2020-2021学年吉林省长春高二(下)期末考试数学(文)试卷人教A版
展开1. 已知集合A=x|x>1,B=x|x−2<3,则A∩B=( )
A.x|−1
2. 复数z=(x2−1)+(x+1)i是纯虚数,则实数x的值为( )
A.−1B.1C.0D.−1或1
3. 函数y=ln(1−x)x+1+1x的定义域是( )
A.[−1, 0)∪(0, 1)B.[−1, 0)∪(0, 1]C.(−1, 0)∪(0, 1)D.(−1, 0)∪(0, 1]
4. 已知函数fx=2x+1,x≥0,3x2,x<0,且fx0=3,则实数x0的值为( )
A.−1或−13B.−1或1C.1D.−1
5. 已知函数fx=ex+1, a=flg20.2 ,b=f20.2,c=f0.20.3,则( )
A.a
6. 已知向量a→=−1,2,b→=3,−1,c→=m,2,c→⊥2a→−b→,则m的值为( )
A.2B.3C.2D.10
7. 在正四棱锥P−ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60∘,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为( )
A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘
8. 已知sin(α+π6)=45,cs(β−π6)=1213,α,β∈(0,π6),则cs(α+β)=( )
A.5665B.3365C.1665D.6365
9. 各项不为零的等差数列{an}中,4a3−a72+4a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=( )
A.4B.8C.16D.64
10. 已知函数fx=sinωx+φω>0,|φ|<π2的图像中相邻两条对称轴之间的距离为π2,当x=π3时,函数fx取到最大值,则( )
A.函数fx的最小正周期为2π
B.函数fx的图像关于x=π12对称
C.函数fx的图像关于−π6,0对称
D.函数fx在π2,5π6上单调递减
11. 点P是圆(x+1)2+(y−2)2=2上任意一点,则点P到直线x−y−1=0距离的最大值为( )
A.2B.22C.32D.2+22
12. 已知函数fx的定义域为R,且fx
A.1,+∞B.−∞,1C.e,+∞D.−∞,0
二、填空题
已知x,y满足线性约束条件3x−y≤0x−y+1≥0x+y−1≥0 ,则z=2x+y的最小值为________.
已知直线l:y=4−x与曲线C:y=4−x2,在曲线C上随机取一点M,则点M到直线l的距离不大于2的概率为________.
已知向量a→,b→满足|a→|=1,|b→|=2,|a→−2b→|=13,则a→与b→的夹角为________.
已知fx是定义域为−∞,+∞的奇函数,满足f12−x=f32+x.若f1=2,则f1+f2+f3+⋯+f30等于________.
三、解答题
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2csαy=3sinα(α是参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsinθ−π4=2.
(1)求曲线C和直线l的普通方程;
(2)设点P0,2,直线l与曲线C交于A,B两点,求1|PA|+1|PB|的值.
已知an是公差不为零的等差数列, a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
(1)求数列an的通项;
(2)设数列an的前n项和为Sn,求数列1Sn的前n项和为Tn.
由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从某中学随机抽取16名学生,经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如下:
(1)指出这组数据的众数和中位数;
(2)若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”,求校医从这16人中按“好视力”,“非好视力”分层抽样抽取4人,再从4人中抽取2人,求抽取2人均为“非好视力”的概率.
如图,四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形,平面PCD⊥平面ABCD,且PC=PD=2,CD=2.
(1)证明:PC⊥平面PAD;
(2)求三棱锥D−PAB的体积.
在△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin C1−cs A=3c.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=10,S△ABC=43,求a的值.
已知函数fx=aexx+x,gx=lnx.
(1)若a=1,求y=fx在1,f1处切线的方程;
(2)当x∈0,+∞时,fx≤gx恒成立,求a的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省长春市高二(下)期末考试数学(文)试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
解不等式,可求出集合B,进而与集合A取交集即可.
【解答】
由题意,|x−2|<3⇔−3
2.
