数学人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义精品巩固练习

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5.1导数的概念及其意义同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是   

A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D. 在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同．

2. 设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

3. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为

A.  B.  C.  D.

5. 曲线在点处的切线方程为

A.  B.  C.  D.

6. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义设是函数的导函数，若，对，且，总有，则下列选项正确的是   

A.  B.
C.  D.

7. 已知曲线上一点，，则在点处的切线的倾斜角为

A.  B.  C.  D.

8. 曲线在点处切线为，则等于    

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是

A.  B.
C.  D.

10. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是

A.  B.
C.  D.

11. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是

A.  B.
C.  D.

12. 设是可导函数，且，则

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知曲线上两点，，当时，割线的斜率是          ；当时，割线的斜率是          ．
14. 过曲线上两点和作曲线的割线，当时，割线的斜率       ，当时，割线的斜率       ．
15. 函数在区间上的平均变化率为          ，在处的导数为          ．
16. 已知函数，则      ；曲线在点处的切线方程为      ．
17. 汽车的路程与时间的函数关系：，则汽车在秒时的瞬时速度为      ；加速度为      ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

18. 已知曲线上的一点，用切线斜率定义求：

点处的切线的斜率；

点处的切线方程．






 

19. 已知函数图象上两点、．

若割线的斜率不大于，求的范围；

求函数的图象在点处切线的方程．






 

20. 已知曲线，求曲线上一点处的切线的斜率及切线方程．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知曲线．

若曲线在点处的切线与直线平行且距离为，求直线的方程

求与曲线相切，并过点的直线方程．






 

22. 已知曲线上一点的横坐标为，求：
    在点处的切线的斜率；
    在点处的切线方程．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数

求曲线在点处的切线方程；

求证：






 

24. 过曲线上两点和作曲线的割线，求当时割线的斜率，并求曲线在点处的切线斜率．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知函数．

用导数的定义求出函数的导函数；

过点作曲线的切线，求此切线的方程．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象与性质、平均变化率以及瞬时变化率的定义，属于中档题．
根据图象，结合平均变化率以及瞬时变化率的定义，即可判断出结论．

【解答】

解：从图象可以看出，当时刻，两个函数的函数值相同，即甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；
在时刻，两个函数切线斜率不同，即甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，故B不正确；
在，时，两图像相交，故连接两点的直线斜率相等，故甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，故C正确
在，两个时间段内，图象上连接两点的斜率不同，故甲血管中药物浓度的平均变化率不相同．故D正确．
故选B．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查导数的概念与几何意义，属基础题．
设点，根据导数的定义利用极限的方法求得在处的切线的斜率关于的表达式，结合已知求得的值，代入函数解析式得到纵坐标．

【解答】

解：设点，，
 ，
令，，则．
故选B．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了导数的概念和几何意义，函数图像的应用，属于基础题．
由题意知函数是上单调递增的凸函数，逐项分析即可得解．
【解答】
解：，则函数在上单调递增，且，，A错误；
对，，且，总有，则是凸函数，
不妨假设的图像如图所示：

且反映了函数图象上各点处的切线斜率，
由图可知，，B错误；
，表示点和点的连线的斜率，
由图可知，，C错误，D正确．
故选D．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查极限的定义的应用，曲线在某处切线斜率的意义，属于基础题．
根据极限的运算法则的应用，曲线在某处切线斜率的意义即可求出．
【解答】
解：在点处的切线的斜率为，
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
求得函数的导数，可得切线的斜率，
运用点斜式方程可得切线的方程．
【解答】
解：因为函数的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即为．
故选B．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了导数的概念和几何意义，函数图像的应用，属于基础题．
由题意知函数是上单调递增的凸函数，逐项分析即可得解．

【解答】

解：，则函数在上单调递增，且，
，A错误；
对，，且，总有，则是凸函数，
不妨假设的图像如图所示：

且反映了函数图象上各点处的切线斜率，
由图可知，，B错误；
，表示点和点的连线的斜率，
由图可知，，C正确，D错误．
故选C．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的定义，考查函数导数的几何意义，属于简单题．
根据导数的几何意义可求得切线斜率，再利用斜率定义可求结果．
【解答】
解：设，
过点的切线的斜率为，
设切线的倾斜角为，则，
因为，
所以．
故选B．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查导数的定义以及几何意义，根据导数的定义得到导数值，结合其几何意义即可求解．

