2020-2021学年陕西省西安高二（下）期末考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年陕西省西安高二（下）期末考试数学（文）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A={x|x2−5x+6<0}，B={x|2x−1>0}，则A∪B=（ ）
A.⌀B.RC.AD.B

2. 若i为虚数单位，则4−2i1−i2的虚部为( )
A.4iB.4C.2iD.2

3. 某英语初学者在拼写单词“ desk”时，对前三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“d”、“e”、“s”三个字母组成并且“d”只可能在前两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（ ）
A.112B.18C.14D.12

4. 函数fx=1x−sinx的图像大致是( )
A.B.
C.D.

5. 在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹=4丈，1丈=10尺，若这个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an，bn=2an，对于数列{an}，{bn}，则a5lg2b10=( )
A.193209B.209193C.193289D.289209

6. 记Sn为数列an的前n项和，若a1=1，a2=2，且an+2−an=1+−1n+1，则S100的值为( )
A.5050B.2600C.2550D.2450

7. 已知:fx=sinωx+φω>0满足：f−π6=1，fπ3=0，在区间2π3,5π6上，fx为减函数，则ω的最大值为( )
A.3B.5C.7D.9

8. 定义在R上偶函数f(x)，满足f(x)=f(−2−x)，且当x∈[−1, 1]时，f(x)=2|x|．若在区间[−3, 3]上，函数g(x)=f(x)−tx−2t恰有五个不同的零点，则实数t的取值范围是( )
A.(0, 25]B.(0, 23]C.[25, 23]D.[23, +∞)

9. 一组数据按从小到大排列为2，2，4，x，7，9，若这组数据的平均数与中位数相等，则下列说法正确的是（ ）
A.x=5B.众数为4C.中位数为5D.方差为223

10. 已知直线l过原点，圆C:x2+y2−6x+5=0，则下列叙述错误的是（ ）
A.圆C的圆心为点3,0
B.设直线l与圆C交于两点A，B，则AB中点M轨迹为一段圆弧
C.存在实数k，使直线m:y=kx−4与圆C相切
D.不存在实数k，使圆C上恰有三个点到直线m:y=kx−4的距离为1

11. 已知定义域为−∞,0∪0,+∞的函数fx满足fab=fa+fb，且当x>1时fx>0，则下列叙述正确的是（ ）
A.函数fx是奇函数B.函数fx是偶函数
C.函数fx在−∞,0单调递增D.函数fx在0,+∞单调递减

12. 已知在三棱锥P−ABC中，O为AB中点，PO⊥平面ABC，∠APB=90∘，PA=PB=2，下列说法中错误的是( )
A.若O为△ABC的外心，则PC=2
B.若△ABC为等边三角形，则AP⊥BC
C.当∠ACB=90∘时，PC与平面PAB所成的角的范围为(0,π4]
D.当PC=4时，M为平面PBC内动点，满足OM//平面PAC，则M在三角形PBC内的轨迹长度为2
二、填空题

等腰直角三角形ABC中， ∠C=90∘,CA=CB=2，则有CA→⋅AB→=________.

函数fx=lnxx在x0,fx0处的切线方程经过点0,0，则x0=______.

已知三棱锥S−ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=3，SA=SB=SC=3，则三棱锥的外接球表面积为________．

抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点P在l上，线段PF与抛物线C交于点A，若PF→=4AF→，点A到x轴的距离为2，则p的值是________.
三、解答题

随着经济水平的提高，智能家居已成为生活中的热点，应用于寻常百姓家中的比例逐年上升．智能家居与传统家居的最大区别在于用电器的开关控制，由过去的人工控制变成智能终端控制．某生活家居馆新推出一套智能家居产品，为了占领市场，举行为期六周的“感恩有你，钜惠给你”低价风暴活动，到第五周末该生活家居馆对前五周销售情况进行统计，得到统计表格如下（y表示第x周确定订购的数量），且通过散点图发现y与x具有线性相关关系．

(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；

(2)预测第六周订购智能家居产品的数量能否超过28．
参考公式： b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2，a=y−bx．

已知等比数列an的公比为qq≠1，前n项和为Sn,S3=14，且3a2是2a3与4a1的等差中项．
(1)求an的通项公式；

(2)设bn=1lg2an+1lg2an+2,bn的前n项和为Tn，证明： Tn<12 .