【答案】
C
【考点】
复数的基本概念
【解析】
由于z为纯虚数,可得x2−1=0x+1≠0,解出即可.
【解答】
解:∵ 复数z=(x2−1)+(x+1)i是纯虚数,
∴ x2−1=0x+1≠0,
解得x=1.
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数的解析式得,对数的真数大于0,分母不等于0,二次根式的被开方数大于或等于0,列出不等式组,求解集即可.
【解答】
解:∵ 函数y=ln(1−x)x+1+1x,
∴ 1−x>01+x>0x≠0;
解得−1
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:当x0≥0时,
f(x0)=2x0+1=3,解得x0=1;
当x0<0时,
f(x0)=3x02=3,解得x0=−1.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
指数函数单调性的应用
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
解析:由题意可知fx是定义在R上的单调递增函数,又lg20.2
解:由题意可知fx是定义在R上的单调递增函数,
又lg20.2
6.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
【解析】
无
【解答】
解:因为a→=−1,2,b→=3,−1,
则2a→−b→=−5,5,
而c→=m,2,c→⊥2a→−b→,
于是得c→⋅2a→−b=0,即−5m+5×2=0,
解得m=2.
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
连接AC,BD交于点O,连接OE,OP,先证明∠PAO即为PA与面ABCD所成的角,即可得出结论.
【解答】
解:连接AC,BD交于点O,连接OE,OP,
因为E为PC中点,所以OE // PA,
所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角.
因为四棱锥P−ABCD为正四棱锥,
所以PO⊥平面ABCD,
所以AO为PA在面ABCD内的射影,
所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角,即∠PAO=60∘,
因为PA=2,所以OA=OB=1,OE=1.
所以在直角三角形EOB中∠OEB=45∘,即异面直线PA与BE所成的角为45∘.
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
直接利用同角三角函数关系式的应用和角的变换的应用求出结果.
【解答】
解:因为sin(α+π6)=45,cs(β−π6)=1213,α,β∈(0,π6),
所以π6<α+π6<π3,
故cs(α+π6)=35,
−π6<β−π6<0,
所以sin(β−π6)=−513,
则cs(α+β)
=cs[(α+π6)+(β−π6)],
=cs(α+π6)cs(β−π6)−sin(α+π6)sin(β−π6),
=35×1213−(−513)×45,
=5665.
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
等比数列的性质
【解析】
根据题意,由等差数列的性质可得8a7=a72,即a7=8,又由等比数列的性质可得b6b8=(b7)2,即可得答案.
【解答】
解:根据题意,等差数列{an}中,4a3−a72+4a11=0,
即4(a3+a11)=a72,
又由a3+a11=2a7,
则8a7=a72,
又等差数列{an}中,各项不为零,
所以a7=8,
因为数列{bn}是等比数列,且b7=a7,
所以b7=8,
所以b6b8=(b7)2=64.
故选D.
10.
【答案】
D
【考点】
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
正弦函数的对称性
正弦函数的周期性
正弦函数的单调性
【解析】
由相邻对称轴的距离可求得周期,可判断A;由条件求得fx的解析式,计算fπ12, f−π6 ,可判断B,C;由正弦函数的减区间,解不等式可判断D.
【解答】
解:函数fx=sinωx+φω>0,|φ|<π2的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2,
可得T2=π2,
可得T=π ,ω=2πT=2,则A错;
当x=π3时,函数fx取到最大值,
可得2π3+φ=2kπ+π2,
即φ=2kπ−π6, k∈Z,
由|φ|<π2 ,可得k=0,φ=−π6,
则fx=sin2x−π6,
由fπ12=sinπ6−π6=0,f−π6=sin−π2=−1为最小值,
则B,C均错;
由2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2 ,可得kπ+π3≤x≤kπ+5π6 ,k∈Z,
即有fx在π2,5π6上单调递减,则D正确.
