2021年重庆市璧山区八校九年级上学期数学期中联考试卷含答案

这是一份2021年重庆市璧山区八校九年级上学期数学期中联考试卷含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中联考试卷
一、单项选择题
1.观察出以下四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是〔   〕.

A.                  B.                  C.                  D. 
2.以下方程中是关于 的一元二次方程的是〔   〕
A.                        B.                        C.                        D. 
3.将抛物线 向下平移3个单位后的新抛物线解析式为〔   〕
A.       B.       C.       D. 
4.假设点A的坐标为〔 〕，那么点A关于原点的对称点A′的坐标为〔   〕
A. 〔 〕                        B. 〔 〕                        C. 〔 〕                        D. 〔 〕
5.如图，AB是⊙O的直径， ， ，那么 ＝〔   〕

A. 30°                                  B. 45°                                  C. 60°                                  D. 以上都不正确
6.原价为100元的某商品经过两次降价后，现售价80元，如果每次降价的百分比都为x，那么以下各式正确的选项是〔   〕
A.            B.            C.            D. 
7.假设关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是〔   〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
8.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为底边上的高，BC=6，AC=5，以A为圆心，AD为半径作⊙A，那么点C与⊙A的位置关系是〔   〕

A. 点C在⊙A内                       B. 点C在⊙A上                       C. 点C在⊙A外                       D. 不能确定
9.如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且CD＝10，AB=8，假设 于点E，那么OE的长为〔   〕

A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
10.一次函数 与 ，它们在同一坐标系内的大致图象是〔   〕
A.                  B.                  C.                  D. 
11.二次函数 的图象如下列图，以下结论：① ；② ；③m为任意实数，那么 ；④ ；⑤假设 且 ，那么 .其中正确的有〔   〕

A. ①④                                    B. ③④                                    C. ②⑤                                    D. ②③⑤
12.有五张分别标有数字-3，-1，0，1，2的卡片，现将它们反面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记该张卡片上的数字为k,那么使分式方程 有正数解，且使以 为自变量的二次函数 的图象不经过点 ，那么这5个数中满足条件的 的值的和是〔   〕
A. －1                                          B. 1                                          C. 2                                          D. 3
二、填空题
13.方程 的解为________.
14.二次函数y＝2〔x﹣5〕2+3的顶点坐标是________.
15.如图，在圆内接四边形ABCD中，假设∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，那么∠D的度数是      °．

16.如图，在宽为4m、长为6m的矩形绿地铺设两条同样宽的小路，余下局部种植小草.假设小路的面积9m2 ， 那么铺设的小路的宽应为      m.

17.〔-3，y1〕，〔-2，y2〕，〔1，y3〕是抛物线 上的点，那么y1 ， y2 ， y3的大小关系为________.
18.如图，在△ABC中，AC＝BC＝4， ，直线AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转 得到FC，连接DF，那么点E运动过程中，DF的最小值是________.

三、解答题
19.用适当的方法解方程：
〔1〕；
〔2〕.
20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A〔﹣1，﹣1〕、B〔﹣3，3〕、C〔﹣4，1〕

〔1〕画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1 ， 并写出点B的对应点B1的坐标；
〔2〕画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB2C2 ， 并写出点C的对应点C2的坐标．
21.如图， 是 的直径，C是 上一点， 在 的延长线上，且 .

〔1〕求证： 是 的切线；
〔2〕假设 的半径是 ， ，求 的长.
22.假设一个三位数t＝ 〔其中a、b、c不全相等且都不为0〕，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为T〔t〕.例如，539的差数T〔539〕＝953﹣359＝594.
〔1〕根据以上方法求出T〔268〕＝________，T〔513〕＝________；
〔2〕三位数 〔其中a＞b＞1〕的差数T〔 〕＝495，且各数位上的数字之和为3的倍数，求所有符合条件的三位数的值.
23.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时，我们也学习了绝对值的意义 .结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数 中，当 时， 当 时，

〔1〕求这个函数的表达式；
〔2〕在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象井并写出这个函数的一条性质；
〔3〕函 的图象如下列图，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集.
24.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人体中发现的新型冠状病毒.市民出于防疫的需求，持续抢购防护用品.某药店口罩每袋售价20元，医用酒精每瓶售价15元.
〔1〕该药店第一周口罩的销售袋数比医用酒精的销售瓶数多100，且第一周这两种防护用品的总销售额为9000元，求该药店第一周销售口罩多少袋？
〔2〕由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，第二周口罩售价降低了 ，销量比第一周增加了 ，医用酒精的售价保持不变，销量比第一周增加了 ，结果口罩和医用酒精第二周的总销售额比第一周增加了 ，求 的值.
25.如图：抛物线 的图象过点 .

〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕点 为抛物线第二象限上的一动点，求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标；
〔3〕在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 为直角三角形？假设存在，请求出点 的坐标；假设不存在，请说明理由.
26.旋转变换在平面几何中有着广泛的应用.特别是在解〔证〕有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题.
如图1， 与 均为等腰直角三角形， 与 交于点 ， 与 交于点 .

〔1〕以点 为中心，将 逆时针旋转90°，画出旋转后的 ，并证明 .
〔2〕如图2，在四边形ABCD中， ， ，AC平分 ，假设 ， ，那么对角线 的长度为多少？

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．

解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
应选B．
【分析】此题考查了中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．也考查了轴对称图形．
2.【答案】 D
【解析】【解答】一元二次方程概念中要求只含有一个未知数，有二次项且二次项系数不为0，故A,B,C三项错误，
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数项的最高次数是2的整式方程，再对各选项逐一判断。
3.【答案】 B
【解析】【解答】解： 向下平移3个单位


故答案为：B
【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a〔x±n〕2±m。根据平移规那么即可得出平移后的抛物线的解析式。
4.【答案】 D
【解析】【解答】∵点A的坐标为〔 〕关于原点对称，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点A关于原点的对称点A′的坐标。
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用等弧所对的圆心角相等，可求出∠COD的度数，然后利用平角的定义求出∠AOC的度数。
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意得： ；
故答案为：B.
【分析】此题的等量关系为：两次降价前的售价×〔1-降价率〕2=两次降价后的售价，由此可列方程。
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
那么 ，解得： ，
故答案为：C.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得出b2-4ac＞0，由此建立关于k的不等式，然后求出不等式的解集。
 
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ 是等腰三角形， 为底边上的高， ，
∴
 由勾股定理，得 ，
∴ ，
点 与 外边，
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质可求出DC的长，再利用勾股定理求出AD的长，然后根据点与圆的位置关系可得答案。
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OA.

∵CD是圆O的直径，且CD＝10，
∴
∵CD⊥AB，AB=8
∴
在直角△OAE中，
故答案为：A.
【分析】连接OA，利用垂径定理求出AE的长，再利用勾股定理求出OE的长。
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、由一次函数图象可得：a＞0，c＜0，由二次函数图象可得a＜0，c＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由一次函数图象可得：a＞0，c＞0，由二次函数图象可得a＞0，c＜0，矛盾，故本选项不符合题意；
C、由一次函数图象可得：a＜0，c＞0，由二次函数图象可得a＞0，c＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由一次函数图象可得：a＜0，c＞0，由二次函数图象可得a＜0，c＞0，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：根据一次函数的图像，分a＞0，c＜0；a＞0，c＞0；a＜0，c＞0，观察二次函数的图像，可得出正确结论的选项。
11.【答案】 C
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，故②正确；  
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴ ，
∴ ，故①错误；
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴函数最大值 ，
∴当 时，
，
即 ，故③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在 的左侧，而对称轴为直线 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点在 的右侧，
∴当 时， ，
∴ ，故④错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，故⑤正确；
综上所述，正确的有②⑤.
故答案为：C.
【分析】 观察抛物线的开口方向，可确定出a的取值范围，根据对称轴的位置：左同右异，可确定出b的取值范围，抛物线与y轴的交点位置，可确定出c的取值范围，由此可得到abc的取值范围，可对①作出判断；利用对称轴x==1，进行变形，可对②作出判断；根据x=1时，y的值最大，可对③作出判断；利用二次函数的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点在〔-1，0〕的右侧，可知当x=-1时，a-b+c＜0，可对④作出判断；利用条件可得到， 由x1≠x2,及b=-2a，可得到x1+x2的值，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的序号。
12.【答案】 B
【解析】【解答】∵方程 的解是 ，
∴-1，0，1，2能使方程有正整数解，
∵以 为自变量的二次函数 的图象不经过点 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴满足条件的k只有-1，0，2，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】先求出分式方程的解，根据此分式方程有正数解，可求出k的值，再根据二次函数不经过点〔1，0〕，由此建立关于k的不等式，求出不等式的解集，即可可得到k≠1且k≠-2，由此可得到满足条件的k的值；然后求出满足条件的k的值的和。
二、填空题
13.【答案】 x=±1
【解析】【解答】解：方程 的解为 .
故答案为：x=±1.
【分析】观察此方程缺一次项，因此利用直接开平方法求出方程的解。
14.【答案】 〔5，3〕
【解析】【解答】解：∵y＝2〔x﹣5〕2+3，
∴顶点为〔5，3〕，
故答案为：〔5，3〕.
【分析】利用二次函数y=a〔x-h〕2+k的顶点坐标为〔h，k〕，据此可求解。
15.【答案】 120
【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A=4x，那么∠B=3x，∠C=5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，
∴∠B=3x=60°，
∴∠D=180°﹣60°=120°．
故答案为：120．
【分析】由圆内接四边形的性质对角互补，即∠A+∠C=180°，求出每一份x，进而求出∠B=3x=60°，最后求出∠D=180°﹣60°=120°.
16.【答案】 1
【解析】【解答】设铺设的小路的宽为xm，
，
，
，
或 〔舍去〕；
故答案是1.
【分析】此题的等量关系为：两条小路的面积和减去中间小正方形的面积=9，设未知数，列方程，求出方程的解，即可得到符合题意的小路的宽。
17.【答案】
【解析】【解答】解：∵A(-3，y1)、B(-2，y2 )、C (1，y3)在二次函数y= 3x2 +12x+m的图象上，
∵y= 3x2 +12x+m的对称轴x= =-2，开口向上，
∴当x=-3与x=-1关于x=-2对称，
∵A在对称轴左侧,y随x的增大而减小，那么y1＞y2 ，
C在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵1>-1，
∴y3＞y1 ，
∴y3＞y1＞y2 ，
故答案为：y3＞y1＞y2.
【分析】利用二次函数解析式求出其对称轴，再利用二次函数的对称性可得到点〔-3，y1〕关于对称轴对称的点的坐标〔-1，y1〕；利用二次函数的增减性比较-2，-1，1的大小关系，就可得到y1 ， y2 ， y3的大小关系。
18.【答案】 1
【解析】【解答】解：取线段 的中点 ，连接 ，如下列图，

