2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第5章第1讲数列的概念与简单表示法


第五章 数列
第1讲 数列的概念与简单表示法

[考纲解读] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
2．掌握数列求通项的几种常用方法：利用Sn与an的关系求通项；利用递推关系求通项．(重点、难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测2021年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：①由Sn求an；②由递推关系求an；③根据an＝f(n)求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.


1.数列的有关概念
数列
按照一定的次序排列起来的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表达
前n项和
Sn＝a1＋a2＋…＋an
数列的函
数特征
数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)

2．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间
的大小关系
分类
递增数列
an＋1>an
递减数列
an＋10，且2Sn＝a＋an(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．
解 当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1，
所以an＝(－1)n－1或an＝n.
题型 三 由递推关系求通项公式

角度1 形如an＋1＝an＋f(n)，求an
1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求通项公式an.
解 ∵an＋1＝an＋ln ，
∴an－an－1＝ln ＝ln (n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋ln 2＋2
＝2＋ln
＝2＋ln n(n≥2)．
又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N*)．
角度2 形如an＋1＝anf(n)，求an
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
解 ∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时也满足此等式，∴an＝.
角度3 形如an＋1＝pan＋q，求an
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求通项公式an.
解 递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t⇒t＝－3.
故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)，
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，
则bn＝4×2n－1＝2n＋1，
所以an＝2n＋1－3.

1．累加法求通项公式的四步骤

2．累乘法求通项公式的四步骤

3．构造法求通项公式的三步骤



1．数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，则通项公式an＝________.
答案 (n∈N*)
解析 ∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.
即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．
当n为偶数时，a2＝1，
故an＝a2＋2＝n－1.
当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.
综上所述，an＝(n∈N*)．
2．在数列{an}中，a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an(n≥1)，则an＝________.
答案
解析 ∵(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an，∴an＋1＝an，∴an＝··…···a1＝××…×××3＝，当n＝1时，满足此等式，∴an＝.
3．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.
答案
解析 因为(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0，
所以(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.
又因为an>0，所以an＋1＋an>0，
所以(n＋1)an＋1－nan＝0，
即＝，n∈N*.
所以＝，＝，＝，…，＝，
以上各式相乘得
＝···…·＝.
又a1＝1，所以an＝.
题型 四 数列的性质及应用

1．已知an＝，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 A
解析 an＝＝＝1＋，因为函数y＝1＋在(0.99，＋∞)上是减函数，所以数列{an}是递减数列．
2．(2019·大庆模拟)已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)n，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.
答案 4或5
解析 因为an＋1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)n
＝n＝n·.
当n0，即an＋1>an；
当n＝4时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>4时，an＋1－an1⇔数列{an}是递增数列；