故选D.
11.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
求出圆(x+1)2+(y−2)2=2的圆心和半径r,再求出圆心(−1, 2)到直线x−y−1=0距离d,由此能求出点P到直线x−y−1=0距离的最大值.
【解答】
解:∵ 圆(x+1)2+(y−2)2=2的圆心为(−1, 2),半径r=2,
圆心(−1, 2)到直线x−y−1=0距离d=|−1−2−1|2=22,
点P是圆(x+1)2+(y−2)2=2上任意一点,
∴ 点P到直线x−y−1=0距离的最大值为:
d+r=22+2=32.
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
不等式恒成立问题
【解析】
构造函数gx=fx+1ex,结合已知及导数与单调性关系可求gx的单调性,进而可求不等式的解集.
【解答】
解:令gx=fx+1ex,
∵ fx
故gx 在R上单调递增,
由f(1)=e−1可得g(1)=1,
∵ fx+1>ex,
∴ gx>1=g(1),
故x>1.
故选A.
二、填空题
【答案】
1
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论.
【解答】
解:作出不等式组对应的平面区域如图,
由z=2x+y,得y=−2x+z,
平移直线y=−2x+z,
则当直线y=−2x+z经过点A(0, 1)时,直线的截距最小,此时z最小,
此时z=1.
故答案为:1.
【答案】
12
【考点】
几何概型计算(与长度、角度、面积、体积有关的几何概型)
点到直线的距离公式
【解析】
画出示意图,根据图形分析可知点Mt在阴影部分所对的劣弧上,由几何概型可求出.
【解答】
解:如图:
曲线C:y=4−x2是以原点为圆心,2为半径的一个半圆.
圆心O(0,0)到直线l:y=4−x的距离为:
d=|0+0−4|12+12=22,
而点O到直线AB:x+y=2的距离为:
d′=|0+0−2|12+12=2,
∴ 若点M到直线x+y=4的距离不大于2,
则点M在阴影部分所对的劣弧上,
由几何概型的概率计算公式知,
所求概率为P=12×2π2π=12.
故答案为: 12.
【答案】
π3
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
根据完全平方公式,把式子a→−2b→2=13展开,然后再根据向量的数量积运算法则进行计算,即可得到答案.
【解答】
解:设向量a→与b→的夹角为θ,
∵ 已知|a→|=1,|b→|=2,a→−2b→=13,
∴ |a→|2=1,|b→|2=4,a→⋅b→=1×2×csθ=2csθ,
∴ a→−2b→2=a→2−4a→⋅b→+4b→2=1−4a→⋅b→+16=17−4a→⋅b→=132,
∴ 17−4×2csθ=13,
∴ csθ=17−138=12,
∴ θ=π3.
故答案为:π3.
【答案】
2
【考点】
抽象函数及其应用
函数的周期性
函数的求值
函数奇偶性的性质
【解析】
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4,结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.
【解答】
解:因为fx是奇函数,且f12−x=f32+x,
令x=x−12,则f1−x=f1+x,
所以f1−x=f1+x=−fx−1,f0=0,
令x=x+1,则fx+2=−fx,
则fx+4=−fx+2=fx,
即函数fx是周期为4的周期函数,又f1=2,
所以f2=f0=0,
f3=f1−2=f−1=−f(1)=−2,
所以f4=f0=0,
则f1+f2+f3+f4
=2+0−2+0
=0,
则f1+f2+f3+⋯+f30
=7f1+f2+f3+f4+f29+f30
=f1+f2
=2+0
=2.
故答案为:2.
三、解答题
【答案】
解:(1)由x=2csα,y=3sinα,
得x24+y23=1,即为C的普通方程,
由ρsinθ−π4=2.
得ρsinθcsπ4−csθsinπ4=2,即ρsinθ−ρcsθ=2,
即y−x=2,
则直线l的直角坐标方程为x−y+2=0.
