2020-2021学年重庆市重庆市育才中学九年级上学期期中数学试题（含答案与解析）

这是一份2020-2021学年重庆市重庆市育才中学九年级上学期期中数学试题（含答案与解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆育才中学教育集团2020—2021学年（上）第二次月考（半期考试）
初2021届数学试卷
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. ﹣3的相反数为（　　）
A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3
【答案】D
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．
【详解】解：﹣3的相反数是3．
故选：D．
【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
2. 位于重庆市渝中区的洪崖洞原名洪崖门，主要景点由吊脚楼、仿古商业街等景观组成，建筑面积平方米，其中数据用科学记数法表示为（　　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：46000用科学记数法表示为4.6×104．
故选择：D．
【点睛】此题考查科学记数法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列软件图标中，是轴对称图形的是（　　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故错误；
B．是轴对称图形，故正确；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误；
D．不是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的判定，明确轴对称图形的定义是解决问题的关键．
4. 如图，已知为的直径，为圆周上一点，切线与射线交于点，若则的度数为（　　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【分析】如图，连接CA，根据先求得∠OAC=50°，为直径，PA是的切线，分别求出∠PCA=90°,∠PAC =40°，进而可求得∠P.
【详解】如图，连接CA，
∵OC=OA,且
∴∠OAC=
∵为的直径，PA是的切线
∴∠BCA=90°，∠OAP=90°
∴∠PCA=90°,∠PAC=∠OAP-∠OAC=40°
∴∠P=180°-∠PAC-∠PCA=50°,
故选C.

【点睛】本题考查了切线的性质与圆周角定理，明白直径所对的圆周角等于90°以及切线垂直于过切点的直径是解题的关键.
5. 如图，四边形与四边形位似，点为位似中心，若则四边形与四边形的面积比为（　　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据两个图形是相似形，根据相似图形的性质：面积之比等于对应边之比的平方可得到答案.
【详解】∵四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，，
∴四边形ABCD与四边形的面积比4:9，
故选C.
【点睛】此题主要考查了位似变换，关键是掌握相似图形的性质.
6. 估计的值应在（　　　）
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
【答案】D
【分析】先计算原式的结果，再根据结果判断范围．
【详解】原式，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算问题，掌握计算规则并准确化简是解决问题的关键．
7. 下列命题是真命题的是（　　　）
A. 三角形的一个外角等于两个内角的和 B. 平行四边形的对角线互相平分且相等
C. 菱形的对角线互相垂直 D. 任意多边形的内角和均为
【答案】C
【分析】A．利用三角形的外角定义即可判断，
B．利用平行四边形的性质对角线互相平分即可判断，
C. 利用菱形的性质，菱形的对角线互相平分且垂直即可判断，
D. 利用多边形的内角和定理即可判断任意多边形的内角和均为（n-2）×180º．
【详解】A. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故A是假命题，
B．平行四边形的对角线互相平分不一定相等故B是假命题，
C．菱形的对角线互相垂直是真命题，
D. 任意多边形的内角和均为（n-2）×180º，故D是假命题．
故选择：C．
【点睛】本题考查命题的真假问题，掌握各定理定义及其联系与区别，与命题真与假的定义，会用命题真假的标准识别是解题关键．
8. 下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有个黑色三角形，第②个图形中有个黑色三角形，第③个图形中有个黑色三角形，第④个图形中有个黑色三角形，按此规律排列下去，则第⑥个图形中黑色三角形的个数为（　　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据4-1=3，8-4=4，13-8=5，19-13=6，26-19=7，得出规律：从第一个数字开始，后一个是前一个数字依次加3，4，5，6……计算即可．
【详解】解：根据图形规律易有从第一个数字开始，后一个是前一个数字依次加3，4，5，6……
∴第⑥个图形中黑色三角形个数=1+3+4+5+6+7=26
故选：B
【点睛】本题考查了图形的变化类，解题的关键是要明确图形规律，然后计算即可．
9. 如图，校园内有两栋教学楼求真楼和行知楼已知的高度为米，为测量的高度，小诚先在行知楼顶端处测得求真楼顶端处的仰角为，然后下楼从行知楼底部点出发，先沿坡度为的斜坡行走米到达点再沿水平方向前进米到达求真楼底端点在同平面内，则求真楼的高度约为（　　　）
（参考数据：）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【分析】先利用坡比EG=2.4CG，利用CE的长求出CG、EG，RtΔCGE中，利用正切求出AF，楼高AB=AF+FB=AF+CD-CG计算即可．
【详解】过D作DF⊥AB于F，延长BE交DC于G，
由已知得CD=21米，CE=2.6米，BE=47.6米，
由CE坡度为，
CG：EG=1：2.4，
在RtΔCGE中，由勾股定理得CE2=CG2+EG2，即2.62=CG2+(2.4CG)2，解得CG=1米，EG=2.4CG=2.4米，
BG=BE+EG=47.6+2.4=50米，
DG=DC-CG=21-1=20米，
由∠B=90º，∠BGD=90º，∠BFD=90º，
四边形FBGD为矩形，
∴DF=BG=50米，BF=DG=20米，
在RtΔAFD中，
AF=tan14º×DF≈0.25×50=12.5米，
AB=AF+BF=32.5米．
故选择：B．