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+ccsB+csC=a．
(1)求∠A；

(2)若c=2b，在以AC为直径的圆上取一点M，且点M在△ABC内部，MC2+MB2=c2，求tan∠MAC．

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=1，E，F分别为棱PC，BC上一点，且BE⊥PC，EF//平面PAB．

(1)求证：AE⊥PC；

(2)当BF=2FC时，求三棱锥P−ABC的表面积．

椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，右顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，△ABC的面积为3,AB→⋅AC→=8.
(1)求椭圆方程；

(2)Mx0,y0是椭圆上在第三象限内的动点，直线MA交y轴于P，直线MB交x轴于Q，求△MPQ面积的最大值．

已知函数fx=x2ex−x22−2xx>0
(1)证明：fx存在唯一的极值点x0，且12
(2)x0是fx的极值点，证明：−89参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市高二（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出集合A，B，计算即可．
【解答】
解：A={x|x2−5x+6<0}=(2, 3)，B={x|2x−1>0}=(12, +∞)，
则A∪B=B.
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
无
【解答】
解：4−2i1−i2=4−2i−2i=4−2ii−2ii=4i+22=1+2i．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
【解答】
解：满足题意的字母组合有四种，分别是des、dse、eds、sde，拼写正确的组合只有一种des，
∴P=14．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：由f−x=−fx可知fx的图像关于原点对称，排除A；
函数值域中，显然y≠0，故排除C；
x>0，f′x=1−csxx−sinx2>0，故在0,+∞上fx为减函数，排除D．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
数列的应用
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的前n和公式求出数列的公差，再利用等差数列的通项公式以及对数的运算性质即可求解．
【解答】
解：由题意知：一个月共织了390尺布，且每天的织布数成等差数列，设公差为d，
∴ 30×5+30×292d=390，解得：d=1629
∴ a5=5+1629×4=20929，
∴ lg2b10=lg22a10=a10=5+9×1629=28929，
∴ a5lg2b10=209289.
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
由递推公式可得an的偶数项相等，奇数项为等差数列，再利用等差数列的求和得解.
【解答】
解：由an+2−an=1+−1n+1，
得a2k+2−a2k=1+−12k+1=0，
故a2=a4=⋯=a2k=2，
a2k+1−a2k−1=1+−12k−1+1=2，
所以a2k+1=a2k−1+2，
S100=a1+a3+⋯+a99+a2+a4+⋯+a100
=(1+3+5+⋯+99)+2×50
=2600.
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：由题意 ω⋅−π6+φ=2k1π+π2，ω⋅π3+φ=k2π， k1,k2∈Z，
其中k=k2−2k1，k∈Z，
故ω=2k−1，
fx取最大值时：x=2nπω−π6n∈Z，在区间2π3,5π6上，fx为减函数，
故存在n0∈Z，使得：2π3≥−π6+2n0πω，5π6≤−π6+2n0+1πω，
得：12n05≤ω≤2n0+1，
由12n05≤2n0+1⇒n0≤52，即n0=2时，245≤ω≤5，
故ω最大值为5．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
函数的零点与方程根的关系
函数的周期性
【解析】
