2020-2021学年吉林省长春市高二（下）期末考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年吉林省长春市高二（下）期末考试数学（文）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x|x≤3,x∈N，B=−1,0,1,2,3，则A∩B=（ ）
A.0,1,2,3B.1,2,3C.2,3D.0,1,2

2. 若p是真命题，q是假命题，则( )
A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.￢p是真命题D.￢q是真命题

3. 1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的( ）
A.充分条件B.必要条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

4. 复数z在复平面内对应点的坐标为(3, 6)，则|z−2i|= ( )
A.3B.4C.5D.6

5. 命题“∀x>0，xsinx0，xsinx≥2x−1B.∃x>0，xsinx≥2x−1
C.∀x≤0，xsinx0，得证．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
(1)求导并根据f′0=0即可得a=−1，检验满足题意，再根据导函数求−2,1上的单调区间，即可求解．
(2)令gx=fx+x2−3=ex−4x+x2+1，进而证明函败gx的最小值大于0即可．
【解答】
(1)解：函数fx的定义域为R， f′x=ex+a，f′0=e0+a=0，
∴a=−1（经验证a=−1满足题意），
∴f′x=ex−1，
在−2,0上f′x0，fx单调递增．
∴x=0时fx取最小值为f0=e0+1=2，
∴fx在−2,1的最小值为2．
(2)证明：当a=−4时，令gx=fx+x2−3=ex−4x+x2+1，
g′x=ex−4+2x，
令ℎx=ex−4+2x，
∵ℎ′x=ex+2>0恒成立，
∴g′x在R上单调递增， g′(0)=−3g1=0，
∴gx>0，
即fx+x2−3>0，得证．
【答案】
(1)由cs2α+sin2α=1得
曲线C的直角坐标方程为x28+y24=1，
由ρcsα=x，ρsinα=y得
曲线C的极坐标方程为
ρ2cs2α8+ρ2sin2α4=1，
化简得ρ2(1+sin2α)=8，即ρ=221+sin2α；
∵直线l的极坐标方程是ρcsθ+ρsinθ=4，
∴直线l的直角坐标为x+y−4=0．
(2)∵A(ρ1,α)在曲线C上，
∴|OA|=ρ1=221+sin2α，
∴1|OA|2=1+sin2α8.
∵B(ρ2,α+π2)是直线l上一点，
∴ρ2cs(α+π2)+ρ2sin(α+π2)=4，
即ρ2=4csα−sinα，
∴|OB|=ρ2=4csα−sinα，
∴1|OB|2=(csα−sinα)216，
∴1|OA|2+1|OB|2=1+sin2α8+1−2sinαcsα16
=2+2sin2α+1−sin2α16
=2+2⋅1−cs2α2+1−sin2α16
=4−(cs2α+sin2α)16
=−2sin(2α+π4)+416，
∴当2sin(2α+π4)=−1时，
1|OA|2+1|OB|2max=4+216．
【考点】
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程化为普通方程
三角恒等变换综合应用
【解析】
(1)利用直角坐标方程、参数方程和极坐标方程间的互化公式即可求解；
(2)在极坐标系中，利用极径，借助三角恒等变换及三角函数最值即可求解．
【解答】
(1)由cs2α+sin2α=1得
曲线C的直角坐标方程为x28+y24=1，
由ρcsα=x，ρsinα=y得
曲线C的极坐标方程为
ρ2cs2α8+ρ2sin2α4=1，
化简得ρ2(1+sin2α)=8，即ρ=221+sin2α；
∵直线l的极坐标方程是ρcsθ+ρsinθ=4，
∴直线l的直角坐标为x+y−4=0．
(2)∵A(ρ1,α)在曲线C上，
∴|OA|=ρ1=221+sin2α，
∴1|OA|2=1+sin2α8.
∵B(ρ2,α+π2)是直线l上一点，
∴ρ2cs(α+π2)+ρ2sin(α+π2)=4，
即ρ2=4csα−sinα，
∴|OB|=ρ2=4csα−sinα，
∴1|OB|2=(csα−sinα)216，
∴1|OA|2+1|OB|2=1+sin2α8+1−2sinαcsα16
=2+2sin2α+1−sin2α16
=2+2⋅1−cs2α2+1−sin2α16
=4−(cs2α+sin2α)16
=−2sin(2α+π4)+416，
∴当2sin(2α+π4)=−1时，
1|OA|2+1|OB|2max=4+216．
【答案】
解：(1)函数 fx=|2x+2|−|x−2|=x+4,x>2，3x,−1≤x≤2，−x−4,x2时，不等式fx≥6即为x+4≥6，解得x≥2，所以x>2；
当−1≤x≤2时，不等式fx≥6即为3x≥6，解得x≥2，所以x=2；
当x2，3x,−1≤x≤2，−x−4,x2时，不等式fx≥6即为x+4≥6，解得x≥2，所以x>2；
当−1≤x≤2时，不等式fx≥6即为3x≥6，解得x≥2，所以x=2；
当x