【点睛】本题考查解直角三角形的问题，掌握坡比，仰角概念，会用仰角与坡比构造直角三角形解决问题是关键．
10. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的和为（　　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先解不等式组，再根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式有正整数解，确定a的值即可解答．
【详解】解：解不等式组得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
将关于y的分式方程变形为：
，
解得：，
∵分式方程有正整数解，且y≠2，
∴a=3或﹣1，
∴3+（﹣1）=2，
故选：A．
【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式组、解含参数的分式方程，能根据条件确定参数的取值是解答的关键，注意分式有意义的隐含条件．
11. 如图，在中，点是边上的中点，连接，把沿着翻折，得到，连接若，，则点到直线的距离为（　　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【分析】连接，证明，再结合题意证明，作交延长线于点，即可在中求解．
【详解】如图，连接，与交于点，由翻折的性质可知，，
在中，点是边上的中点，结合翻折性质，可得，
是直角三角形，，
，，
，，，，
在中，，，则，即，
此时，作交延长线于点，此时即为点到直线的距离，
在中，，
故选：A．

【点睛】本题考查了与三角形中点有关的翻折问题，能够判断，进而转化条件进行推理是解决本题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，，若反比例函数的图象经过对角线的中点，则的值为（　　　）

A B. C. D.
【答案】C
【分析】过点A作轴，求出B，C的坐标，进而得到M点的坐标，代入解析式求解即可；
【详解】由题可知：，
过点A作轴，

则OD∥AF，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，，
∴，
把点M代入函数解析式得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与矩形面积的知识点，准确分析计算是解题的关键．
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
13. __________________．
【答案】
【分析】根据实数运算和特殊角的三角函数值计算即可．
详解】原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算与特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
14. 若，则___________________．
【答案】
【分析】先把整式化简成含有已知条件代数式的算式，再把已知条件代入即可得到所求的值 ．
【详解】解：∵原式=mn（m+n）+8，
∴当mn=-6，m+n=3时，
原式=-6×3+8=-10．
故答案为-10．
【点睛】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整体代入法的思想方法是解题关键．
15. 如图，矩形中，，以为直径的半圆与相切于点，连接则阴影部分的面积为__________________．（结果保留）

【答案】
【分析】连接OE，利用切线的性质得到，，易得四边形OECD是正方形，可计算出由弧DE、线段CD、CE围成的面积，在根据条件计算即可．
【详解】连接OE，

∵以为直径的半圆与相切于点，
∴，，
易得四边形OECD是正方形，
∴由弧DE、线段CD、CE围成的面积，
∴阴影部分的面积．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，切线的性质和扇形面积计算，准确分析计算是解题的关键．
16. 从这四个数字中任意取出两个不同的数字，取出的两个数字的和是偶数的概率为____．
【答案】
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可得解；
【详解】
可知共有种可能，两个数字之和为偶数的有4种，所以概率为；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图求概率，准确分析计算是解题的关键．
17. 育才中学学生康康早上从家去学校，已知康康家离学校路程为米，他从家匀速步行了分钟后，爸爸发现康康的早餐忘记带了，于是爸爸立刻拿起早餐匀速跑步追赶康康，追上康康后爸爸立刻将早餐交给了他，康康则继续以原速向学校走去（爸爸把早餐给康康的时间忽略不计），而爸爸将早餐给康康后，碰到熟人原地交流了分钟，为了上班不迟到，爸爸以更快的速度匀速返回家中．爸爸和康康两人相距的路程（米）与康康出发的时间分钟）之间的关系如图所示，则爸爸到家时，康康还要走______分钟到学校．


