一轮复习专题8.45椭圆及其性质（五）（解析版）教案

椭圆及其性质（五）

一、          学习目标：

1.理解椭圆的定义及其标准方程，并会求椭圆标准方程；

2.掌握椭圆的基本性质；

3.掌握求椭圆离心率的基本方法。

二、          教学过程

（一）必备知识：

1．椭圆的定义

(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．

※(2)椭圆第二定义(见人教A版教材选修1－1 P41例6、P43)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的__________．

2．椭圆的标准方程及几何性质

自查自纠：1．(1)＞　焦点　焦距　(2)离心率

2．(2)＋＝1(a＞b＞0) (5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)

(7)F1(－c，0)，F2(c，0)　(9)e＝(0＜e＜1)

二、题组训练：

题组一：

例1．已知椭圆：的两个焦点为，，若椭圆上存在点使得为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ）

A.          B.            C.            D.

【答案】B

【详解】如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点移动时，对两个焦点的张角逐渐增大，当且仅当点位于短轴端点时，张角达到最大.所以要使椭圆上存在点使得为钝角，根据椭圆的对称性可知，即，，即，所以又，所以选B.

例2．已知是椭圆的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是（   ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【详解】依题意可知，，即，两边除以得，解得．

例3．椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为（   ）

A.1      B.        C.        D.

【答案】B

【详解】因为关于原点对称，所以也在椭圆上，设左焦点为，则，又因为，所以，是直角三角形斜边的中点，所以,，所以，所以，，所以，故e的最大值为．

例4．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C．

练习：

1．已知椭圆C:()的左右焦点分别为,如果C上存在一点Q,使,则椭圆的离心率的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】当Q是椭圆上下顶点时最大，∴,∴，

∴，∵，∴，∴所求取值范围为.

2．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是(    )

A．      B．     C．      D．

【答案】B

【详解】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，∴ 中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．

3.已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为(　 )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设M为椭圆短轴一端点，则由题意得,即,因为，所以，.

4．椭圆，点，为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，点在以原点为圆心，为半径的圆上，则椭圆的离心率取值范围是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】B

【详解】由题知在以原点为圆心，为半径的圆上，所以，因为，

，所以.故选：B.

5．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】如图所示：设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形，因此，，，，，，，，，,.故选：A.

6．在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为是平行四边形，因此且，故，代入椭圆方程可得，所以．因，所以即，

所以即，解得，故选A．

7．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过作圆的切线,,切点为,使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在满足条件的点P，则只需，即，，解得，，即，又，即椭圆的离心率的取值范围是.

题组二：

例1．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，如下图所示：

由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则又  四边形为平行四边形 又，解得：，点到直线距离：，解得：，即    选

例2．已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设P(),直线y=x过原点，由椭圆的对称性设

  又两式做差，代入上式得,故，所以 故选B

例3．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,其焦距为2c,点Q（c，）在椭圆的外部,点P是椭圆C上的动点,且恒成立,则椭圆离心率的取值范围是（　 ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】点Q（c，）在椭圆的外部,所以，即a2＞2b2,所以e=,

由恒成立,|PF1|+|PQ|=2a+|PQ|-|PF2|≤2a+|QF2|=2a+＜3c，

即a＜,所以．又e＜1,故选C．

练习：

1．已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由椭圆定义可知：，，则，所以，因为，即，

，即..

2．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．

3.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围(    )

A．          B．         C．        D．

【答案】A

【详解】根据题意得,因为,所以 ,又因为 ,所以,所以.

4．设椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【详解】设椭圆左焦点为，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在Rt△ F′AF中，m＋n＝2a  ①，m2＋n2＝4c2 ②，联立①②得mn＝2b2 ③.

②÷③得，令＝t，得t＋.又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得＝t∈[1,2]，所以t＋∈.故椭圆C的离心率的取值范围是.故选：A

题组三：

例1．椭圆中心为原点，且焦点在轴上，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点，，则该椭圆离心率的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设椭圆的方程为，点，即有．因为，所以即，又点在椭圆上，有，联立解得，而，∴即．故，又，∴．故选：B．

例2．已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设，所以，选C.

练习：

1．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为(　　)

A．(0，－1) B． C．      D．(－1,1)

【答案】D

【详解】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.因为为椭圆上一点，所以，即，整理得，所以，解得.故选D.

2．已知椭圆（），，为椭圆上的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设，的坐标分别为 和．因线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即．又交点为，故，即①

∵，在椭圆上， ∴ ． 将上式代入①，得② ∵，可得③．

∵，且，∴， ∴，

∴，所以椭圆的离心率的取值范围是．故选：C.

题组四：

例1．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【详解】设关于直线的对称点为,则,解之得,即,因是定值,故当最小时椭圆的离心率最大.由于（当且仅当共线时取等号）,即,则,故应选A

例2．椭圆上有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点在线段的延长线上，且，则该椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵QF1⊥ QP，∴点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，∵点Q在椭圆的内部，∴以F1F2为直径的圆在椭圆内，∴c＜b；∴c2＜a2﹣c2，∴，故0＜e∵sin∠ F1PQ，∴cos∠ F1PQ；设|PF1|＝m，则|PF2|＝n，而|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a，在△PF1F2中，由余弦定理得 4c2．∴4c2＝（m+n）2﹣2mn﹣2mn•；即4c2＝4a2mn；∴mn；由基本不等式得：mna2，当且仅当m＝n时取等号；由题意知：QF1⊥QP，∴m≠n，∴mna2，∴a2∴a2＜26c2；故，∴e综上可得：e．

练习：

1．设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.

2．已知椭圆的左、右焦点分别为，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据中垂线的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为 ，椭圆离心率的取值范围是，故选B.

课外作业：

1．已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，∴，∴，∴∴。由，∴.

2．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意得，所以A在圆上，与联立解得，因为，且，所以

因此，解得

即，即，选A.

3．已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】可设为椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，，，取，点到直线的距离不小于，所以，，解得，椭圆的离心率的取值范围是.

4．椭圆的离心率的最小值为（   ） 

A.          B.           C.           D.

【答案】A

【详解】由椭圆方程可知 ， ，离心率最小值为

5．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上恰有6个不同的点使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰 ②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或 当时，则有(是椭圆在短轴上的上边的顶点)，则，因此，即，则 当时，则有(是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即，则，综上所述，所求取值范围是选D

6．圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底而相切，作不与圆柱底面平行的平面与球相切于点，若平面与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线，是以为一个焦点的椭圆，则的离心率的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】当与底面趋于平行时，几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0．当与底面的夹角最大时，的离心率达到最大，下面求解这一最大值．如图，为长轴，为焦点时，最大．，易知，所以，．则离心率的取值范围是．故选：B

7．已知点为坐标原点，点是椭圆：的左焦点，点、、分别为椭圆的左、右顶点和上顶点.点为椭圆上一点，且轴，直线交线段于点，若直线交线段于点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】如图可知：∽，，

，由，

又.

8．已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为．过作圆，其中圆心的坐标为．当时，椭圆离心率的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】如图所示，线段的垂直平分线为：，线段的中点．

∵，∴线段的垂直平分线的斜率．∴线段的垂直平分线方程为，

把代入上述方程可得．∵，

∴．化为：，又，解得．

∴．故选：A．