第23讲-数列的概念及简单表示法（解析版）学案

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 第23讲-数列的概念及简单表示法
一、 考情分析
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
二、 知识梳理
1.数列的定义
按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N+
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
[微点提醒]
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
三、 经典例题
考点一　由数列的前几项求数列的通项
【例1-1】 （2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（文））数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，
由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为，选C.
【例1-2】已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　)
A.an＝(－1)n－1＋1 B.an＝
C.an＝2sin D.an＝cos(n－1)π＋1
【解析】对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不合题意.
【例1-3】已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________.
【解析】各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，
故原数列可变为－，，－，，…，
故其通项公式可以为an＝(－1)n·.
规律方法　由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理.
考点二　由an与Sn的关系求通项
【例2-1】（2020·全国高三（文））数列的前项和,则的通项公式 _____.
【解析】当时,；
当时,；
∴
故答案为
【例2-2】（2020·北京高三二模）已知数列的前n项和，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【解析】由数列的前n项和，
当时，，
则.
故选：B.
规律方法　数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.
易错警示　在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出an＝2n(n∈N+).
考点三　由数列的递推关系求通项　
【例3-1】（2020·全国高三月考（理））已知数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为数列的前项和为，，，
当时，；
把代入检验，只有答案AB成立，排除CD；
当时，；排除B；
故选：A ．
【例3-2】（2020·安徽省舒城中学高一月考（理））已知数列满足， ，则__________．
【解析】因为，
所以
===
【例3-3】（2020·全国高三（文））已知数列满足，，则= ．
【解析】，，累和得
规律方法　由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
易错警示　本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.
考点四　数列的性质
【例4-1】（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【解析】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
【例4-2】（2020·黑龙江省高三零模（理））已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有，据此有：，综上可得2 本题选择D选项.
【例4-3】（2020·上海高三专题练习）已知数列的通项公式为，则数列中的最小项为（ ）.
A． B． C． D．
【解析】因为,
所以,
所以,
当且仅当取“=”.
又因为.
当时,.
当时,.
所以数列中的最小项为.
故选：C.
【例4-3】（2020·全国高三其他（理））已知数列的前项和为，且，数列满足，则数列的最小值为______.
【答案】
【解析】由，得，
当时，.
因为也适合上式，所以.
由题意知，故当，即时，
规律方法　1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.
2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.
[方法技巧]
1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.
2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法：
(1)算出前几项，再归纳、猜想.
(2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.
(3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为＝f(n)型，则采用累乘法.
3.解决数列问题应注意三点
(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数.
(2)数列的通项公式不一定唯一.
(3)注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.
4.数列{an}中，若an最大，则an≥an－1且an≥an＋1；若an最小，则an≤an－1且an≤an＋1.
四、 课时作业
1．（2020·河北省高一期中）数列，…的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，排除A，C，由，排除B.
故选：D.
2．（2020·周口市中英文学校高二期中（理））数列满足 ，，则等于(　　)
A． B．－1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】n=1时，
所以数列的周期是3，所以.
3．（2020·河北省唐山一中高一期中）数列满足，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】n=1时，
n=2时，
n=3时，
n=4时，
4．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）在数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【解析】依题意，故数列是周期为的周期数列，故，故选A.
5．（2020·全国高三（文））设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因该函数的对称轴,结合二次函数的图象可知当,即时,单调递增,应选C.
6．（2020·全国高三（文））在数列中，，，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】因为，，所以，
，所以数列是以为周期的周期数列，所以，故选D．
7．（2020·金华市江南中学高一期中）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．-10 B．6 C．10 D．14
【答案】C
【解析】由题可知：
则
8．（2020·辽宁省高三月考（理））若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．若是递增数列，则，
B．若是递减数列，则，
C．若，则
D．若，则是等比数列
【答案】D
【解析】A选项中，，满足单调递增，故A错误；
B选项中，，满足单调递减，故B错误；
C选项中，若，则，故C错误；
D选项中，，所以是等比数列.故D正确.
9．（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（文））数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，
由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为，选C.
10．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
【答案】B
【解析】由a1>0，且an＋1＝an，则an>0.
又＝<1，∴an＋1 因此数列{an}为递减数列，选B.
11．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．181 B．191 C．201 D．211
【答案】B
【解析】由题意可知既是2的倍数，也是5的倍数，即是10的倍数，
则，故．
12．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）已知数列满足：，，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【解析】数列满足：，，
，，，
数列是周期为3的周期数列，
又 ，
.
13．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.