【答案】
【分析】康康10.5分钟走630米，求出康康的速度，求出21分钟爸爸将早餐给康康后，碰到熟人交流地点1260米，用27分钟是爸爸与康康相距920米构造方程求出爸爸返回时的速度，求出返回家所用时间，爸爸返回家，康康共走21+2+9分中，求出康康从家出发一共走的路程，求出未走的路程2640-1920=720米除以康康的速度即可．
【详解】康康10.5分钟走630米，v=米/分，
21分中康康走60×21=1260米，
爸爸将早餐给康康后，碰到熟人交流地点1260米，
27分钟是爸爸与康康相距920米，
2×60=120米，
27-21-2=4分，
爸爸与康康走4分钟相距920-120=800米，
设爸爸返回时速度为x米/分，
由题意得4（x+60）=800，
解得x=140，
爸爸返回家需要时间为：1260÷140=9，
康康共走21+2+9=32分中，
康康从家出发60×32=1920米，
2640-1920=720米，
爸爸到家时，康康还要走720米没走，
720÷60=12分，
爸爸到家时，康康还要走12分钟到学校．
故答案为：12．

【点睛】本题考查一次函数行程问题的图像，要读懂图像每个拐点的意义，抓住图像的信息，会处理信息，利用图像反映出的关系，够造方程解决问题是关键．
18. 为减轻“新冠”带来的影响，西城天街商场决定在国庆期间开展促销活动，方案如下：在负二楼兑奖区旁放置一个不透明的箱子，箱子里有大小、形状、质地等完全相同的黑、白、红球各一个，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中黑、白、红三种颜色的球可分别返还现金元、元、元．商场分上午、下午和晚上三个时间段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果如下：下午摸到黑球次数为上午的倍，摸到白球次数为上午的倍，摸到红球次数为上午的倍；晚上摸到黑球次数与上午相同，摸到白球次数为上午的倍，摸到红球次数为上午的倍，三个时间段返现总金额共为元，晚上返现金额比上午多元，则下午返现金额为_______元．
【答案】
【分析】根据题意表示出上午、下午、晚上摸到黑、白、红的次数，列数返现的金额式子，确定出a，b，c的值代入计算即可；
【详解】设上午黑、白、红摸到的次数分别是a，b，c，
则下午摸到黑、白、红的次数是3a，2b，4c，
晚上摸到黑、白、红的次数是a，4b，2c，
晚上返现金额比上午多840，
∴，
∴，
总返现为：，
根据题意：a，b，c是大于零的正整数，
当时满足条件a，b，c为正整数，
∴，，，
即下午返现的金额为元；
故答案是2460．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程的应用，理解题意，找准题目间数量关系，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据整式的乘法法则计算即可；
（2）根据分式混合运算法则计算即可．
【详解】（1）原式．
（2）原式


【点睛】本题考查了整式的乘法运算及分式的化简计算，熟练掌握基本公式，且注意计算过程中符号问题是解决问题的关键．
20. 随着冬季的来临，“新冠”疫情再次肆虐，育才中学为确保学生健康，开展了“远离新冠·珍爱生命”的防“新冠”安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取名学主的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组，；），下面给出了部分信息：七年级名学生的竞赛成绩是：：八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：．
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图