原问题可转化为函数y＝f(x)和y＝tx+2t有五个不相同的交点；由偶函数f(x)满足f(x)＝f(−2−x)，可知f(x)的周期为2；然后作出函数f(x)和y＝tx+2t的图象，结合图象可得，当y＝tx+2t经过点(3, 2)时，恰能满足题意，此时有g(3)＝0，从而解出t的值，进而得t的取值范围．
【解答】
解：在区间[−3, 3]上，函数g(x)=f(x)−tx−2t恰有五个不同的零点，等价于f(x)=tx+2t有五个不相等的实数根，即函数y=f(x)和y=tx+2t有五个不相同的交点．
∵ 偶函数f(x)满足f(x)=f(−2−x)，
∴ f(x)=f(x+2)，
∴ 函数f(x)的周期为2．
作出函数f(x)和y=tx+2t的图象，如图所示：
当y=tx+2t经过B(3, 2)时，两个图象在[−3, 3]上有5个交点，
此时g(3)=2−5t=0，解得t=25，
∴ 要使在区间[−3, 3]上，函数g(x)=f(x)−tx−2t恰有五个不同的零点，则0故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
无
【解答】
解：一组数据按从小到大排列为2，2，4，x，7，9.
∵这组数据的平均数与中位数相等，
∴162+2+4+x+7+9=4+x2，
解得x=6，故A错误；
众数为2，故B错误；
中位数为4+62=5，故C正确；
平均数为5．
方差为16[2−52+2−52+4−52+6−52+7−52+9−52]=203，故D错误．
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
轨迹方程
【解析】
无
【解答】
解：对于A，化成标准方程x−32+y2=4，故A正确；
对于B，因为∠OMC=90∘，
所以点M的集合为以OC为直径的圆在圆C内的弧，故B正确；
对于C，因为直线m过定点4,0在圆C内，
所以直线m不能与圆C相切，故C错误；
对于D，圆C的半径为2，
所以要满足圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，
需圆心C到直线m的距离为1，
此时直线m斜率不存在，故D正确.
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
无
【解答】
解：令a=b=1，可得f1=0；
又令a=b=−1，可得f−1=0；
令b=1a，f1a=−fa；
令b=−1，可得f−a=fa，
∴函数fx是偶函数，故B正确．
故选B．
12.
【答案】
B
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
棱锥的结构特征
直线与平面所成的角
直线与平面垂直的判定
【解析】
由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断①正确；由线面垂直的判断和性质可判断②错误；由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得C到平面PAB的距离的范围，可判断③；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得④正确．
【解答】
解：O为△ABC的外心，可得OA=OB=OC=2,
PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，即有PC=PO2+OC2=2，A正确；
因为△ABC为等边三角形，若AP⊥BC，又AP⊥PB，可得AP⊥平面PBC，即AP⊥PC，
由PO⊥OC可得PC=PO2+OC2=2+6=22=AC，矛盾，B错误；
当∠ACB=90∘时，设PC与平面PAB所成角为θ，
可得OC=OA=OB=2，PC=2.
设C到平面PAB的距离为d，
由VC−PAB=VP−ABC，可得13d⋅12⋅2=13⋅2⋅12AC⋅BC，
即AC⋅BC=22d≤AC2+BC22=4，当且仅当AC=BC=2取等号，
可得d的最大值为2，sinθ=d2≤22，即θ的范围为(0,π4]，C正确；
取BC的中点N，PB的中点K，连接OK，ON，KN，
由中位线定理可得ON//AC，OK//PA，可得平面OKN//平面PAC，
可得M在线段KN上，而KN=12PC=2，D正确．
故选B.
二、填空题
【答案】
−2
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
可画出图形，根据题意CA→⊥CB→，且CA→=2，从而可得出CA→⋅AB→=CA→⋅CB→−CA→=−CA→2,进而求得结果.
【解答】
