3.8 对数运算及对数函数（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份3.8 对数运算及对数函数（精讲+精练+原卷+解析），共34页。主要包含了题组一 对数运算，题组四 对数比较大小，题组七 反函数等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·全国高三月考（理））已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，，所以.故选：A.
2．（2021·山西临汾市·高三）已知，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．9
【答案】C
【解析】由题知，，，
则，则故选：C
3．（2021·江西高三）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得：，
.故选：B.
4．（2021·全国高三）已知函数，若，则的值为（ ）
A．2B．4C．0D．-2
【答案】B
【解析】由，可得，故，即.
注意到当，且时，，所以.
故选：B.
5．（2021·黑龙江哈尔滨市）已知函数，则（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【解析】由题意．故选：D．
6．（2021·全国高三月考）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，，，
则，，
所以，，，，所以，故选：B.
7．（2021·陕西高三三模（文））若函数，则（ ）
A．-6B．6C．-4D．4
【答案】B
【解析】
，，，
，，故选：B
8．（2021·河南开封市·高三三模）若，且，则的值可能为（ ）
A．B．C．7D．10
【答案】D
【解析】设，则且，
，
，
，所以．
故选：D．
9．（2021·江苏南通市·海门市第一中学）计算：___________.
【答案】
【解析】
故答案为：
化简求值
；
（2）1.
（3）．
（4）
【答案】（1）（2）1（3）4（4）2
【解析】（1）原式=；
（2）（2）原式
（3）原式＝．
（4）
.
【题组二 对数函数的三要素】
1．（2021·全国课时练习）已知对数式（Z）有意义，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知:，解之得:且.
∵Z，∴的取值范围为.故选：C.
2．（2021·江苏）已知函数的值域为R．则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】的值域为R
令，则
的值域必须包含区间
当时，则
当时，符合题意；
当时，不符合题意；
当时，，解得
，即实数的取值范围是
故选：A
3．（2021·北京高三一模）函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】解：由题意得，解得，
∴函数的定义域为，
故答案为：．
4．（2021·四川成都市·高三月考）函数在上的值域为___________．
【答案】
【解析】函数在定义域上单调递增.
当时，;
当时，，
，
所以的值域为.
故答案为：
5．（2021·全国高三专题练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，，而函数在上的值域为，
所以结合函数的图像，可得的取值范围是.
【题组三 对数函数的性质】
1．（2021·山东泰安市）已知函数满足①定义域为；②值域为R；③．写出一个满足上述条件的函数______．
【答案】（答案为唯一）
【解析】的定义域为，值域为，且，因此符合题意．故答案为：
2．（2021·全国高三月考）已知函数，若有最小值，则实数的范围是______．
【答案】
【解析】因为时，，若有最小值，则单调递减，并且满足，解得，所以实数的范围是．
故答案为：
3．（2021·安徽高三）已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】若，则，解得，此时，；
若，则，可得，解得.
综上，.
若，由可得，可得，解得，此时；
若，由可得，可得，解得，此时，.
综上，满足的的取值范围为.
故选：D.
4．（多选）（2021·全国高三）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【答案】AC
【解析】对于A，由题意知对恒成立，
由于当时，不等式不恒成立，所以．
当时，由解得，所以A正确；
对于B，若函数的值域为，则，显然不为0，
则函数的最小值为4，则当时，
，解得，所以B错误；
对于C，若函数在区间上为增函数，则在上为增函数，且在内的函数值为正，所以解得，所以C正确；
对于D，若，则不等式等价于，
则，解得，所以D不正确．
故选：AC．
【题组四 对数比较大小】
1．（2021·全国高三月考）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
，
，即.
故选：D.
2．（2021·河南郑州市·高三二模）已知实数，，满足，则下列不等式中不可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，实数满足，可得，所以，，
当时，，，此时，故B可能成立；
当时，，，此时，故A可能成立；
当时，，，此时，故C可能成立；
所以由排除法得D不可能成立．
故选：D.
