第23讲-数列的概念及简单表示法（讲义版）学案

第23讲-数列的概念及简单表示法

一、                   考情分析

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

二、                   知识梳理

1.数列的定义

按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.

4.数列的通项公式

(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

[微点提醒]

1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝

2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.

3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.

三、                   经典例题

考点一　由数列的前几项求数列的通项

【例1-1】 （2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（文））数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【解析】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，

由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为，选C.

【例1-2】已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　)

A.an＝(－1)n－1＋1    B.an＝

C.an＝2sin    D.an＝cos(n－1)π＋1

【解析】对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不合题意.

【例1-3】已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________.

【解析】各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，

故原数列可变为－，，－，，…，

故其通项公式可以为an＝(－1)n·.

规律方法　由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理.

考点二　由an与Sn的关系求通项

【例2-1】（2020·全国高三（文））数列的前项和,则的通项公式 _____.

【解析】当时,；

当时,；

∴

故答案为

【例2-2】（2020·北京高三二模）已知数列的前n项和，则（    ）

A．3 B．6 C．7 D．8

【解析】由数列的前n项和，

当时，，

则.

故选：B.

规律方法　数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.

易错警示　在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出an＝2n(n∈N+).

考点三　由数列的递推关系求通项　

【例3-1】（2020·全国高三月考（理））已知数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【解析】因为数列的前项和为，，，

当时，；

把代入检验，只有答案AB成立，排除CD；

当时，；排除B；

故选：A ．

【例3-2】（2020·安徽省舒城中学高一月考（理））已知数列满足， ，则__________．

【解析】因为，

所以

===

【例3-3】（2020·全国高三（文））已知数列满足，，则=       ．

【解析】，，累和得

规律方法　由数列的递推关系求通项公式的常用方法

(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.

(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.

(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.

(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.

易错警示　本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.

考点四　数列的性质

【例4-1】（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【解析】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

【例4-2】（2020·黑龙江省高三零模（理））已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【解析】根据题意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有，据此有：，综上可得2<a<3.

本题选择D选项.

【例4-3】（2020·上海高三专题练习）已知数列的通项公式为，则数列中的最小项为（    ）.

A． B． C． D．

【解析】因为,

所以,

所以,

当且仅当取“=”.

又因为.

当时,.

当时,.

所以数列中的最小项为.

故选：C.

【例4-3】（2020·全国高三其他（理））已知数列的前项和为，且，数列满足，则数列的最小值为______.

【答案】

【解析】由，得，

当时，.

因为也适合上式，所以.

由题意知，故当，即时，

规律方法　1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.

2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.

[方法技巧]

1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.

2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法：

(1)算出前几项，再归纳、猜想.

(2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.

(3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为＝f(n)型，则采用累乘法.

3.解决数列问题应注意三点

(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数.

(2)数列的通项公式不一定唯一.

(3)注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.

4.数列{an}中，若an最大，则an≥an－1且an≥an＋1；若an最小，则an≤an－1且an≤an＋1.

四、                   课时作业

1．（2020·河北省高一期中）数列，…的通项公式可能是（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·周口市中英文学校高二期中（理））数列满足  ，，则等于(　　)

A． B．－1 C．2 D．3

3．（2020·河北省唐山一中高一期中）数列满足，且，，则（  ）

A． B． C． D．

4．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）在数列中，，，则的值为（  ）

A． B． C． D．以上都不对

5．（2020·全国高三（文））设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ）

A． B．

C． D．

6．（2020·全国高三（文））在数列中，，，则（ ）

A． B． C．0 D．

7．（2020·金华市江南中学高一期中）已知数列的前项和为，且，则（    ）

A．-10 B．6 C．10 D．14

8．（2020·辽宁省高三月考（理））若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（    ）

A．若是递增数列，则，

B．若是递减数列，则，

C．若，则

D．若，则是等比数列

9．（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（文））数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

10．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}是( )

A．递增数列

B．递减数列

C．常数列

D．摆动数列

11．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ）

A．181 B．191 C．201 D．211

12．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）已知数列满足：，，则（    ）

A． B．5 C． D．

13．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.

若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列，的前n项和为，则下列说法中正确的是（    ）

A．数列是递增数列 B．数列是递增数列

C．数列的最大项是 D．数列的最大项是

14．（2020·黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高一期中）已知数列满足：，，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

15．（2020·广西壮族自治区北流市实验中学高三开学考试（理））已知数列满足：，，则（）

A． B． C． D．

16．（2020·浙江省绍兴一中高一期中）在数列中，，则等于

A． B． C． D．

17．（2020·全国高二）等比数列的前项和，则等于（    ）

A． B． C．3 D．1

18．（2020·定远县民族学校高一月考）已知数列满足，则（    ）

A．1024 B．1023 C．2048 D．2047

19．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三三模（文））“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到，得到即终止运算，己知正整数经过次运算后得到，则的值为（    ）

A．或 B．或 C． D．或或

20．（2020·黑龙江省哈师大附中高三月考（理））已知数列中的前项和为，，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

21．（2020·吉林省实验高一期中）已知数列中，，则下列关于的说法正确的是（    ）

A．一定为等差数列

B．一定为等比数列

C．可能为等差数列，但不会为等比数列

D．可能为等比数列，但不会为等差数列

22．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）数列中，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

23．（多选题）（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知数列满足，，，，若存在正整数，，使得等式成立，则下列结论正确的有（ ）

A． B．

C． D．

24．（多选题）（2020·山东省高三一模）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（    ）

A．数列是等差数列 B．数列是等比数列

C．数列的通项公式为 D．

25．（多选题）（2018·山东省山东师范大学附中高二学业考试）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．的最大值为

26．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）已知数列的前项和为．

（1）求出它的通项公式；

（2）求使得最小时的值.

27．（2020·江西省宜春实验中学高二期中（文））下面图形都是由小正三角形构成的,设第个图形中的黑点总数为.

(1)求的值;

(2)找出与的关系,并求出的表达式.

①         ②           ③              ④

28．（2020·辽宁省沈阳二中高三其他（理））已知数列满足：，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式.