(2)P0,2在直线l上,
可得其参数方程为
x=22t,y=2+22t,(t为参数).
把x=22t,y=2+22t,
代入x24+y23=1得,72t2+82t+4=0,
所以t1+t2=−1627,t1t2=87,t1,t2均为负.
1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1+t2||t1t2|=167287=22.
【考点】
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
参数方程的优越性
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)由x=2csα,y=3sinα,
得x24+y23=1,即为C的普通方程,
由ρsinθ−π4=2.
得ρsinθcsπ4−csθsinπ4=2,即ρsinθ−ρcsθ=2,
即y−x=2,
则直线l的直角坐标方程为x−y+2=0.
(2)P0,2在直线l上,
可得其参数方程为
x=22t,y=2+22t,(t为参数).
把x=22t,y=2+22t,
代入x24+y23=1得,72t2+82t+4=0,
所以t1+t2=−1627,t1t2=87,t1,t2均为负.
1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1+t2||t1t2|=167287=22.
【答案】
解:(1)设等差数列an的公差为d,d≠0,
∵ a1=1 ,且a1,a3,a9成等比数列,
∴ a32=a1⋅a9 ,
即1+2d2=1×1+8d,
化为: dd−1=0,d≠0,
解得d=1,
∴ 数列an的通项an=1+n−1=n.
(2)数列an的前n项和为Sn=nn+12,
∴ 1Sn=2nn+1=21n−1n+1,
∴ 数列1Sn的前n项和为:
Tn=2(1−12+12−13+… +1n−1n+1)
=2(1−1n+1)
=2nn+1.
【考点】
等比数列的性质
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
(1)由题意求出等差数列公差,代入等差数列通项即可得到答案;
(2)先求出1Sn=2nn+1=21n−1n+1,利用裂项相消法求和.
【解答】
解:(1)设等差数列an的公差为d,d≠0,
∵ a1=1 ,且a1,a3,a9成等比数列,
∴ a32=a1⋅a9 ,
即1+2d2=1×1+8d,
化为: dd−1=0,d≠0,
解得d=1,
∴ 数列an的通项an=1+n−1=n.
(2)数列an的前n项和为Sn=nn+12,
∴ 1Sn=2nn+1=21n−1n+1,
∴ 数列1Sn的前n项和为:
Tn=2(1−12+12−13+… +1n−1n+1)
=2(1−1n+1)
=2nn+1.
【答案】
解:(1)根据茎叶图知,这组数据的众数是4.6和4.7,中位数是4.7+4.82=4.75.
(2)分层抽样中,抽样比为14,“好视力”人数为1人,“非好视力”人数为3人,
再从这四人中抽取两人的组合中,
设“好视力“为A,“非好视力”为a,b,c,
则轴取所有可能情况为:Aa,Ab,Ac,ab,ac,bc.
所以抽取2人均为“非好视力”的概率为12.
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)根据茎叶图知,这组数据的众数是4.6和4.7,中位数是4.7+4.82=4.75.
(2)分层抽样中,抽样比为14,“好视力”人数为1人,“非好视力”人数为3人,
再从这四人中抽取两人的组合中,
设“好视力“为A,“非好视力”为a,b,c,
则轴取所有可能情况为:Aa,Ab,Ac,ab,ac,bc.
所以抽取2人均为“非好视力”的概率为12.
【答案】
(1)证明:∵ PC=PD=2,CD=2,
∴ PC2+PD2=CD2,
∴ PC⊥PD,
∵ 四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形,AD⊥CD,
平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,
∴ AD⊥平面PCD,
又PC⊂平面PCD,
∴ PC⊥AD,
又AD∩PD=D,
∴ PC⊥平面PAD.
(2)解:∵ 四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形,
平面PCD⊥平面ABCD,且PC=PD=2,CD=2,
∴ S△ABD=12×2×2=2,
P到平面ABD的距离d=22−12=1,
∴ 三棱锥D−PAB的体积为:
VD−PAB=VP−ABD=13×S△ABD×d=13×2×1=23.