解：如图，
可知CA→⊥CB→，且CA→=CB→=2，
∴ CA→⋅CB→=0，
∴ CA→⋅AB→=CA→⋅CB→−CA→
=CA→⋅CB→−(CA→)2
=0−2
=−2．
故答案为：−2．
【答案】
e
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
由题意，先对函数进行求导，得到函数在x0,fx0处的切线方程，再将点0,0求解即可.
【解答】
解：已知函数f(x)=lnxx，函数定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=1−lnxx2，
易得f′(x0)=1−lnx0x02，
而f(x0)=lnx0x0，
所以函数f(x)在(x0,f(x0))处的切线方程为y−lnx0x0=1−lnx0x02(x−x0)，
因为该切线方程经过点(0,0)，
将该点代入切线方程中可得lnx0=12，
所以x0=e.
故答案为：e.
【答案】
12π
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
无
【解答】
解：取AB中点D.
因为△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，
则点D是△ABC的外心.
又SA=SB=SC=3，
则易知SD⊥平面ABC，三棱锥外接球球心在直线SD上.
又△SAB为正三角形，
则△SAB的中心O即为外接球球心，
外接球半径R=23SD=23×32×3=3，
外接球表面积S=4πR2=12π．
故答案为：12π．
【答案】
22
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
【解析】
先求出∠APB的正切值，再根据抛物线性质求出p.
【解答】
解：如图，准线l与x轴交于点D，过点A作AB⊥l于点B.
因为PF→=4AF→，
则|AP|=3|AB|=3|AF|，
所以PB=AP2−AB2=22AB，
所以tan∠PAB=PBAB=22，
所以tan∠PFD=tan∠PAB=22，
所以|DP|=22|FD|=22p.
因为点A到x轴的距离为2，
所以22p2=4，
解得 p=22.
故答案为：22.
三、解答题
【答案】
解：(1)依题意：x=15(1+2+3+4+5)=3，y=15(5+9+12+16+23)=13，
所以b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2
=16+4+3+2010=4310=4.3，
所以a=13−4.3×3=0.1，
故所求回归直线方程为y=4.3x+0.1．
(2)将x=6，代入y=4.3x+0.1中，
得y=4.3×6+0.1=25.9≈26，
故预测第六周订购智能家居产品的数量不会超过28．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)依题意：x=15(1+2+3+4+5)=3，y=15(5+9+12+16+23)=13，
所以b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2
=16+4+3+2010=4310=4.3，
所以a=13−4.3×3=0.1，
故所求回归直线方程为y=4.3x+0.1．
(2)将x=6，代入y=4.3x+0.1中，
得y=4.3×6+0.1=25.9≈26，
故预测第六周订购智能家居产品的数量不会超过28．
【答案】
(1)解：∵ 3a2是2a3与4a1的等差中项，
∴ 6a2=2a3+4a1，
∴ q2−3q+2=0， ∴ q=2或q=1（舍去）.
∵ S3=14，∴ a11−21−23=14，
∴ a1=2，∴ an=2n.
(2)证明：由(1)得bn=1lg22n+1⋅lg22n+2
=1n+1n+2=1n+1−1n+2
Tn=12−13+13−14+14−15+…+1n+1−1n+2
=12−1n+2，
∴ Tn<12.
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的性质
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：∵ 3a2是2a3与4a1的等差中项，
∴ 6a2=2a3+4a1，
∴ q2−3q+2=0， ∴ q=2或q=1（舍去）.
∵ S3=14，∴ a11−21−23=14，
∴ a1=2，∴ an=2n.
(2)证明：由(1)得bn=1lg22n+1⋅lg22n+2