七、八年级抽取学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数


中位数


众数


方差


根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防“新冠”安全知识更好﹖请说明理由（一条即可）；
（3）育才中学七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1）a=40，b=94，c=99；（2）八年级学生掌握防“新冠”安全知识更好，理由见解析；（3）972人．
【分析】（1）先求出八年级在C的比例，根据A，B两组对应的百分数，再结合已知可得出D组的人数即可求出a值，再求出中位数与众数即可；
（2）根据中位数和众数与方差的数据进行决策即可；
（3）求两个年级得出成绩优秀的人所占的百分比，再乘以总人数即可．
【详解】（1）八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：．说明八年级10名学生中有三名学生在C组，C的百分比为，
，
八年级名学生的竞赛成绩的中位数是第和第个数据的平均数，
，
在七年级名学生的竞赛成绩中出现的次数最多，
；
八年级学生掌握防“新冠”安全知识更好．
理由：七、八年级的平均分均为分．
但八年级的中位数高于七年级（众数高于七年级或八年级方差小于七年级），
所以八年级掌握防“新冠”安全知识好．（中位数、众数、方差三者答到一个都算对）
参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数七年级有5人，八年级10×40%=4人，两个年级20人中有9人95分以上，为此参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数为人
答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人．
【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及用样本估计总体；利用统计图获取正确的信息是解题关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．

（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）4．
【分析】（1）将点A，B分别带入反比例函数中算出m，n的值，然后根据待定系数法求一次函数表达式式；
（2）将△AOB分成△AOC和△COB，然后计算面积．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，

将分别代入中，
得到，
解得
该一次函数解析式为：
令中，
得




【点睛】本田翼主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，计算三角形面积需注意分割计算．
22. 任意一个三位正整数，如果它的前两位数能被整除，它本身能被整除，那么我们把这样的数称为“夹心数”．例如：的前两位数能被整除，它本身能被整除，所以是一个“夹心数”．
（1）判断和不是“夹心数"？并说明理由；
（2）若“夹心数”皆为整数），并且的各位数字之和为一个完全平方数，求出满足条件的所有“夹心数”，并说明理由．
【答案】（1）324是“夹心数”，425不是“夹心数”，理由见解析；（2）所有符合条件的“夹心数”有：，理由见解析．
【分析】（1）根据材料定义，逐个判断即可；
（2）根据材料定义，首先列出关于x，y满足的式子，再根据限定条件分类讨论．
【详解】是“夹心数”，不是“夹心数”．
理由如下：
能被整除，能被整除，
所以是“夹心数”；
不能被整除，
所以不是“夹心数”
是“夹心数”，
为偶数，且是的倍数，
，
，
的各位数字之和为一个完全平方数，

当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所有符合条件的“夹心数”有：．
【点睛】本题考查了数的整除问题，能够读懂原材料并结合所学知识点分析条件，分类讨论是解决问题的关键．

23. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质”．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对已知经过点的函数（其中常数）的图象和性质展开研究，当时，函数与轴相交于点（7,0），且与轴相交于点（0，-3.5）.探究过程如下，请补全过程：

（1）求出的值；
（2）请根据解析式列表、在给出的平面直角坐标系中描点、并画出函数图象．

···







···

···







···
①_　　　　；　　　　；
②并写出这个函数的一条性质：_　　　　；
（3）若函数的图象与该函数图象有两个交点，请直接写出的所有可能取值．
【答案】（1）；（2）根据表格描点画出函数图象，①，﹔②这个函数的最小值为；（3）或．
【分析】（1）判断点（-4，-1）在分段函数的位置，带入其中，求出=4；（7,0）、（0，-3.5）均在y=上，将两点带入解析式，求出；
（2）根据表格描点画出函数图象，根据m、n所对应的x值，判定所属的函数解析式，带入求值，解得m、n，根据图象写出函数性质，符合题意即可；
（3）画出函数图像后，根据图象进行分析，求值．
【详解】解：（1）∵点（-4，-1）在函数图象上，-4-1，0>-1
∴点、均在y=上，
带入两点坐标：
解得：
即：
（2）函数图象如图所示：

①由（1）可知
∴x=-1时，y=-4；x=9时，y=1
即：m=-4，n=1
②由图象可知，函数在x=-1时，y由最小值-4．
（3）当经过点（-2,-2）时，直线图象与y=有一个交点，与y=有一个交点；
当经过点（-1，-4）时，直线图象与y=有两个交点，与y=无交点，
t>-4只有一个交点，t