【解答】

解：由题意可得，而，

故选C．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义，函数的单调性，属于基础题．
，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，可得结果．
【解答】 
解：由函数的图像可知：当时，单调递增，
 ，，，
而，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，
由图可知．
即．
故选A．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义，函数的单调性，属于基础题．
，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，可得结果．
【解答】 
解：由函数的图像可知：当时，单调递增，
 ，，，
而，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，
从而有．
即．
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义，函数的单调性，属于基础题．
，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，可得结果．
【解答】 
解：由函数的图像可知：当时，单调递增，
 ，，，
而，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，
由图可知．
即．
故选A．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查导数的定义，属于基础题．
根据导数的定义，即可求出．
【解答】
解：
，
所以．
故选B．  

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了导数的基本概念，根据导数的概念求解即可，属于基础题．
由平均变化率为割线的斜率，代入解析式计算求解即可．
【解答】
解：，

，

割线斜率为，

当时，割线的斜率，

当时，

割线的斜率，

故答案为，

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查函数的导数的应用，割线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．
利用函数的导数的几何意义，转化求解函数的割线的斜率即可．
【解答】
解：          ， 
    ， 割线斜率为 ，
当  时，割线的斜率．
当  时，割线的斜率．
故答案为    ．  

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查函数变化的快慢与变化率及某点处的导数，属于基础题．
利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间上的平均变化率，再求，将代入即可．

【解答】

解：在区间上的平均变化率为．
因为，所以在处的导数为．
故答案为，．

16.【答案】

【解析】

【分析】
【分析】
本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式，考查计算能力，属于基础题．
将代入函数，即可得的值；求出，即可求得斜率为，利用点斜式即可得到所求切线方程，问题得解．
【解答】
解：由，
得．
又，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：；．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了导数的概念与几何意义的运用，属于基础题．
根据汽车在秒时的瞬时速度为，加速度为，对进行求导运算即可求解．
【解答】
解：由导数的几何意义可知，汽车在秒时的瞬时速度为，加速度为，
易知，，
汽车在秒时的瞬时速度为，
汽车在秒时的加速度为，
故答案为；．  

18.【答案】解：，
．

当无限趋近于零时，无限趋近于，

即点处的切线的斜率是．

切线方程为．

即．

【解析】本题考查利用导数的概念求切线斜率，属于基础题．
根据定义可得结果；
利用点斜式方程求解即可得结果．
 

19.【答案】解：由题意得，割线的斜率为

，

由，得，

又因为，所以的取值范围是．

由知函数的图象在点处切线的斜率为

，

又，

所以切线的方程为，

即．

【解析】本题考查导数的概念以及几何意义；
由题意得，割线的斜率为，由已知解析式代入化简得到所求．

由知函数的图象在点处切线的斜率为

，利用点斜式求出切线方程．

20.【答案】解：设，，

则，

当无限趋近于时，无限趋近于，
所以曲线在点处的切线斜率是．

切线方程为，即．

【解析】本题主要考查的是导数的几何意义，属于基础题．
结合导数的几何意义直接求解．
 

21.【答案】解：因为，

所以，

所以切线的斜率为，切线方程是，即．

设，则，

所以，所以或，

所以直线的方程为或．

因为点不在曲线上，设切点为，则有．

又由，知，所以所求的直线的斜率为，

所以切线方程为．

又，，所以，

故切线方程为．

【解析】本题考查导数的基本概念，导数的几何意义以及两平行直线间的距离．
由导数的基本概念，导数的几何意义可求得切线的斜率为，切线方程
是再由平行线间距离公式可得，即可求解；

因为点不在曲线上，设切点为，则有可得，

所以切线方程为又，，联立求解，即可得答案．

22.【答案】解：由导数公式可得，
故斜率为，
当时，，即切点坐标为，
切线方程为，
即．
 

【解析】本题考查利用导数求切线斜率，属于基础题．
先求导，再代入即可得结果；
利用点斜式方程求解即可得结果．
 

23.【答案】解：依题意，，

故有，

故所求切线方程为，即．

由得整理得，

化简得，

令，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，即恒成立，

所以恒成立．

【解析】本题考查导数的切线方程以及不等式证明，属于中档题．

对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程

由化简得，由导数可知存在极小值点，即最小值，即可证明原不等式．

24.【答案】解：，

由斜率公式得割线的斜率为，

当时，割线的斜率为，

曲线在点处的切线斜率为．

【解析】本题考查导数的概念以及导数的几何意义，求出函数在处函数值的增量，由两点连线的斜率公式可求得割线的斜率，由函数值的增量与自变量的增量的极限求得切线的斜率．
 

25.【答案】解：
，

，
设切点坐标为，
则切线方程为，
切线过点，
，
化简得，即
或．
切线的方程：或．
 

【解析】本题考查了导数的基本概念和导数的几何意义，是基础题．
计算，再取极限可得函数的导函数；
设切点坐标为，利用导数的几何意义得到切线的点斜式方程，将点代入方程，解得，即可得解．