一轮复习专题8.44椭圆及其性质（四）（解析版）教案

这是一份一轮复习专题8.44椭圆及其性质（四）（解析版）教案，共25页。教案主要包含了题组训练等内容，欢迎下载使用。

椭圆及其性质（四）
一、 学习目标：
1.理解椭圆的定义及其标准方程，并会求椭圆标准方程；
2.掌握椭圆的基本性质；
3.掌握求椭圆离心率的基本方法。
二、 教学过程
（一）必备知识：
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
※(2)椭圆第二定义(见人教A版教材选修1－1 P41例6、P43)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的__________．
2．椭圆的标准方程及几何性质

焦点在x轴上
焦点在y轴上
(1)图形


(2)标准方程

＋＝1(a>b>0)
(3)范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
(4)中心
原点O(0，0)
(5)顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)

(6)对称轴
x轴，y轴
(7)焦点

F1(0，－c)，F2(0，c)
(8)焦距
2c＝2
(9)离心率

※(10)准线
x＝±
y＝±
自查自纠：1．(1)＞　焦点　焦距　(2)离心率
2．(2)＋＝1(a＞b＞0) (5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
(7)F1(－c，0)，F2(c，0)　(9)e＝(0＜e＜1)
二、题组训练：
题组一：
例题：
例1．椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知，，故离心率.
例2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，由题，所以，两边同时平方有，根据得：，整理得，两边同时除以得，即，，解得或（舍）．
例3．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．

【答案】C
【详解】设椭圆的标准方程为，由题知：..
练习：
1．椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题知：，，解得..
2.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】先将x2＋4y2＝1化为标准方程，则a＝1，b＝，c＝＝.
离心率e＝＝.
3．已知椭圆的长轴长为6，短轴长为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为椭圆的长轴长为6，短轴长为，所以，解得：，所以，所以该椭圆的离心率为
4．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意可知,即,又,所以该椭圆的离心率.
5．椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设椭圆的短轴长为，长轴长为，焦距为，则，即；或，若，①∵，∴，②由①②得：，，∴椭圆的离心率；若，③ ∵，∴，④ 由③④得：，，不符合题意，舍去，故椭圆的离心率为.
6．若椭圆：的一个焦点坐标为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于椭圆的焦点在轴上，则，所以，解得或(舍).
7．椭圆的四个顶点为、、、，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设四边形的内切圆的半径为，又该圆经过焦点所以，且在直角三角形中， 所以故，化简可得 由 所以 则 由 所以 .
8．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】据题意，，，，，即，即.又，，同除得，即（舍）或.故选A.
9．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．

【答案】C
【详解】椭圆的长轴为，短轴的长为，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，可得，即，所以,故选C．
强化培优：
1．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”(其中，).如图，设点是相应椭圆的焦点，和是“果圆”与轴的交点，若是等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．

【答案】C
【详解】根据题意有,,又根据是等腰直角三角形的性质可得,即.故.
2．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得 ②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.
3．已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，的重心为，内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，设，由三角形重心坐标公式可得重心，由， 故内心的纵坐标为，在焦点中，，则，.
4．仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．

【答案】D
【详解】画出图形的轴截面如图所示，则为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴；依题意，，，则 在中有 即椭圆中，，，，故选：

5．设椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，设，，则，则，，， ，令，则．
，当时， 函数取得最小值（2）． ．
，故选．
题组二：
例题：
例1．过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设| |=2c，∵⊥x轴，∠=60°，∴||=，，∴，∴椭圆的离心率．
例2．设P为椭圆上一点,F1、F2为焦点,如果∠PF1F2＝75°,∠PF2F1＝15°,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】∵=15°，=75°，∴为直角三角形，=90°，设|PF1|=m，|PF2|=n，| |=2c，则n=2csin75°，m=2csin15°，又|PF1|+|PF2|=m+n=2a∴2csin15°+2csin75°=2a，∴.

例3．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，消可得得，解得，
分别代入，，，，，
，，，，
，把代入式并整理得，两边同除以并整理得，解得．
例4．已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点，P为第二象限内椭圆上的一点，且，直线交y轴于点M，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，由，得，在中，可得，即，又，∴，由，得.
则，即.故选：B.

