一轮复习专题8.51双曲线及其性质（一）（解析版）教案

这是一份一轮复习专题8.51双曲线及其性质（一）（解析版）教案，共23页。教案主要包含了必备知识，题组等内容，欢迎下载使用。
双曲线及其性质
一、必备知识：
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
(2)第二定义：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．
(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率e＝”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
2．双曲线的标准方程及几何性质

焦点在x轴上
焦点在y轴上
(1)图形


(2)标准方程

－＝1(a＞0，b＞0)
(3)范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
(4)中心
原点O(0，0)
(5)顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)

(6)对称轴
x轴，y轴

(7)焦点

F1(0，－c)，F2(0，c)
(8)焦距
2c＝2
(9)离心率

(10)准线
x＝±
y＝±
(11)渐近线方程

y＝±x
3.用待定系数法求双曲线标准方程时，双曲线方程的常用设法：
（1）双曲线过两点可设为
（2）与共渐近线的双曲线可设为
（3）等轴双曲线可设为.
（4）双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，
当时为双曲线.
4.与渐近线有关的结论或方法：
（1）已知双曲线方程求渐近线：.
（2）的渐近线的斜率为.
（3）若渐近线方程为，则可设其双曲线方程为；
（4）与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为；
（5）已知渐近线设双曲线的标准方程为.
（6） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长，垂足为对应准线与渐近线的交点.
5.求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常用的两种方法：
（1）求出，代入公式；
（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．
自查自纠：
1．(1)绝对值　＜　焦点　焦距　(2)离心率　(3)等轴双曲线　充要　垂直
2．(2)－＝1(a＞0，b＞0)　(5)A1(0，－a)，A2(0，a)　(7)F1(－c，0)，F2(c，0)　(9)e＝(e＞1)
(11)y＝±x
二、题组：
题组一：方程与基本量问题
例题：
例1. （1）如果方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】要使方程表示双曲线，应有，解得或，故选C.
（2）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】双曲线的方程可化为 虚轴长是实轴长的2倍即＝4∴m=.
例2．（1）已知三个数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，解得或．
当时，曲线方程为，故离心率为；
当时，曲线方程为，故离心率为．
所以曲线的离心率为或．选B．
（2）已知五个数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，解得或．又因为 ，所以，曲线方程为，故离心率为，所以曲线的离心率为．
例3.设F为双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．

