一轮复习专题8.34直线与圆(四)（解析版）教案

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直线与圆（四）一、学习目标：1. 理解直线与圆中的常用最值结论； 2. 学会求解常见的与圆有关的最值基本问题.二、教学过程：（一）必备知识：（抄写，填空，拍发钉钉对应作业位置，约10分钟完成，课外熟记。） 与圆有关的常用最值理论：1.过两定点的所有圆中，以线段为直径的圆面积最     .2.若点在圆内，则过点的最长弦为                   ，最短弦为                     .3.若圆半径为,为圆上一动点，为圆外一定点，则的最大值为         ，最小值为             .4.若圆和圆外离且半径分别为,分别为两圆上一动点，则的最大值为         ，最小值为             .5.若圆与直线相离，圆心到直线的距离，则圆上点到直线距离的最大值为           ，最小值为             .6. 若圆与直线相离，过直线上动点引圆的两条切线，切点分别为，则当且仅当         时，切线长最短，最       。7.若为圆上两动点，点为圆外一定点，则当且仅当均与圆相切时，最        .自查自纠：1.小  2.过点的直径  过点且与直线垂直的弦  3.  4.      5.    6.   大   7.大 （二）题组训练示例一： 例1（1）若圆上点到直线上的距离为,则的取值范围为              。【答案】（2）已知点在圆上,点在直线上,求的取值范围为              。【答案】例2. （1）由点引圆的切线的长是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】点到圆心的距离为，圆的半径为切线长为.（2）由直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值为(    )A． B．3 C． D．【答案】C【详解】圆心为，半径为，直线的一般方程为.画出图像如下图所示，是直线上的一点，是圆的切线，是切点，所以，所以当最小时，切线长取得最小值.的最小值即圆心到直线的距离，所以切线长的最小值为.故选：C 题组一：1．圆上的点到直线距离的最大值是（      ）A．   B．   C．    D．【答案】B【详解】圆的标准方程，圆心，半径为1，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线距离的最大值为.2.若点在直线上，过点的直线与曲线相切于点，则的最小值为（   ）A．     B．     C．     D．【答案】D【详解】结合图形可知当时取得最小值，同时取得最小值，圆心到直线的距离为，所以最小值为。3.已知圆上的点到直线的最短距离为，则的值为(    )A．-2或2 B．2或 C．-2或 D．或2【答案】D【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径，设圆心到直线的距离为，则，因为圆上的点到直线的最短距离为，所以，即，解得或，故选D．4．已知圆：上任意一点，设点到直线：的距离为，当取最大值时，直线的方程为（    ）A．    B．    C．    D．【答案】C【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径；当时，圆心到直线的距离最大，∵，∴，即直线方程为.故选：C5.若点在圆上运动，，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由圆的方程得：圆心坐标，半径  点轨迹为：，即圆心到直线距离：，选。6．由直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设是直线的一点，圆心为，过引圆的切线的切点为，则，，的最小值为圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式可得的最小值为，的最小值为.7．点在直线上，过点作圆：的切线和，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】圆的方程为：圆心、半径为1，根据题意，若四边形面积最小当圆心与点的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长，最小圆心到直线的距离为，，故选．8.已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（  ）A．4             B．3           C．2            D．【答案】C【详解】四边形PACB的最小面积是2，所以△PAC面积最小为1，AC=1，所以PA最小为2，所以PC最小为，即到直线kx＋y＋4＝0的距离为。示例二：例1.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（  ）A．               B．           C．             D．【答案】B【详解】变形为，圆心为，设切点为，所以直角中。例2.过直线上任一点向圆作两条切线，切点为，则取值范围为           ，使的点有      个。A．       B．       C．       D．【答案】【详解】设，而 ，故当最小时，有最大值，也即有最大值，圆心到直线的距离.故，所以最大值为，使的点有2个.例3. 过轴上一点作圆的两条切线，切点分别为若则的取值范围是（   ）A．        B．    C．   D．【答案】C【详解】如图，圆的圆心，半径．设CM与AB的交点为H，则H为AB的中点，且，由于因而，则，故，．又因为，所以，解得．故选C．题组二： 1．过点作圆的两条切线，切点为，则的外接圆的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】作圆的两条切线，切点为，所以的外接圆过点，由得到圆心为中点，为，半径为，所以的外接圆的方程为.故选A项2．过坐标原点作圆（为参数）的两条切线，则两条切线所在直线的夹角为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，圆的普通方程为，圆心为，半径为，设切线为，则，，∴切线的倾斜角分别为，那么这两条切线的夹角为60°．故选B．3.已知圆C方程为，.过点P作圆C的切线,切点分别为A,B两点.则最大为（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵圆C的方程为，表示为圆心，以1为半径的圆,连接PO,AO,BO,则，，最大为又，最大为，故选C.4．已知点是双曲线的渐近线上的动点，过点作圆的两条切线，则两条切线夹角的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得渐近线方程为过圆心向作垂线则圆的半径当斜边最小时，夹角最大，，故选5.已知为直线上的点，过点作圆的切线，切点为若，则这样的点有（　）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】B【详解】连接，则因为圆的半径为，，圆心到直线距离为符合条件的恰有1个，故选B.6.已知圆：和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（  ）A．  B．  C．  D．【答案】B【详解】当和与圆相切时，最大，要使圆上存在两点使得，则，∴，即，解得，故选B.7．已知动点在直线上，动点在圆上，若，则的最大值为（   ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】由题意，当是圆的切线时，最大，此时，又，则且，解得或，即的最大值为5，故选：C.8.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，，若，则（   ）A．      B．      C．      D．【答案】B【详解】由题可知圆心，半径．因为，，所以，又，，所以．在中，，所以．又，所以．9．已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为（  ）A． B． C． D．【答案】A【详解】法一：如图所示：设，则所以当且仅当时取“=”，故最小值为法二：，记，，∵是圆的切线，∴平分，∴与同向，∴，当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为. 课外作业：1．已知直线：是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）A．2 B． C．6 D．【答案】C【详解】直线l过圆心，所以，所以切线长.2．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由圆的方程，得圆心，半径，圆心到直线的距离，所以切线长的最小值.故选：D.3．由直线x+2y-7=0 上一点P引圆的一条切线，切点为A,则的最小值为（  ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得圆的标准方程为，设圆心为，故，由切线性质可得，的最小值为，故的最小值为，选B.4．设为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（   ）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】由圆的方程可得：，则圆心为半径又为圆的切线，则 又当四边形的面积的取最小值时，最小，又垂直于直线时，最小  四边形面积的最小值为：.5．已知圆：，直线：与轴，轴分别交于，两点.设圆上任意一点到直线的距离为，若取最大值时，的面积（    ）A． B．8 C．6 D．【答案】B【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径，当时，圆心到直线的距离最大，∵，∴，即直线方程为，则，，，到直线的距离为，则到直线的最大距离，此时的面积，故选：B.6．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】圆的圆心坐标为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为.故选C．7．过轴正半轴上一点，作圆：的两条切线，切点分别为，，若，则的最小值为（   ）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【详解】圆心坐标是，半径是1；，．在三角形ACB中，由余弦定理的得：解得：．故选B8．已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线，切点分别为，若，则的最大值为（    ）A．3 B． C． D．6【答案】B【详解】根据题意，结合向量数量积的定义式，可求得，所以可求得，即，所以，当且仅当时取等号，故选B