若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列，的前n项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列的最大项是 D．数列的最大项是
【答案】C
【解析】因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即，所以不是递增数列，所以选项A错误;
因为2月23日新增确诊病例数为0，所以，所以数列不是递增数列，所以选项B错误;
因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列的最大项是，所以选项C正确;
数列的最大项是最后项，所以选项D错误,
14．（2020·黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高一期中）已知数列满足：，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵
∴，
∴ ，
∵
∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
∴.
15．（2020·广西壮族自治区北流市实验中学高三开学考试（理））已知数列满足：，，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵数列满足：，，
∴，
∴当n≥2时，an＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1
＝
=，
∴．
16．（2020·浙江省绍兴一中高一期中）在数列中，，则等于
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】知逐一求解．故选D
17．（2020·全国高二）等比数列的前项和，则等于（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】B
【解析】根据题意，等比数列的前项和，
则，
，
，
则有，解可得；
18．（2020·定远县民族学校高一月考）已知数列满足，则（ ）
A．1024 B．1023 C．2048 D．2047
【答案】B
【解析】因为，即，
所以．
19．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三三模（文））“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到，得到即终止运算，己知正整数经过次运算后得到，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或或
【答案】A
【解析】设经过第次运算后变为，可知，，，，
，则，，
若为奇数，则，得，不合乎题意，所以，为偶数，且.
若为奇数，则，得，不合乎题意；
若为偶数，则.
若为奇数，则，可得；
若为偶数，则.
综上所述，或.
20．（2020·黑龙江省哈师大附中高三月考（理））已知数列中的前项和为，，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
时，

若为偶数，，（为奇数），
若为奇数且，则，
所以（为偶数），
为奇数时，，
此时，，所以，
为偶数时，，
此时，所以，
对任意恒成立，，故选：B
21．（2020·吉林省实验高一期中）已知数列中，，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．一定为等差数列
B．一定为等比数列
C．可能为等差数列，但不会为等比数列
D．可能为等比数列，但不会为等差数列
【答案】C
【解析】，
，
，
若，则数列为等差数列；
若，则数列为首项为，公比为4的等比数列，，
此时（），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.
综上，数列可能为等差数列，但不会为等比数列.
22．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）数列中，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，，对任意，都有成立，
当时，可知数列单调递增，不符合题意；
当时，若对任意，都有成立，
则，即，解得：，
，
此时，数列在上递减，上递增，或在上递减，上递增，
故符合题意，
所以实数的取值范围为.
23．（多选题）（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知数列满足，，，，若存在正整数，，使得等式成立，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】时，，而，
∴
故A选项正确
∴，即
∴
故C选项正确，B选项错误
假设存在正整数，，使得等式成立
∴
化简整理得，
令，解得
取，时，成立
24．（多选题）（2020·山东省高三一模）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
【答案】BCD
【解析】由即为，
可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，即，
又，可得，
故错误，，，正确．
25．（多选题）（2018·山东省山东师范大学附中高二学业考试）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AD
【解析】①, 与题设矛盾.
②符合题意.
③与题设矛盾.
④ 与题设矛盾.
得，则的最大值为.
B，C，错误.
26．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）已知数列的前项和为．
（1）求出它的通项公式；
（2）求使得最小时的值.
【解析】（1）当时，；
当时,

也适合此式，.
（2）
又因为是正整数，所以当或8时，最小.
27．（2020·江西省宜春实验中学高二期中（文））下面图形都是由小正三角形构成的,设第个图形中的黑点总数为.
(1)求的值;
(2)找出与的关系,并求出的表达式.

① ② ③ ④
【解析】（1）由题意可得：，，，；
（2）因为； ； ； ；
观察猜想：是一个首项为公差为的等差数列，
即．
因为；；；
；

；
把上述式子累加可得到：；
又因为，所以.
28．（2020·辽宁省沈阳二中高三其他（理））已知数列满足：，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式.
【解析】（Ⅰ）由可化为.
令，则，即.
因为，所以，
所以，
即，故.
（Ⅱ）由，
可知，
两式作差得，
即.
又当时，也满足上式，
故.