第22讲-解三角形的实际应用（解析版）学案

第22讲-解三角形的实际应用

一、                   考情分析

能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.

二、                   知识梳理

1.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).

2.方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2).

3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.

4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

[微点提醒]

1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.

2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.

三、                   经典例题

考点一　求距离、高度问题　多维探究

角度1　测量高度问题

【例1－1】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

【解析】　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.

又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，

解得BC＝300(m).

在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m).

规律方法　1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.

2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.

3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.

角度2　测量距离问题

【例1－2】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)

【解析】　在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，

所以AB＝BD＝1 km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝ km，

在△ACD中，

由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，

得9＝3＋CD2＋2×CD，

即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝ km，

BC＝BD＋CD＝ km，

两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米，

即2.5千米，而<＝＝2.5，

所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.

规律方法　1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.

2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

考点二　测量角度问题

【例2】 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？

【解析】　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，

依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，

由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，

所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.

又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，

又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，

故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.

规律方法　1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.

2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.

考点三　正(余)弦定理在平面几何中的应用

【例3】如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).

(1)若弦BC＝4(－1)，求的长；

(2)求四边形OACB面积的最大值.

【解析】　(1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝4，

所以由余弦定理得cos∠BOC＝＝，

所以∠BOC＝，

于是的长为·4＝π.

(2)设∠AOC＝θ，θ∈，则∠BOC＝－θ，

S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝×4×4sin θ＋×4×4·sin＝24sin θ＋8cos θ＝16sin，

由于θ∈，

所以θ＋∈，

当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值16.

规律方法　1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.

2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.

[方法技巧]

　1.利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.

2.在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.

四、                   课时作业

1．（2020·全国高三（文））在中，则此三角形的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【解析】由正弦定理，又因为，

所以．

即，用两角和的正弦公式展开左边，得：，

整理得，

所以，

又因为和是三角形的内角，

所以，此三角形为等腰三角形．

2．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)

A．a km B． a km

C． akm D．2akm

【答案】B

【解析】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.

3．（2020·曲周县第一中学高一开学考试）如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度h为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵,∴.

由已知及正弦定理,得,∴.

∴.

4．（2020·安徽省池州一中高一期中（文））如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在点测得公路北侧山顶的仰角为30°，汽车行驶后到达点测得山顶在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知：.

在中，.

在中，.

在中，由余弦定理可得：

（舍去），故本题选D.

5．（2020·山东省高一期中）一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 (   )

A．5海里/时 B．海里/时 C．10海里/时 D．海里/时

【答案】C

【解析】

如图依题意有,,

∴,从而,

在中,求得,

∴这艘船的速度是 (海里/时)

6．（2019·四川省仁寿一中高一月考）雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体和底座两部分组成．如图，在中，，在中，，且米，求像体的高度（    ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：，，）

A．4.0米 B．4.2米 C．4.3米 D．4.4米

【答案】B

【解析】在中，（米），

在中，（米），

（米）.

7．（2020·山东省郓城第一中学高一期中）海中有一小岛，一小船从地出发由西向东航行，望见小岛在北偏东 ，航行4海里到达处，望见小岛在北偏东，若此小船不改变航行的方向继续前行2海里，则小船离小岛的距离为（    ）

A．12海里 B．海里 C．16海里 D．海里

【答案】B

【解析】如图所示，由题意知，，所以，

则，因为，则，则.

8．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（理））在相距的两点处测量目标点，若，，则两点之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由得：

由正弦定理得：（）

9．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30°，则此时热气球的高度CD为（    ）

A．m B．m C．m D．m

【答案】D

【解析】由题意，∠BCA=∠BAC=30°，∴AB=BC=m，AC=m，

△ADC中，CD=ACsin60°=m，故选：D.

10．（2020·辽宁省高一期中）一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B, 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时      （     ）

A．5海里 B．海里 C．10海里 D．海里

【答案】D

【解析】

如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10.

△AOC中,由正弦定理可得，

∴，

∴，

∴这艘船的速度是每小时海里，故选D.

11．（2020·苍南县树人中学高一期中）在中，，，所对的边分别为，，，过作直线与边相交于点，，.当直线时，值为；当为边的中点时，值为.当，变化时，记（即、中较大的数），则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】当直线时，因为，，所以，由等面积法得，

因为有（当且仅当时，取等号），即，所以，

所以（当且仅当时，取等号），

当为边的中点时，因为，，所以，，

因为有（当且仅当时，取等号），即，所以，

所以（当且仅当时，取等号），

当，变化时，记（即、中较大的数），则的最小值为（此时，）；

12．（2020·广东省高三月考（文））在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示.以该木塔底层的边作方形，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以塔底座的边作方形.作方圆图，会发现方圆的切点正好位于塔身和塔顶的分界.经测量发现，木塔底层的边不少于米，塔顶到点的距离不超过米，则该木塔的高度可能是（参考数据：）（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【解析】设该木塔的高度为，则由图可知（米），

同时，∴，

即木塔的高度约在米至米之间，对照各选项，只有B符合.

13．（多选题）（2020·山东省郓城第一中学高一期中）的内角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（    ）

A．若，则一定是锐角三角形

B．若，则一定是等边三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是等腰三角形

【答案】BD

【解析】A选项：当时，，

为钝角.错误.

B选项：因为，

所以，且

所以，为等边三角形.正确.

C选项：或.

不一定是等腰三角形.错误.

D选项：

又因为，所以.即为等腰三角形.正确.

14．（多选题）（2020·嘉祥县第一中学高一月考）在中，D在线段上，且若，则（    ）

A． B．的面积为8

C．的周长为 D．为钝角三角形

【答案】BCD

【解析】因为,所以,故A错误；

设,则,在中,,解得,所以,

所以,故B正确；

因为,所以,

在中,,解得,

所以,故C正确；

因为为最大边,所以,即为钝角,所以为钝角三角形,故D正确.

15．（多选题）（2020·江苏省高一期中）（多选题）如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且．若点是外一点，，，下列说法中，正确的命题是（    ）

A．的内角 B．的内角

C．四边形面积的最大值为 D．四边形面积无最大值

【答案】ABC

【解析】

,因此A,B正确；

四边形面积等于

因此C正确，D错误，

16．（2020·全国高三（文））山顶上有一座信号发射塔，塔高0.2千米，山脚下有，，三个观测点，它们两两之间的距离分别为千米，千米，千米，从这三个观测点望塔尖的仰角均为60°，则山高为______千米.

【答案】

【解析】设塔顶的垂直高度为千米，则，

所以、、均在以为圆心，半径为的圆上，

在中，，，，

由余弦定理得：，

∴，

由正弦定理得，

∴，∴，解得，

∴山高为千米.

17．（2019·四川省仁寿一中高一月考）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为________．

【答案】

【解析】由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，

∴∠DAC=15°由正弦定理得，

△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，

∴∠DBC=30°，

由正弦定理，，

所以BC；

△ABC中，由余弦定理，

AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝

解得：AB，

则两目标A，B间的距离为．

18．（2020·辽宁省高三其他（文））如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为_________．

【答案】

【解析】由已知，，在中，由余弦定理可得

，

所以，

所以

.

19．（2020·全国高三（文））高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.

（1）求出线段AE的长度；

（2）求出隧道CD的长度.

【解析】（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，

在△AEF中，由正弦定理得：，

即，

解得；

（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

在Rt△ABE中，，

所以隧道长度．

20．（2020·海原县第一中学高三期末（文））

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.

【解析】在△BCD中，

.

由正弦定理得

所以

在Rt△ABC中，

塔高为.