一轮复习专题8.42椭圆及其性质（二）（解析版）教案

这是一份一轮复习专题8.42椭圆及其性质（二）（解析版）教案，共24页。教案主要包含了题组训练等内容，欢迎下载使用。

椭圆及其性质（二）
一、 学习目标：
1.理解椭圆的定义及其标准方程，并会求椭圆标准方程；
2.掌握椭圆的性质及其基本应用；
二、 教学过程
（一）必备知识：
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
※(2)椭圆第二定义(见人教A版教材选修1－1 P41例6、P43)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的__________．
2．椭圆的标准方程及几何性质

焦点在x轴上
焦点在y轴上
(1)图形


(2)标准方程

＋＝1(a>b>0)
(3)范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
(4)中心
原点O(0，0)
(5)顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)

(6)对称轴
x轴，y轴
(7)焦点

F1(0，－c)，F2(0，c)
(8)焦距
2c＝2
(9)离心率

※(10)准线
x＝±
y＝±
自查自纠：1．(1)＞　焦点　焦距　(2)离心率
2．(2)＋＝1(a＞b＞0) (5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
(7)F1(－c，0)，F2(c，0)　(9)e＝(0＜e＜1)
二、题组训练：
题组一
例题：
例1．（1）椭圆的短轴长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】，短轴长为4.
（2）已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A．， B.， C．， D．，
【答案】C
【详解】由已知，，且焦点在轴上，则，故椭圆的焦点坐标为，.
（3）已知点在椭圆上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为点在椭圆上，根据椭圆的范围可知，所以.
例2. （1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 焦点在轴， ， .
（2）“”是“方程为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】方程表示椭圆，则，解得或．
∴“”是“方程为椭圆”的必要不充分条件．故选：B．
练习：
1．已知椭圆上一点到椭圆的一焦点的距离为，则到另一焦点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和为，所以到另一焦点的距离为.
2．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的短轴长为4，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意得，且，故选A.
3．如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.
4．在区间上随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为故选.
5．如果方程表示椭圆,则m的取值范围是 ( )
A．(3,4)且m≠ B．(-∞,3)∪(4,+∞) C．(4,+∞) D．(-∞,3)
【答案】A
【详解】根据题意，如果方程表示椭圆，则有 ，
解可得3＜m＜4且 ，则m的取值范围是（3，4）且，故选：A．
6．“”是“椭圆的焦距为4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意，椭圆可化为，当时，，解得，当时，，解得，
即当或时，椭圆的焦距为4，所以“”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件.故选：A.
7．已知，，则“”是“表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以是必要不充分条件，选B.
8.关于实数，“”是方程“对应的曲线是椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】充分性：“”时，对应的曲线是双曲线，不是椭圆，故充分性不成立；必要性：已知“对应的曲线是椭圆”，所以且，故必要性不成立.
综上所述，“”是方程“对应的曲线是椭圆”的既不充分也不必要条件.故选：D.
题组二
例题：
例1．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】直线与轴的交点为,直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.则，所以椭圆的方程为：.故答案为：D
例2.过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题椭圆方程为，设与已知椭圆共焦点的椭圆方程为，将点代入有：，整理有，由于，所以，则所求椭圆标准方程为.
例3．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12，则椭圆C的方程为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得：，解得，因为椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆方程为：，故选：D.
练习：
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知椭圆焦点在轴上，因而椭圆方程设为，可知，可得，又，可得，所以椭圆方程为.
2．已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆长轴为，焦点恰好三等分长轴，所以椭圆方程为，故选B.
3．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为　　
A． B． C．或 D．以上答案都不对
【答案】C
【详解】设焦点在轴上，椭圆的标准方程为焦点坐标为，，顶点坐标为，；椭圆的，，关系：；直线恒过定点和直线必经过椭圆的焦点，和顶点带入直线方程：
解得：，，焦点在轴上，椭圆的标准方程为；
当设焦点在轴，椭圆的标准方程为焦点坐标为，，顶点坐标为，；椭圆的，，关系：直线恒过定点和直线必经过椭圆的焦点，和顶点带入直线方程解得：，，焦点在轴上，椭圆的标准方程为．故选：．
4．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
椭圆的焦点为，若过点且焦点为的椭圆方程为，故选C．
5．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题得：，解得，焦点在y轴上，故椭圆方程为：．
题组三
例题：
例1．已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，又，所以在直角三角形中，，因为，所以，所以椭圆的方程为：.
例2.已知,为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为30°的直线l与椭圆的一个交点为，若,，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设椭圆半焦距为c，A（x0，y0）（y0＞0），由得×2c•y0=2，∴y0=，∴x0=y0 =，又为直角三角形，则|OA|=|F1F2|=c，在直角中，由勾股定理得（）2+（）2=c2，解得c=2，所以A（，1），F1（-2，0），F2（2，0），所以2a=|AF1|+|AF2|==2，∴a=,a2=6，∴b2=2，∴椭圆C的方程为．
例3．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于两点．若，，则的方程为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，又，又，，，，，，，在轴上．在△中，，
在△中，由余弦定理可得，根据，可得，解得，．所以椭圆的方程为：．故选：．