， ，
为等边三角形，且 为 的对称轴，
， ，
，
.
在 和 中，
，
，
.
当 时， 最小，
点 为 的中点，
此时 .
故答案为：1.
【分析】取线段AC的中点G，连接EG，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AD所在的直线是△ABC的对称轴，可求出CD，CG的长，易证∠FCD=∠ECG，利用SAS证明△FCD≌△ECG，利用全等三角形的对应边相等可证得DF=EG，利用垂线段最短可知当EG∥BC时，EG最小，点E运动过程中，DF的最小值就是EG的长，利用三角形的中位线定理可求出EG的长。
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解：
那么有：
解之得： ， ；

〔2〕解：
原式可化为：
那么有：
解之得： ， .
【解析】【分析】〔1〕观察方程的特点：方程右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程。
〔2〕观察方程特点：方程左右两边都含有公因式〔x-1〕，先整体移项，再利用因式分解法求出方程的解。
20.【答案】 〔1〕解：

B1(3， 3)

〔2〕解：

C2(－3，－4)
【解析】【分析】〔1〕根据轴对称的性质，描出△ABC的三个顶点关于y轴对称的点的坐标，分别为A1〔1，﹣1〕、B1〔3，3〕、C1〔4，1〕，连出△A1B1C1。
〔2〕利用方格纸画线段的逆时针垂直线段，得△AB2C2。
21.【答案】 〔1〕证明:连接OC,

由AB是⊙O的直径，C是 上一点， ∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90 ，因为OA=OC
∠BCD=∠A, ∠ACO=∠A=∠BCD,所以∠BCD+∠OCB=90 即∠OCD=90 ，CD是⊙O的切线.

〔2〕解：在 中，由勾股定理得：OD=5,BD=OD-OB=5-3=2,所以BD=2.
【解析】【分析】〔1〕连接OC，利用圆周角定理可得到∠ACB=90°，由此可推出∠ACO+∠OCB=90°，再利用等腰三角形的性质，结合条件可证得∠BCD+∠OCB=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论。
〔2〕在Rt△OCD中，利用勾股定理求出OD的长，然后根据BD=OD-OB，代入计算求出BD的长。
22.【答案】 〔1〕594；396
〔2〕T( )＝ ，
∴ ，
∵a＞b＞1，
∴b的可能值为5，4，3，2，
∴这个三位数可能是615，614，613，612，
∵各数位上的数字之和为3的倍数，
∴615，612满足条件，
∴符合条件的三位数的值为615，612.
【解析】【解答】解：〔1〕T〔268〕 ；
T〔513〕 ；
故答案为：594，396；
【分析】〔1〕根据T〔t〕的求法，直接代入求解；
〔2〕将T( )用代数式表示为99a﹣99，确定a；再由a＞b＞1，确定b的可能取值，初步确定符合条件的三位数；最后结合各数位上的数字之和为3的倍数，准确得到符合条件的三位数.
23.【答案】 〔1〕解：由题意，可得