3．（2021·安徽高三）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，
；
，，
，
，
故选：A.
4．（2021·千阳县中学）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
，，
所以，即
所以
故选：A
5．（2021·安徽高三一模）已知函数f(x)=e|lnx|，，b=f(lg2)，c=f(21.2)，则（ ）
A．b>c>aB．c>b>a
C．c>a>bD．b>a>c
【答案】B
【解析】
所以
故选：B
6．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（文））已知对数函数的图象经过点与点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设对函数（，且），
由对数函数的图象经过点与点，可得，解得，
所以函数，则，
则，
所以.
故选：D.
7．（2021·天津高三其他模拟）已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数且在区间上单调递增，
可得函数在上单调递减，
因为，，
因为是定义在上的偶函数，可得，
所以.
故选：B.
8．（2021·安徽宿州市·高三三模）已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】定义域为，，
为偶函数，，
当时，，
与在均单调递增，在上单调递增，
，
，即.
故选：A.
9．（2021·山东高三其他模拟）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】构造函数，，当时，，
单调递增，所以，.
故选：A
10．（2021·全国高三其他模拟）已知，，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】法一：因为，所以.
因为函数在定义域上单调递增，
所以，即，
因为，所以函数在上单调递增，
所以.
法二：取，，则，，，
因为，且函数在定义域上单调递增，
所以.
故选：A.
【题组五 对数函数的图像】
1．（2020·全国高三）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.故选：D
2．（多选）（2021·山东潍坊市·高三三模）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由图可得，即，
单调递减过点，故A正确；
为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选：ABD.
3．（2021·全国高三二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据图象得函数定义域为，图象关于轴对称，即为偶函数．
对于A选项，，排除；
对于B选项，函数定义域为，排除；
对于C选项，函数定义域为，，故函数为非奇非偶函数，排除；
对于D选项，函数符合图象要求．
故选：D
4．（2021·四川高三三模）函数及，则及的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，单调递减，单调递减，所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C.
当时，单调递减，单调递增，所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上.
∴当时，单调递增；当时，单调递减，故只有B符合要求.
故选：B.
5．（2021·浙江高三三模）函数的部分图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由不等式，解得或，
即函数的定义域为，可排除C；
当时，令，解得，可排除A；
当时，，所以，排除B，
故选：D.
6．（2021·江西九江市·高三三模（文））函数，的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
，
所以为偶函数，排除D；
当时，，，，
，选A.
故选：A
7．（2021·浙江高二期末）已知函数，则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由可得，排除C，
令，则，所以函数只有一个零点，故排除B 、D两项，
故选：A
8．（2020·泰州市第二中学）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，，所以，即为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除A、B；
又，故排除C；
故选：D
【题组六 对数函数的综合运用】
1．（多选）（2020·重庆巴蜀中学高三月考）函数，关于下列说法正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为
C．为减函数D．为非奇非偶函数
【答案】ABCD
【解析】选项,由，得，所以选项正确；
选项，由，得，所以，所以选项正确；
选项,在定义域内单调递减，在定义域内单调递减，所以选项正确；
选项,定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以选项正确.故选：ABCD.
2．（多选）（2020·湖北高三学业考试）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．在区间上是增函数
C．的最大值为0D．在内有2个零点
【答案】AC
【解析】的定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故正确；
因为在上是增函数，在上是减函数，
所以时，取得最大值，故不正确，正确；
由得，得，得，即在内只有一个零点，故不正确.
故选：AC
3．（多选）（2021·辽宁大连市·高三一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称
C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则
D．令，若，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【解析】由题意函数，
因为恒成立，即函数的定义域为，
又因为，所以不是奇函数，所以错误；
将的图象向下平移两个单位得到，
再向左平移一个单位得到，
此时，所以图象关于点对称，
所以的图象关于对称，所以B正确；
将函数的图象向左平移一个单位得，
因为，
即，所以函数为奇函数，
所以函数关于点对称，
所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值，
则，所以C正确；
由，可得，
由，
设，，
可得，所以为减函数，
可得函数为减函数，
所以函数为单调递减函数，
又由为减函数，所以为减函数，
因为关于点对称，
所以，即，
即，解得，所以D正确.
