2022年中考数学一轮导向练习《等腰三角形和直角三角形》（含答案）

这是一份2022年中考数学一轮导向练习《等腰三角形和直角三角形》（含答案），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知等腰三角形三边中有两边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为( )
A．13 B．17
C．22 D．17或22
解析 若腰长是4，则三边为4，4，9，∵4＋4＜9，∴不能组成三角形，∴舍去；若腰长为9，则三边为9，9，4，∵4＋9＞9，∴能组成三角形．∴等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.故选C.
答案 C
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＋BC＝8.将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB，AC交于点D，F，连结BF，则△BCF的周长是 ( )
A．8 B．16
C．4 D．10
解析 由折叠可得FB＝FA，∴△BCF的周长＝BC＋CF＋FB＝BC＋CF＋FA＝BC＋AC.∵AB＝AC，∴△BCF的周长＝BC＋AB＝8，故选A.
答案 A
3. 如图，圆柱形纸杯高8 cm，底面周长为12 cm，在纸杯内壁离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ( )
A．2eq \r(3) B．6eq \r(2)
C．10 D．以上答案都不对
解析 如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连结A′C，则A′C即为最短距离，由题意可得出：A′D＝6 cm，CD＝8 cm，A′C＝eq \r(A′D2＋CD2)＝eq \r(62＋82)＝10，故选C.
答案 C
4．点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为( )
A．1 B．4 C．7 D．10
解析 应该有十个点：①内部一个，是三角形的中心P；②外面有九个，在直线AP上有三个点P1，P2，P3，满足AP1＝AB，AP2＝AB，BP3＝AB.同理，在直线BP上有三个点，在直线CP上有三个点满足条件．故选D.
答案 D
5．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )
A．10 B．4eq \r(5)
C．10或4eq \r(5) D．10或2eq \r(17)
解析 ∵AC⊥BC，FD⊥BC，
∴FD∥AC.∵AF＝BF，
∴CD＝BD，∴AC＝2FD.分两种情况：(1)BC＝8，AC＝4，由勾股定理得AB＝eq \r(82＋42)＝eq \r(80)＝4eq \r(5)；(2)BC＝8，AC＝6，由勾股定理得AB＝eq \r(82＋62)＝eq \r(100)＝10.故选C.
答案 C
6．下列图案是由斜边相等的等腰直角三角形按照一定的规律拼接而成的．依此规律，第8个图案中的三角形与第一个图案中的三角形能够全等的共有________个．( )
A．49 B．64 C．65 D．81
解析 第2个图案中，有4＝22个三角形与第一个图案全等；第3个图案中，有9＝32个三角形与第一个图案中的三角形全等；根据上面的规律，可猜想第8个图案中有64个三角形与第一个图案中的三角形全等．故选B.
答案 B
二、填空题
7．如图，等边△ABC的边长为2，BC边上的高交BC于D，过点D作DE⊥AB于点E，则AE的长是______．
解析 ∵△ABC是等边三角形，AD是高，AB＝BC＝AC＝2，∴BD＝CD＝1.在Rt△ADB中，AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).又∵S△ADB＝eq \f(1,2)×BD×AD＝eq \f(1,2)×AB×DE，∴DE＝eq \f(1×\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).在Rt△ADE中，由勾股定理：AE＝eq \r(AD2－DE2)＝eq \r(（\r(3)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(3,2).
答案 eq \f(3,2)
8．已知eq \r(x－5)＋|y－12|＋(z－13)2＝0，则由x，y，z为三边组成的三角形是________．
解析 ∵eq \r(x－5)＋|y－12|＋(z－13)2＝0，eq \r(x－5)≥0，|y－12|≥0，(z－13)2≥0，∴x－5＝y－12＝z－13＝0，解得x＝5，y＝12，z＝13.∵x2＋y2＝52＋122＝25＋144＝169，z2＝132＝169，∴x2＋y2＝z2，∴由x，y，z为三边组成的三角形是直角三角形．
答案 直角三角形
9. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是________尺．
解析 将圆柱平均分成五段，将最下边一段圆柱的侧面展开图画出，并连结其对角线即为每段的最短长度＝eq \r(32＋42)＝5，所以葛藤的最短长度为5×5＝25尺，故答案为25.
答案 25
10．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝eq \r(2)；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝eq \r(3)；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2 016＝________．
解析 ∵OP1＝eq \r(2)，OP2＝eq \r(3)，OP3＝eq \r(（\r(3)）2＋1)＝2，
OP4＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，
依此类推可得OPn＝eq \r(n＋1)，
∴OP2 016＝eq \r(2 017).
答案 eq \r(2 017)
三、解答题
11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，BC为边在三角形外作等边△ABD和△BCE，连结AE和DC相交于点M.
(1)试判断AE和DC的数量关系，说明理由．
(2)求∠CME的度数．
解 (1)AE＝DC.理由如下：
∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴AB＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°.
∴∠ABE＝∠DBC＝150°.
∴△ABE≌△DBC.∴AE＝DC.
(2)∵△ABE≌△DBC，
∴∠MEB＝∠MCB.
∴∠CME＝180°－∠MCE－∠MEC＝180°－∠MCB－∠BCE－∠MEC＝180°－∠MEB－∠BCE－∠MEC＝180°－∠BCE－∠BEC＝180°－60°－60°＝60°.
12．勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
(1)请根据图1中直角三角形叙述勾股定理；
(2)以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)．请你利用图2，验证勾股定理；
(3)利用图2中的直角梯形，我们可以证明eq \f(a＋b,c)