题意得，把x＝5代入yx2y，
∴点F的坐标为F（5，），
∴MH＝OM﹣OH1m，
∵1m＜1.5m，
∴此时水面超过警戒水位．
10.（12分）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA＝12米，OB＝4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【答案】见解析。
【解析】（1）根据题意，顶点D的坐标为（6，10），点B的坐标为（0，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+10，
把点B（0，4）代入得：36a+10＝4，
解得：a，
即所求抛物线的解析式为：y（x﹣6）2+10，
（2）由图象可知，高度越高，两排等间的距离越近，
把y＝8代入y（x﹣6）2+10得：
（x﹣6）2+10＝8，
解得：x1＝6+2，x2＝6﹣2，
所求最小距离为：x1﹣x2＝4，
答：两排灯的水平距离最小是4米，
（3）根据题意，当x＝6.25+4＝10.25时，
y（10.25﹣6）2+106.5，
∴能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车能安全通过隧道．