=1n+1n+2=1n+1−1n+2
Tn=12−13+13−14+14−15+…+1n+1−1n+2
=12−1n+2，
∴ Tn<12.
【答案】
解：(1)b+c=acsB+acsC
⇒sinB+sinC=sinAcsB+sinAcsC
⇒sinA+C+sinA+B=sinAcsB+sinAcsC
=csAsinB+sinC=0.
∵ sinB+sinC≠0，
得：csA=0⇒∠A=90∘．
(2)如图.
设∠MAC=θ,A∈0,π，
则MC=bsinθ，MA=bcsθ.
在△ABM中，MB2=c2+b2cs2θ−2c⋅bcsθcs90∘−θ
=c2+b2cs2θ−2cbcsθsinθ
=4b2+b2cs2θ−4b2csθsinθ，
∴ bsinθ2+4b2+b2cs2θ−4b2csθsinθ=c2=4b2，
∴ sin2θ+cs2θ−4sinθcsθ=0，
等式两边同除cs2θ，得：tan2θ−4tanθ+1=0，
∴ tanθ=2±3，
当tanθ=2−3<12时，点M在△ABC外，
故tanθ=2+3．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)b+c=acsB+acsC
⇒sinB+sinC=sinAcsB+sinAcsC
⇒sinA+C+sinA+B=sinAcsB+sinAcsC
=csAsinB+sinC=0.
∵ sinB+sinC≠0，
得：csA=0⇒∠A=90∘．
(2)如图.
设∠MAC=θ,A∈0,π，
则MC=bsinθ，MA=bcsθ.
在△ABM中，MB2=c2+b2cs2θ−2c⋅bcsθcs90∘−θ
=c2+b2cs2θ−2cbcsθsinθ
=4b2+b2cs2θ−4b2csθsinθ，
∴ bsinθ2+4b2+b2cs2θ−4b2csθsinθ=c2=4b2，
∴ sin2θ+cs2θ−4sinθcsθ=0，
等式两边同除cs2θ，得：tan2θ−4tanθ+1=0，
∴ tanθ=2±3，
当tanθ=2−3<12时，点M在△ABC外，
故tanθ=2+3．
【答案】
(1)证明：连接AE.
∵ PA⊥平面ABC，
∴ PA⊥AB，PA⊥AC.
又∵ AB⊥AC，AC∩PA=A，
∴ AB⊥平面PAC，
∴ AB⊥PC.
又∵ BE⊥PC，BE∩AB=B，
∴ PC⊥平面ABE，
∴ AB⊥PC．
(2)解：由EF//平面PAB，EF⊂平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB得EF//PB.
因为BF=2FC，
所以PE=2EC，
由(1)可得，△APE∽△CPA，
则AP2=PE⋅PC=23PC2.
又PA=1，所以PC=62.
在Rt△PAC中，AE2=PE⋅EC=23PC⋅13PC=29PC2=13，
所以AC=22，BE=AB2+AE2=1+13=233，
则该三棱锥的表面积
S=S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC
=12+2×24+12×233×62=12+2．
【考点】
两条直线垂直的判定
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：连接AE.
∵ PA⊥平面ABC，
∴ PA⊥AB，PA⊥AC.
又∵ AB⊥AC，AC∩PA=A，
∴ AB⊥平面PAC，
∴ AB⊥PC.
又∵ BE⊥PC，BE∩AB=B，
∴ PC⊥平面ABE，
∴ AB⊥PC．
(2)解：由EF//平面PAB，EF⊂平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB得EF//PB.
因为BF=2FC，
所以PE=2EC，
由(1)可得，△APE∽△CPA，
则AP2=PE⋅PC=23PC2.
又PA=1，所以PC=62.
在Rt△PAC中，AE2=PE⋅EC=23PC⋅13PC=29PC2=13，
所以AC=22，BE=AB2+AE2=1+13=233，
则该三棱锥的表面积
S=S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC
=12+2×24+12×233×62=12+2．
【答案】
解：(1)S△ABC=12⋅2b⋅a=ab=3，
AB→=−a,b,AC→=−a,−b，
∴ AB→⋅AC→=a2−b2=8，
与ab=3解得：a2=9,b2=1，
∴ 椭圆方程为：x29+y2=1.
(2)设 P0,p,Qq,0，
则kQB=kMB⇒−1q=y0−1x0⇒q=−x0y0−1，