∴函数的解析式为：

〔2〕解：

当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；

〔3〕解：
【解析】【解答】解：〔2〕由图像可知：
当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；
〔3〕由题意得：
∴即或
解之：x=4或x=1.
∴的解集为1≤x≤4.
【分析】〔1〕将两点坐标代入函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，由此可得函数解析式.
〔2〕利用描点法画出函数图像.
〔3〕根据两函数解析式，求出两函数图象的交点的横坐标，再利用函数图像可得到不等式的解集.
24.【答案】 〔1〕解：设第一周销售口罩 袋，那么销售医用酒精 瓶，
依题意，得 ，
解得 .
答：第一周销售口罩300袋，
故答案为：300

〔2〕解：依题意得，
，
整理得 ，
解得 〔舍去〕.
答： 的值为20，
故答案为：20.
【解析】【分析】〔1〕〕设第一周销售口罩 袋，那么销售医用酒精 瓶，根据等量关系列出方程式求解即可；〔2〕根据第二周和第一周的等量关系式列出方程式求解即可.
25.【答案】 〔1〕解：根据题意，将点 代入 ，
可得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为 ，

〔2〕解：过点 向 轴作垂线交 于点Q，

直线BC的解析式为 ，
设 ， ，
，
当 时，PQ最大，最大为PQ= ，
PQ 3，
∴PQ最大时，三角形的面积最大，最大面积为 ，此时P( , )；

〔3〕解：设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
当 时， ，
解得： ，
∴ ， ；
当 时， ，
解得： ，
∴ ；
当 时， ，
解得： ，
∴ ；
综上所述，存在这样的点M，使得 为直角三角形，它们分别为： .
【解析】【分析】〔1〕将点A，B，C的坐标分别代入函数解析式，建立关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，即可得到抛物线的解析式。
〔2〕过点P作PQ⊥x轴，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用两函数解析式设出点P的横坐标为t，可得到两点的纵坐标，再用含t的代数式表示出PQ，由题意可知要使△PBQ的面积最大，就是使线段PQ的值最大，可列出PQ与t的函数解析式；然后利用三角形的面积公式可得到△PBQ的面积与t的函数解析式，由此可得到PQ最大时，此三角形的最大面积。
〔3〕设点M〔1，y〕，再利用点B，C的坐标，利用勾股定理求出BM2 ， CM2 ， BC2的值；再根据△BCM是直角三角形，分情况讨论：BM2=CM2；CM2=BC2；BM2=BC2 ， 分别建立关于y的方程，解方程求出y的值，即可得到符合题意的点M的坐标。
26.【答案】 〔1〕解： 为等腰直角三角形，
，
以点 为中心，将 逆时针旋转 时，点A的对应点 与点B重合，
那么旋转后的 如图1所示：

如图1，连接 ，
∵ 与 均为等腰直角三角形，
∴ ，
，
由旋转的性质得： ，
∴ ，
，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ；

〔2〕解：如图2，将 顺时针旋转 到 ，连接 ，

平分 ， ，
，
由旋转的性质得： ，
是等腰直角三角形，
，
，
∴点 在同一直线上，
又 ，
，
，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】〔1〕根据题意画出图形，利用等腰直角三角形的性质可证得BC=AC，∠ACB=90°；连接MN，利用等腰直角三角形的性质及旋转的性质，可证得CM=CM＇，∠MCN=∠M＇CN，利用SAS证明△MCN≌△M＇CN；再利用全等三角形的性质可得到MN=M＇N；然后在Rt△BM＇N中，利用勾股定理可推出结论。
〔2〕将△ACD顺时针旋转90°，可得到△AC＇D＇，连接CC＇,BD，同理可证得△DAB≌△D＇AB，利用全等三角形的性质可得到BD=BD＇，在Rt△BCD中，利用勾股定理可求出BD的长，由此可求出CC＇的长，然后利用勾股定理求出AC的长。