练习：1C 2B 3B 4D 5A 6B 7B 8D
1．双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由双曲线，可得双曲线的标准方程为，所以，所以双曲线的焦距为，故选C.
2．下列曲线中离心率为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得，选B.
3．若双曲线的一个焦点为（2,0），则为（ ）
A． B． C．5 D．2
【答案】B
【详解】，故选B.
4．已知双曲线的离心率是 则（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，∴ ，解得 ，故选D.
5.已知五个数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C.或 D．或
【答案】A
【详解】由题意得,因为所以，圆锥曲线表示椭圆， 故选A.
6.设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，双曲线的离心率，因为是减函数，
所以当时，，所以，所以，故选B.
7．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意,,所以,从而,,故选B．
8．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】，故选D.
题组二：定义与焦三角问题
例题：
例1．设双曲线的焦点为为该双曲线上的一点，若，则.
【答案】11
【详解】由双曲线的方程，可得，由双曲线的定义可知， 又因为，所以.
例2.已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的倍，点在线段上，则的周长为________.
【答案】44
【详解】由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5，0)，所以P，Q都在双曲线的右支上，则有，两式相加，利用双曲线的定义得，所以△PQF的周长为=28＋16＝44.故答案为44.
例3. 设点为有公共焦点，的椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设双曲线实轴长为，则椭圆长轴长为，不妨设，∴，在中，由余弦定理可知，故选D.
练习：1C 2C 3C 4A 5A 6B
1．已知、，，则动点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．双曲线右边一支 D．一条射线
【答案】C
【详解】因为，所以动点的轨迹是双曲线的一支，又因为，所以动点到左焦点距离较远，因此动点的轨迹是双曲线右边一支，故选C.
2．已知分别是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，，则（ ）
A.1或17 B.1或19 C.17 D.19
【答案】C
【详解】根据双曲线的定义，有，解得，由于，三角形两边的和大于第三边，故不符合，舍去.
3．已知是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与双曲线左支交于点，已知是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，选C.
4．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率e为( )
A. B.或 C.2 D.3
【答案】A
【详解】由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1=30°，∴|AF1|＝|AF2|，又|AF2|-|AF1|=2a．∴AF2=4a，AF1=2a，又F1F2=2c，又在Rt△A F1F2中，|AF1|2+|F1F2|2＝|AF2|2，得到，∴．∴.
5．设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形是一个等腰三角形，在直线的投影是其中点，由勾股定理可知||=4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入整理得，求得∴.
6．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设点，则①．又，②．
由①②得，即，，故选B．
综合检测：1C 2D 3B 4B 5D 6D 7D
1．若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】， ，， ， ，则.
2．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．
3．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】椭圆的方程为，离心率．双曲线的方程为，离心率．∵与的离心率之积为，∴．∴，解得．∴，故选B.
4．设和为双曲线的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.3
【答案】B
【详解】如图，因为，∴，∴，∴，∴，∴.
5．设双曲线（，）的上、下焦点分别为，，若在双曲线的下支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，又由双曲线的几何意义知，双曲线的离心率的取值范围为，故选D.
6．设双曲线左，右焦点为是双曲线上的一点，与轴垂直，的内切圆方程为，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，点是双曲线左支上一点，由双曲线的定义可知，若设的内切圆心在横轴上的投影为，则该点也是内切圆与横轴的切点，设分别为内切圆与的切点，根据切线的性质可知，有
，即，所以内切圆的圆心横坐标为，则，又由与轴垂直，则点，且，所以，又，解得，所以双曲线的方程为，故选D．
7．设双曲线（，）的上、下焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点，且，，则此双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，又由双曲线的定义可知，，因为，所以，由勾股定理知，，得，在直角三角形中，，故选D.
题组三：渐近线方程问题
例题：
例1．（1）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
【答案】.
【详解】由已知得，解得或，因为，所以.因为，
所以双曲线的渐近线方程为.
（2）若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），
例2．（1）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为__________．
【答案】
【详解】设方程为，代入点，可得，∴，
∴双曲线的方程为．
（2）已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【详解】由双曲线渐近线方程可知双曲线方程可设为，代入点得，
所以双曲线方程为
（3）下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.
练习：
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由方程可知，渐近线方程为
2．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】椭圆中变形为
，所以渐近线为.
3．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【详解】因为，即，所以双曲线的渐近线议程为，故选C.
4．已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，所以双曲线的渐近线方程为.
5．双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ）
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
【答案】D
【详解】由已知可得，，故选D．
6.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C．
7．如果双曲线经过点，且它的渐近线方程为，那么该双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】渐近线为为等轴双曲线，设为，代入得，
所以方程为.
8．已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】双曲线C的渐近线方程为,可知①,椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a2＋b2＝9②,根据①②可知a2＝4,b2＝5.故选：B.
9．过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于，若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点（为坐标原点），则双曲线的方程为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【详解】由题意得，，∴，而双曲线的渐近线方程为，故不妨，∴，联立方程组，从而可知，，∴双曲线的标准方程是.
题组四：渐近线的应用
例题：
例1.（1）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1 ，F2 ，则四边形F1 P F2 Q的面积是________．
【答案】
【详解】右准线方程为，渐近线方程为，
设，则，，，则．
（2）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2
【详解】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．

例2.已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
【答案】
【详解】如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．又tan θ=，∴，解得a2=3b2，
∴e=．

例3．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为
【答案】
【详解】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为
练习：
1．双曲线的焦点到其渐近线距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】由双曲线的方程，可得，所以，所以右焦点坐标为，渐近线方程为，及，所以焦点到准线的距离为．
2．双曲线的两条渐近线夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【详解】根据题意可知，双曲线的渐近线方程是，其倾斜角为，故两渐近线的夹角是.
3．双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）．
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．
4．已知双曲线离心率为，则点到的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选D
5．设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.
6．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知 在中，
在中,
故选B.
7.已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.
综合检测：
1．双曲线x24-y212=1的焦点到渐近线的距离为(　 　)
A．23 B．2 C．3 D．1
【答案】A
【详解】双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以距离为b=23.
2．渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c 则该双曲线的离心率为 e，故选C．
3.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±2x B．y= C． D．
【答案】B
【详解】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，
故渐近线方程为.
4．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】椭圆的焦点坐标为，所以，所以双曲线方程为，渐近线方程为.
5．当双曲线：的焦距取得最小值时，双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】,当时取等号，此时，，所以，即双曲线的渐近线方程为，故选C.
6．双曲线的左右焦点分别为，为右支上一点，且，，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知，，则.又因为，则，即.则渐近线方程为，故选B.
7．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
8．过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝（ ）
A．433 B．23 C．6 D．43
【答案】D
【详解】由双曲线x2-y23=1，可得渐近线方程为y=±3x，且右焦点为F(2,0)，令x=2，解得y=±23，所以|AB|= 43，故选D.
9．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A．
10．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.
11．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
则有∴，，，∴．故选D．
12．已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，渐近线方程，因此左顶点到一条渐近线的距离为，即该双曲线的标准方程为，选A.
13．已知双曲线，曲线在点处的切线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在点处的切线方程为:渐近线方程为,故选A.