4.1 切线方程（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份4.1 切线方程（精讲+精练+原卷+解析），共34页。主要包含了在型求切线方程，过型求切线方程，已知切线求参数，切线与其他知识综合运用等内容，欢迎下载使用。

常见考法
考点一 导数的运算
【例1-1】（2021·陕西榆林市）求下列函数的导数：
； （2）； （3）；
（4）； （5）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
（4）；（5）.
【解析】（1）因为， 所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）∵，∴.
（5）∵，∴.
【例1-2】（2021·四川攀枝花市·高三一模）已知函数，则（ ）
A．B．C．6D．14
【答案】C
【解析】，则，则，故选：C
【方法总结】
求导基本原则：先化简再求导
常见求导形式
（1）连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导
（2）三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
（3）分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
（4）根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导
（5）对数形式：化为和、差形式，再求导
（6）复合函数：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
【一隅三反】
1．（2021·山东高三专题练习）已知函数，那么（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】由题意，，所以.故选：A.
2．（2021·全国高三）若函数满足，，则的值为（ ）
A．1B．2C．0D．
【答案】C
【解析】因为所以
令时有解得：故选：C
3.（2021·全国高三专题练习）求下列函数的导数：
（1）； （2）. （3）y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
（4）； （5）y＝. （6）；
（7）y＝x－sin2xcs2x； （8）y＝excsx； （9）y＝.
（10） （11） （12）y＝(x2＋2x－1)e2－x.
【答案】（1）；（2）.
；（4）；（5）.
（6）y′＝18x2＋4x－3；（7）y′＝1－2cs4x；（8）y′＝ex(csx－sinx)；（9）y′＝；（10）y′；（11）y′＝；（12）y′＝(3－x2)e2-x.
【解析】（1）；
.
（3）因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4；
（4）因为，所以；
（5）.
（6）因为＝6x3＋2x2－3x－1，所以y′＝18x2＋4x－3；
（7）因为y＝x－sin2xcs2x，所以，所以；
（8）y′＝(excsx)′＝(ex)′csx＋ex(csx)′＝excsx－exsinx＝ex(csx－sinx)；
（9）y′＝＝＝＝；
（10）y′＝；
（11）y′＝＝＝；
（12）y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)(－e2－x)＝(3－x2)e2－x.
考点二 在型求切线方程
【例2】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，当时,
所以在点处的切线方程,由点斜式可得 化简可得故选:D
【一隅三反】
1．（2021·江西抚州市·临川一中）曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，则，而当时，，
故所求切线方程为，即.故选：D.
2．（2021·辽宁高三）已知，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】由得，
可得曲线在点处的切线的斜率为，切点为，
则切线的方程为，即.故答案为：.
3．（2021·全国高考真题）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．故切线方程为．
故答案为：．
考点三 过型求切线方程
【例3】（2021·全国高三）若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.
②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.
∵A在曲线上，∴，∴，∴，∴，
解得或 (舍去)，∴，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，即.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.故选：D
【一隅三反】
1．（2021·合肥市第八中学）曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．
【答案】
【解析】由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以故答案为：
2．（2021·全国高三）过点作曲线的切线，则切线方程为
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，设切点为则 ，
∴切线方程为 ，
∵切线过点，∴−ex0＝ex0(e−x0)，解得： ．
∴切线方程为 ，整理得：.故选C.．
3．（2021·定远县育才学校）已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．
【答案】
【解析】，设切点坐标为，则，，所以切线方程为，且该直线过点，所以，得，得，所以切线方程为.
故答案为：
考点四 已知切线求参数
【例4】（1）（2021·重庆）曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．0C．1D．2
（2）（2021·四川眉山市）若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．1
（3）（2021·全国高三专题练习）已知函数，过点可作曲线的三条切线，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）D（2）C（3）D
【解析】（1）的导数为，
可得在点处的切线的斜率为，由切线与直线垂直，可得，
解得，故选：．
（2）由，则切点为
求导，则切线斜率，
切线方程为，即
则
令，则，令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故当时，函数取得最小值，即的最小值为故选：C
设切点坐标，
∵，∴∴曲线在处的切线斜率为
又∵切线过点，∴切线斜率为，∴
即 ①
∵过点可作曲线的三条切线，
∴方程①有3解．
令，
则图象与x轴有3个交点，
∴的极大值与极小值异号
，令，得或1，
∴，即（m＋3）（m＋2）＜0解得−3＜m＜−2故选：D．
【一隅三反】
1．（2021·江西高三）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
因为在点处的切线与直线平行，所以，解得，故选：A
2．（2021·山西晋城市·高三三模）函数的图象的切线斜率可能为（ ）
A．-4B．-3C．-2D．-1
【答案】D
【解析】因为(当时等号成立)，所以切线的斜率可能为，
故选：D.
3．（2021·福建厦门市·厦门双十中学）若直线是曲线的切线，则实数________．
【答案】
【解析】由直线方程知：恒过定点；
令，则，
设直线与曲线相切于点，则，
又，，解得：，.故答案为：.
4．（2021·重庆八中高三）已知定义在上的函数满足，若曲线在点处的切线斜率为2，则（ ）
A．1B．C．0D．2
【答案】C
【解析】设，则，．
由，解得，从而，故选: C．
5．（2021·全国高三）已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）
【答案】A
【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，
，即方程有两个解，则有或.
故答案为:A.
考点五 切线与其他知识综合运用
【例5】（1）（2021·浙江金华市·高三三模）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）D（2）B
【解析】（1）因为，由于，所以，
根据导数的几何意义可知： ,所以，故选：D.
（2）依题意，的展开式中各项系数就是对应项的二项式系数，即,
由二项展开式中二项式系数的对称性知：，
所以原等式为
求导得，
取x=1得，
所以.
故选：B
【一隅三反】
1．（2021·浙江杭州市·高三专题练习）已知函数的图像在处的切线斜率为，且当时，此切线过点，则的值为．
A．8B．16C．32D．64
【答案】D
【解析】由题,故.又当时,此切线过点,此时斜率,故切线方程为,且与相切.
联立方程得.显然.
故判别式.
故是以为首项,公比为2的等比数列.故.故.
故选：D
2．（2021·全国高三月考（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则原式为，
∴两边求导，可得：，
∴时，有.
故选：D.
3．（2021·陕西西安市·高三一模（文））已知点是曲线在点处的切线上一点，则的最小值为（ ）
A．4B．9C．5D．16
【答案】B
【解析】由得，则，而
所以f(x)在点处的切线方程为：，
时，
，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值是9.
故选：B
4．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）函数图象上一点到直线的最短距离为___________.
【答案】
【解析】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为，
因为，则，所以，则切点坐标为，
最短距离为点到直线的距离，
即为.
故答案为：