练习：
1．设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题：，设，代入得：，，所以，即，，两边同时除以，记离心率，，，解得：.故选：D
2．设，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，若线段的中点恰在轴上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由定义得，又，所以，.因为线段的中点在轴上，为的中点，由三角形中位线平行于底边，得，所以，所以，所以.故选C.
3．设是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过,若,则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题设,所以,由勾股定理可得,依据椭圆的定义可得,即,故离心率,应选D.
4．已知椭圆：的左右焦点分别为，，为坐标原点，为第一象限内椭圆上的一点，且，直线交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由,得,所以,即,又,所以为等腰直角三角形,所以,所以离心率,故选:C.
5．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于。若的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】结合题意可知结合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的性质,可得,由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得到,解得,故选D.

6．椭圆的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，在Rt△MF1F2中，F1F2=2c，∵∠F1F2M=60°，∴MF2=c，MF1=2c×= c MF1+MF2=c+ c=2a，⇒.

7．若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得是以为直角顶点的直角三角形，由，可得，即，又且，则，解得，即.
8．设是椭圆的左、右两个焦点，若椭圆上存在一点，使（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，由题意，取的中点，连接，由，，则，即为等腰三角形，∴为的中位线，则，即为直角三角形，∴，又，∴，，
由椭圆的定义知，∴，即.

9．已知是椭圆C：的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图: 连接,,点为线段的中点,， 由椭圆定义得: 即线段与圆相切于点
且即: .

10．已知椭圆的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，，若坐标原点到的距离为，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】坐标原点到的距离为，而为中点，所以到直线距离为，， 在中，由余弦定理得
，.故选:D.
强化培优：
1．如图，椭圆的左右焦点分别是，点、是上的两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．

【答案】A
【详解】延长交椭圆于点，得，，设，则，据椭圆的定义有，，在中，，在中，．


2．椭圆的中心在原点，左右焦点在轴上，分别是椭圆的上顶点和右顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，设椭圆的方程为，所以时，，所以，又，所以，所以，所以，，所以，故选D．

3．已知椭圆的左焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设右焦点为，则,因此可设，从而由得，选C.
4．已知椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线交直线于，若在以线段为直径的圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设过点且斜率为的直线的方程为，与联立，可得交点，∵在以线段为直径的圆上，∴，即，∴，∴。
5． 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
分析：过点作轴于，则，由，则，，所以点，由点在椭圆上，所以有，即，所以.

6．以O为中心，点F1，F2为椭圆两个焦点，椭圆上存在一点M，满足| |＝2| |＝2| |，则该椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】延长MO与椭圆交于N，∵MN与F1F2互相平分，∴四边形MF1NF2是平行四边形，∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，∴MN2+F1F22=MF12+MF22+NF12+NF22，∵MF1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a，
NF1=MF2= a，NF2=MF1= aa，F1F2=2c，∴（a）2+（2c）2=（a）2+（a）2+（a）2+（a）2，
∴，∴.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，，由，代入椭圆方程可得，可设，，由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由，，即有，解得．
课外作业：
1．椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 因为椭圆所以,所以离心率.故选:C
2．已知椭圆：的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，由题意可得，，则2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，∴，即e．

3．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设椭圆的焦点是，圆与椭圆的四个交点是,设，，， ，.故选D.
4．椭圆的两顶点为，且左焦点为，是以为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为，是以为直角的直角三角形，所以，即，所以，又所以.故选B.
5．设是椭圆：（）的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设交轴于点，因为是底角为的等腰三角形，所以，，且，因为为直线上一点，所以，解得，
所以椭圆的离心率为，故选C.

6．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设该椭圆的焦距为，如下图所示：设，轴，，，，，由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为.

7．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，可得，可得 所以 解得.
8．设F是椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.设椭圆另一个焦点为E，连接PE.∵A，B三等分线段PF，
∴H也是线段AB的中点，即OH⊥AB.设|OH|＝d，则|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.在Rt△OHA中，|OA|2＝|OH|2＋|AH|2，解得a＝5d.在Rt△OHF中，|FH|＝，|OH|＝，|OF|＝c.由|OF|2＝|OH|2＋|FH|2，化简得17a2＝25c2，.即椭圆C的离心率为.故选：D.

9．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
,故选A.
10．焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得得，，即，故选C.
11．椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D.
【答案】D
【详解】设椭圆的右焦点为，与直线的交点为.可知：；为（的）直角三角形；于是有，所以，故选D.
12．设分别是椭圆E：的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于两点，，若，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设.则,由余弦定理得,解得.所以,故三角形等腰直角三角形.故,离心率为.故选.