【考点】
直线与平面垂直的判定
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
(1)推导出PC⊥PD,AD⊥CD,从而AD⊥平面PCD,进而PC⊥CD ,由此能证明PC⊥平面PAD;
(2)三棱锥D−PAB的体积为VD−PAB=VP−ABD,由此能求出结果.
【解答】
(1)证明:∵ PC=PD=2,CD=2,
∴ PC2+PD2=CD2,
∴ PC⊥PD,
∵ 四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形,AD⊥CD,
平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,
∴ AD⊥平面PCD,
又PC⊂平面PCD,
∴ PC⊥AD,
又AD∩PD=D,
∴ PC⊥平面PAD.
(2)解:∵ 四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形,
平面PCD⊥平面ABCD,且PC=PD=2,CD=2,
∴ S△ABD=12×2×2=2,
P到平面ABD的距离d=22−12=1,
∴ 三棱锥D−PAB的体积为:
VD−PAB=VP−ABD=13×S△ABD×d=13×2×1=23.
【答案】
解:(1)由正弦定理及asinC1−csA=3c得,sinAsinC1−csA=3sinC,
∵ sinC≠0,
∴ sinA=31−csA,
∴ sinA+3csA=2sinA+π3=3,
∴ sinA+π3=32,
又0∴ π3∴ A+π3=2π3,
∴ A=π3.
(2)∵ S△ABC=12bcsinA=34bc,
∴ bc=16.
由余弦定理得,a2=b2+c2−2bccsπ3=b+c2−3bc,
∴ b+c=10,
∴ a2=102−3×16=52,
∴ a=213.
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)由正弦定理及asinC1−csA=3c得,sinAsinC1−csA=3sinC,
∵ sinC≠0,
∴ sinA=31−csA,
∴ sinA+3csA=2sinA+π3=3,
∴ sinA+π3=32,
又0∴ π3∴ A+π3=2π3,
∴ A=π3.
(2)∵ S△ABC=12bcsinA=34bc,
∴ bc=16.
由余弦定理得,a2=b2+c2−2bccsπ3=b+c2−3bc,
∴ b+c=10,
∴ a2=102−3×16=52,
∴ a=213.
【答案】
解:(1)因为fx=exx+x,
则f′x=exx−1x2+1,f′1=1,
又f1=e+1,
所以切线方程为y=x+e.
(2)因为fx≤gx,
所以aexx+x≤lnx,即a≤xlnx−x2ex.
令Fx=xlnx−x2ex,则F′x=1−x⋅lnx+1−xex,
令kx=lnx+1−x,
则k′x=1x−1,
当x∈0,1时,k′x>0,当x∈1,+∞时,k′x<0,
即kx≤k1=0,
所以当x∈0,1时,F′x<0,
当x∈1,+∞时,F′x>0,Fxmin=F1=−1e,
所以a的取值范围是a|a≤−1e.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)因为fx=exx+x,
则f′x=exx−1x2+1,f′1=1,
又f1=e+1,
所以切线方程为y=x+e.
(2)因为fx≤gx,
所以aexx+x≤lnx,即a≤xlnx−x2ex.
令Fx=xlnx−x2ex,则F′x=1−x⋅lnx+1−xex,
令kx=lnx+1−x,
则k′x=1x−1,
当x∈0,1时,k′x>0,当x∈1,+∞时,k′x<0,
即kx≤k1=0,
所以当x∈0,1时,F′x<0,
当x∈1,+∞时,F′x>0,Fxmin=F1=−1e,
所以a的取值范围是a|a≤−1e.
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2020-2021学年吉林省长春高二(下)期末考试数学(理)试卷 (1)人教A版: 这是一份2020-2021学年吉林省长春高二(下)期末考试数学(理)试卷 (1)人教A版,共11页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。