练习:
1．已知直线经过椭圆（）的右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，与轴的交点为，是椭圆的左焦点，且，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】直线与轴和轴的交点分别为，，所以，又，所以，从而，所以椭圆方程为，故选：D．
2．椭圆的焦点为，，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意设椭圆的方程：，连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，由得，又，设，则，，又，解得，又由，，解得，，，则椭圆的方程为.故选：C.

3．已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得c=，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知 PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，|PF′|=，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，于是 b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以椭圆的方程为．故选B．
4．设椭圆的两个焦点分别为，，是上一点，若，且，则椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，解得，在△PF1F2中，由正弦定理:，解得，则，又，可知， ，得,解得， ， ，所以椭C方程.
题组四
例题：
例1．（1）已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是( ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意可知，所以点P的轨迹为椭圆，其中，所以方程为.
（2）设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由圆的方程可知，圆心，半径等于5，设点的坐标为，的垂直平分线交于，，又 ， ，依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以为焦点，且，故椭圆方程为，即.


（3）已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可知，直线为线段的中垂线，所以有，所以有，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，即，所以椭圆方程为,故选A．

例2．（1）点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，则的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设点为,由题意得,,即,,整理得到,故选：C
（2）在直角坐标平面内，已知，,动点满足 ，则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有，整理得.
（3）在直角坐标平面内，已知，,动点满足 ，则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有，整理得.
（4）在直角坐标平面内，已知，以及动点是的三个顶点，且，则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】∵sinAsinB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，∴sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，∴，设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有，整理得.
例3．过椭圆内一点R（1,0）作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹方程为 .
【答案】B
【详解】设，，P（x,y），则，，两式相减得，将代入可知轨迹为椭圆，故选B．
练习:
1．点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，则的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设点为,由题意得,,即,,整理得到,故选：D
2．已知的周长为，，则顶点的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的周长为12，顶点，，，，
，点到两个定点的距离之和等于定值，点的轨迹是椭圆，，
，椭圆的方程：故选：．
3．已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知AB、BC、CA成等差数列，则：|AB|+|AC|=2|BC|∵点B（-1，0），C（1，0），∴|BC|=2 所以，|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆 由已知有：c=1，a=2 所以，b2=a2-c2=4-1=3又已知|AB|＞|AC|所以点A位于上述椭圆的右半部分，且点A不能与B、C在同一直线（x轴）上（否则就不能构成三角形）所以，点A的轨迹方程是：．
4．已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意圆标准方程为，圆心为，半径为6，∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，∴点轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，∴，，∴其轨迹方程为．
5．已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，则，
∴，由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，，椭圆的方程为：故选：A．
6．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】D
【详解】由题意知，关于CD对称，所以，故，可知点P的轨迹是椭圆.