kPA=kMA⇒−p3=y0x0−3⇒p=−3y0x0−3，
S△MPQ=S△MPB−S△QPB
=12|BP|⋅|x0|−12|BP|⋅|q|
=12|BP| ⋅|x0−q|
=−121+3y0x0−3x0+x0y0−1
=−12⋅(x0−3+3y0)x0y0(x0−3)(y0−1).
∵ x029+y02=1x0<0,y0<0，
∴ x03=csθ,y0=sinθ(θ∈(π,32π))，
S△MPQ=−12⋅3csθ−3+3sinθ⋅3csθsinθ3csθ−3sinθ−1
=−32⋅csθ−1+sinθ⋅csθsinθcsθsinθ−csθ−sinθ+1.
∵ csθ+sinθ2=1+2csθsinθ，
∴ csθsinθ=csθ+sinθ2−12=csθ+sinθ+1csθ+sinθ−12，
∴ S△MPQ=−32⋅(csθ+sinθ−1)2(csθ+sinθ+1)(csθ+sinθ+1)(csθ+sinθ−1)−2(csθ+sinθ−1)=−32csθ+sinθ+1=−322sinθ+π4−32，
当θ=5π4时，S△MPQ取最大值为322−32.
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)S△ABC=12⋅2b⋅a=ab=3，
AB→=−a,b,AC→=−a,−b，
∴ AB→⋅AC→=a2−b2=8，
与ab=3解得：a2=9,b2=1，
∴ 椭圆方程为：x29+y2=1.
(2)设 P0,p,Qq,0，
则kQB=kMB⇒−1q=y0−1x0⇒q=−x0y0−1，
kPA=kMA⇒−p3=y0x0−3⇒p=−3y0x0−3，
S△MPQ=S△MPB−S△QPB
=12|BP|⋅|x0|−12|BP|⋅|q|
=12|BP| ⋅|x0−q|
=−121+3y0x0−3x0+x0y0−1
=−12⋅(x0−3+3y0)x0y0(x0−3)(y0−1).
∵ x029+y02=1x0<0,y0<0，
∴ x03=csθ,y0=sinθ(θ∈(π,32π))，
S△MPQ=−12⋅3csθ−3+3sinθ⋅3csθsinθ3csθ−3sinθ−1
=−32⋅csθ−1+sinθ⋅csθsinθcsθsinθ−csθ−sinθ+1.
∵ csθ+sinθ2=1+2csθsinθ，
∴ csθsinθ=csθ+sinθ2−12=csθ+sinθ+1csθ+sinθ−12，
∴ S△MPQ=−32⋅(csθ+sinθ−1)2(csθ+sinθ+1)(csθ+sinθ+1)(csθ+sinθ−1)−2(csθ+sinθ−1)=−32csθ+sinθ+1=−322sinθ+π4−32，
当θ=5π4时，S△MPQ取最大值为322−32.
【答案】
证明：(1)∵x>0，f′x=x2+2xex−x−2=x+2xex−1，
令g(x)=xex−1，
∵x>0，
∴g′(x)=(x+1)ex>0，
∴g(x)在0,+∞上为增函数.
∵g12=e122−1<0，
g23=2e233−1=2e23−323>0，
故g(x)存在唯一的零点x0，且12又x∈0,x0时，f′x<0，fx单调递减；
x∈x0,+∞时，f′x>0，fx单调递增；
故fx存在唯一的极值点x0，且12(2)由(1)知：fx0是fx的最小值，
故fx0又x0ex0=1，
∴ex0=1x0，
fx0=x02ex0−x022−2x0=x0−x022−2x0=−x022−x0，
∵ℎ(x)=−x22−x在0,+∞上是减函数，
∴由x0<23，
得ℎ(x0)> ℎ23=−12232−23=−89，
即fx0>−89．
∴−89【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)∵x>0，f′x=x2+2xex−x−2=x+2xex−1，
令g(x)=xex−1，
∵x>0，
∴g′(x)=(x+1)ex>0，
∴g(x)在0,+∞上为增函数.
∵g12=e122−1<0，
g23=2e233−1=2e23−323>0，
故g(x)存在唯一的零点x0，且12又x∈0,x0时，f′x<0，fx单调递减；
x∈x0,+∞时，f′x>0，fx单调递增；
故fx存在唯一的极值点x0，且12(2)由(1)知：fx0是fx的最小值，
故fx0又x0ex0=1，
∴ex0=1x0，
fx0=x02ex0−x022−2x0=x0−x022−2x0=−x022−x0，
∵ℎ(x)=−x22−x在0,+∞上是减函数，
∴由x0<23，
得ℎ(x0)> ℎ23=−12232−23=−89，
即fx0>−89．
∴−891
2
3
4
5
y
5
9
12
16
23