故选：BCD.
4（2021·全国高三二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上为增函数B．函数的值域为
C．函数是奇函数D．函数是偶函数
【答案】D
【解析】根据题意，函数，其定义域为，
有，所以函数是偶函数，则正确，错误，
对于，，不是增函数，错误，
对于，，
设，当且仅当时等号成立，则的最小值为2，故，即函数的值域为，，错误，
故选：D
5．（2021·全国高三专题练习）函数，若正实数、满足，且在区间上的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，正实数、满足，
，且，，
，解得，
又在区间上的最大值为，
易知，此时，，
故选：A．
6．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））已知、分别是函数、的零点，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【解析】根据题意，已知、分别是函数、的零点，
函数的零点为函数与的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为，
函数的零点为函数与的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为，
又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，
而直线也关于直线对称，则点和也关于直线对称，则有，则有，
故选：C.
7．（2021·四川成都市·高三三模）已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，即，得，则，
则且，，
由．
当且仅当，时，等号成立，
故选：C
8．（2021·全国高三）已知函数恒过定点A，则过点且以A点为圆心的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数，当时，
所以函数恒过定点A

所以过点且以A点为圆心的圆的方程为
故选：B
9．（2021·浙江高三专题练习）若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知关于的不等式在恒成立，
所以当时，函数的图象不在的图象的上方，
由图可知，解得.
故选：A
10．（2020·天水市第一中学高三月考）已知函数（且）的图象恒过点，且点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质，易知点，故，
所以．
故选：D．
11．（2020·全国高三专题练习）已知函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数f(x)的图像知函数f(x)是偶函数，且当x=1时，f(1)=0.
是偶函数，但是f(1)≠0，不正确；
是奇函数，不满足题意，不正确；
是偶函数，f(1)=0，但当x∈(0，1)时，，不满足题意，不正确.
故选：C.
12．（2021·定远县育才学校高三其他模拟（理））正项等比数列中，已知，那么（ ）
A．4042B．2021C．4036D．2018
【答案】B
【解析】正项等比数列中，，
，
∴
．
故选：B．
13（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅,是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，可得，即，，
当时，地震的最大振幅为，
当时，地震的最大振幅为，
所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是.
故选：B.
14．（2021·福建南平市·高三二模）克劳德·香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献．技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，则，
又，，
故选：B．
【题组七 反函数】
1．（2021·上海华师大二附中高三三模）若，则的定义域是（ ）
A．RB．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以的值域为，
所以的定义域为，
故选：C
2．（2021·上海）将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与原图象关于对称，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象的解析式是，它的图象与原图象关于直线对称，则其反函数就是原函数．
由得，即反函数为，
所以，即．
故选：C．
3．（2021·上海市青浦高级中学高三三模）函数__________.
【答案】
【解析】由题设知：，
∴.
故答案为：.
4．（2021·上海高三二模）已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．
【答案】
【解析】与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图像经过点，
则的图像经过点，所以，
即，解得.
故答案为：.
5．（2021·上海）已知函数的反函数的图象的对称中心，则实数的值为_____________．
【答案】2
【解析】由题意函数的对称中心是，令得，
此时，对称中心是，满足题意．
故答案为：2．
6．（2020·上海专题练习）已知函数y=f（x）是奇函数，当时，f（x）=－1，设f（x）的反函数是，则g（－8）=______________．
【答案】－2
【解析】设x时，，．又∵f（x）是奇函数，
∴f（－x）=－f（x），即．∴，
∴f（x）=，∴=

故答案为：－2