7．在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点且满足GA+GB+GC=0,MA=MB=MC，GM//AB，则顶点C的轨迹为( )
A．焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外) B．焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C．焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外) D．焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
【答案】B
【详解】设C(x，y)(y≠0)，因为GA+GB+GC=0，所以G为△ABC的重心，G(-2+2+x3,y3)，即G(x3,y3).又MA=MB=MC，即M为△ABC的外心，所以点M在y轴上，又GM//AB，则有M(0,y3).又因为MB=MC，所以x2+(y-y3)2=4+y29，化简得x24+y212=1，y≠0.所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点)．故选B.
题组五
例题：
例1．已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是( )
A． B．或 C． D．以上均不正确
【答案】A
【详解】设经过两点P和点Q的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为+x2=1．选A．
例2．已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（ ）
A． B．＝1 C．＝1 D．＝1
【答案】D
【详解】因为直线AB过点F（3,0）和点（1，－1），所以直线AB的方程为y＝（x－3），代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，椭圆方程为．
例3．已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为，且与抛物线y2＝x交于A，B两点，若△OAB(O为坐标原点)的面积为，则椭圆C的方程为( )
A． B．＋y2＝1 C． D．
【答案】A
【详解】∵椭圆C：与抛物线y2＝x交于A，B两点，∴设，则，解得x＝2，∴．由已知得，解得，∴椭圆C的方程为，故选A.
练习：
1．若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为焦距为，所以，即；又椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆方程为： ，又椭圆过点，所以，解得，因此所求椭圆的方程为：.故选：D
2．若中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x﹣y﹣2＝0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（　　）
A．1 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】设椭圆：1（a＞b＞0），则a2﹣b2＝50①又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）∵x0，∴代入直线方程得y02由，可得∴AB的斜率k••3∵1，∴a2＝3b2②联解①②，可得a2＝75，b2＝25，得椭圆的方程为：1故选：C．
3．已知椭圆的左顶点和左焦点分别为和,,直线交椭圆于两点(在第一象限),若线段的中点在直线上,则该椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图:设点,则,的中点为, 则 有题意可知,又 三点共线,可得: 可得: 解得: ,故——① ,可得: ——②
由①②可得:, 由,得， 该椭圆的方程为: .故选:C.

课外作业：
1．椭圆的长轴端点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，所以顶点为.
2．椭圆的焦距为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】C
【详解】，所以焦距为.
3.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴m2＞m+2＞0，解得m＞2或﹣2＜m＜﹣1．
4．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴.
5．设，且，则 椭圆 和 椭圆具有相同的（ ）
A．顶点 B.焦点 C.离心率 D.长轴和短轴
【答案】C
【详解】的离心率为,化为标准方程，所以离心率为，所以两椭圆离心率相同.
6．椭圆的长轴垂直于轴，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.且
【答案】C
【详解】椭圆的长轴垂直于轴，则，解得，故选C.
7．方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】方程表示焦点在轴的椭圆，即方程表示焦点在轴的椭圆，可得.故选：D.
8．“，”是“曲线为椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当时，满足，，曲线方程表示圆，不是椭圆，所以充分性不成立.若表示椭圆，则，且，即，，所以必要性成立，即“，”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件，故选：B.
9．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件.
【答案】B
【详解】充分性：当时，有、或者、两种情况.
若、，方程可化为，此时该曲线不是椭圆,故充分性不成立；
必要性：方程可化为，若此时该曲线为椭圆，则满足、，则有,故必要性成立，故选B.
10．已知椭圆E的中心为坐标原点离心率为，E的左焦点与抛物线的焦点重合,则椭圆E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为抛物线:的焦点为，设椭圆的方程为（），所以椭圆的半焦距，又因为椭圆的离心率为，所以，，所以椭圆的方程为.
11．一个椭圆中心在原点，焦点，在轴上，是椭圆上一点，且、、成等差数列，则椭圆方程为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，成等差数列，是椭圆上的一点，，．设椭圆方程为，则解得，，．
故椭圆的方程为．故选：．
12．已知椭圆的焦距为，椭圆C与圆交于M，N两点，且，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示：
∵,∴,∴点就是椭圆的另一个焦点，∴,即,又∵，∴，∴椭圆的标准方程为： .
13.已知椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，点在椭圆上，，，且四边形的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可得.又，所以.不妨设，则，即，，即.将代入椭圆方程可得，即.又四边形的面积为，即，联立，解得，.故椭圆的方程为.故选：A.