3.9 幂函数（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份3.9 幂函数（精讲+精练+原卷+解析），共34页。主要包含了题组一 幂函数，题组二 二次函数等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·浙江）幂函数在为增函数，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】为幂函数，，解得：或；
当时，，则在上为减函数，不合题意；
当时，，则在上为增函数，符合题意；
综上所述：.故选：B.
2．（2021·安徽高三二模）函数，其中，，为奇数，其图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对任意，，由于，为奇数，当时，，此时，
当时，，此时，排除AC选项；
当时，任取、且，则，，所以，
所以，函数在上为增函数，排除D选项.
故选：B.
3．（2021·北京高三其他模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题得.
函数是上的增函数.
因为，，
所以，
所以，
所以.
故选：A
4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【答案】A
【解析】∵函数是幂函数，
∴，解得：m= -2或m=3．
∵对任意，，且，满足，
∴函数为增函数，
∴，
∴m=3（m= -2舍去）
∴为增函数．
对任意，，且，
则，∴
∴．
故选：A
5．（2021·浙江丽水市·高三期末）在同一个直角坐标系下，函数，，且）图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质，可得：
当时，函数为定义域上的单调的递减函数，
函数为定义域上的单调递增函数且上凸，所以ACD项不符合，B项符合；
当时，函数为定义域上的单调的递增函数，
函数为定义域上的单调递增函数且下凸，所以ABCD项都不符合.
故选：B.
6．（2021·安徽高三一模（理））设，，则a，b，c的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数 在上为减函数，又
所以，即
因为函数 在上为增函数，
所以，即，所以
故传：A
7．（2020·肥东县综合高中高三月考）已知幂函数，在上单调递增.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，，此时满足在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，不合题意.
所以.
因为，，，
且，所以，
因为在上单调递增，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以.
故选：A
8．（2021·江苏无锡市·高三一模）若则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】①当或0时，成立；
②当时，，可有，解得；
③当且时，
若，则，解得
若，则，解得
所以
则原不等式的解为，
故选：B
9．（2021·湖北武汉市·高三月考）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
所以，故有.
故选：C
10．（2021·山东高三专题练习）已知点在幂函数的图象上，则函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以，则，
又点在幂函数的图象上，所以，得，
函数化为.
令，由，得，
因为外函数为定义域内的减函数，
而内函数的对称轴为，且在上为增函数，
所以函数的单调减区间为.
故选：A.
11．（2021·浙江高三专题练习）已知函数,若存在区间,使得函数f(x)在区间 上的值域为则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的单调性可知，，即可得到，即可知是方程的两个不同非负实根，所以，解得．
故选：D．
12．（2021·山西阳泉市·高三三模）已知点在幂函数图像上，设，，，则、、的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为点在幂函数图像上
所以，所以
即，
，，
即
为R上的单调递增函数
所以
所以选A
【题组二 二次函数】
1．（2021年新疆）已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1，0)，则函数的解析式为f(x)＝________．
【答案】eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x－eq \f(5,9)
【解析】法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝－2，,\f(4ac－b2,4a)＝－1，,a＋b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,9)，,b＝\f(4,9)，,c＝－\f(5,9)，))所以所求解析式为f(x)＝eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x－eq \f(5,9).
法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝－2，,4a－2b＋c＝－1，,a＋b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,9)，,b＝\f(4,9)，,c＝－\f(5,9)，))
所以所求解析式为f(x)＝eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x－eq \f(5,9).
法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，
将点(1，0)代入，得a＝eq \f(1,9)，所以f(x)＝eq \f(1,9)(x＋2)2－1，即f(x)＝eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x－eq \f(5,9).
2．（2021年山东）已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式f(x)＝____________．
【答案】x2－4x＋3
【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象经过点(4，3)，∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)·(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
3．（2021·全国高三专题练习）函数满足下列性质：
（）定义域为，值域为．
（）图象关于对称．
（）对任意，，且，都有．
请写出函数的一个解析式__________（只要写出一个即可）．
【答案】
【解析】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式，
此时对称轴为，开口向上，满足（），
因为对任意，，且，都有，
等价于在上单调减，
∴，满足（），
又，满足（），故答案为．
4．（2021·全国高三专题练习）若二次函数在区间上的最大值为6，则（ ）
A．B．或5C．或-5D．
【答案】C
【解析】显然，有，
当时，在上的最大值为，
由，解得，符合题意；
当时，在上的最大值为，
由，解得，
所以的值为或-5.
故选：C
5．（2021·全国高三专题练习）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为
A．16B．18C．25D．
【答案】B
【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..
6．（2021·全国高三专题练习）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，即的值域为[1,2]，
因为对于任意，总存在，使得成立，
所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，
当时，在上为增函数，所以，所以，
所以，解得，
当时，在上为减函数，所以，所以
所以，解得，
综上实数a的取值范围是，
故选：C
7．（2021·浙江杭州市·杭十四中高三其他模拟）已知二次函数有两个不同的零点，若有四个不同的根，且成等差数列，则不可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】设的两个不同零点为m，n，且m>n，
所以，，且，
又因为有四个不同的根，
所以对应的根为，对应的根为，
所以，，
所以，
同理，
因为成等差数列，
所以，则
所以，解得，
因为m>n，所以，解得，
所以，
所以当时，有最大值，
所以不可能为3.
故选：D
8．（2021·浙江金华市·高三三模）已知实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】解法一：由得到，则，
所以，
令则，
所以两边平方得在上有解，
所以解得：或（舍去），
时，函数，
其中的对称轴为，，满足在上有零点，满足题意，
所以的最小值.
解法二：设，则，
如图，作O关于直线的对称点,
设，因为，解得，
如图所以
故选：A.
9．（2021·北京北大附中高三其他模拟）已知函数.若，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意可知，函数在上是增函数，则，解得.
故选：B.
10．（2021·全国高三其他模拟）已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则（ ）
A．3B．C．1D．2
【答案】D
【解析】由题意知，得，整理得，所以，所以，，
令，则．易知在上是增函数，所以．
因为在上的最小值是1，所以在上的最小值是1，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，不合题意，舍去．
综上，，
故选：D．
【题组三 二次函数最值的分类讨论】
1．（2021·全国高三专题练习）已知函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)，且ymax＝a2，求实数a的取值范围．
【答案】[－1，0]．
【解析】∵y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2(0≤x≤1)，
∴函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴为x＝－a．
又∵ymax＝a2，且0≤x≤1，
∴当，即时，，解得；
当，即时，，此时；
当，即时，，解得；
综上：实数a的取值范围是[－1，0]．
2．（2021·全国高三专题练习）已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求实数a的取值范围．
【答案】．
【解析】由题可知2ax2＋2x－3