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    2020-2021学年吉林省长春高二(下)期末考试数学(文)试卷人教A版
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    2020-2021学年吉林省长春高二(下)期末考试数学(文)试卷人教A版

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    这是一份2020-2021学年吉林省长春高二(下)期末考试数学(文)试卷人教A版,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    1. 已知集合A=x|x>1,B=x|x−2<3,则A∩B=( )
    A.x|−1C.x|x>−1D.x|x>1

    2. 复数z=(x2−1)+(x+1)i是纯虚数,则实数x的值为( )
    A.−1B.1C.0D.−1或1

    3. 函数y=ln(1−x)x+1+1x的定义域是( )
    A.[−1, 0)∪(0, 1)B.[−1, 0)∪(0, 1]C.(−1, 0)∪(0, 1)D.(−1, 0)∪(0, 1]

    4. 已知函数fx=2x+1,x≥0,3x2,x<0,且fx0=3,则实数x0的值为( )
    A.−1或−13B.−1或1C.1D.−1

    5. 已知函数fx=ex+1, a=flg20.2 ,b=f20.2,c=f0.20.3,则( )
    A.a
    6. 已知向量a→=−1,2,b→=3,−1,c→=m,2,c→⊥2a→−b→,则m的值为( )
    A.2B.3C.2D.10

    7. 在正四棱锥P−ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60∘,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为( )
    A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘

    8. 已知sin(α+π6)=45,cs(β−π6)=1213,α,β∈(0,π6),则cs(α+β)=( )
    A.5665B.3365C.1665D.6365

    9. 各项不为零的等差数列{an}中,4a3−a72+4a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=( )
    A.4B.8C.16D.64

    10. 已知函数fx=sinωx+φω>0,|φ|<π2的图像中相邻两条对称轴之间的距离为π2,当x=π3时,函数fx取到最大值,则( )
    A.函数fx的最小正周期为2π
    B.函数fx的图像关于x=π12对称
    C.函数fx的图像关于−π6,0对称
    D.函数fx在π2,5π6上单调递减

    11. 点P是圆(x+1)2+(y−2)2=2上任意一点,则点P到直线x−y−1=0距离的最大值为( )
    A.2B.22C.32D.2+22

    12. 已知函数fx的定义域为R,且fxex的解集为( )
    A.1,+∞B.−∞,1C.e,+∞D.−∞,0
    二、填空题

    已知x,y满足线性约束条件3x−y≤0x−y+1≥0x+y−1≥0 ,则z=2x+y的最小值为________.

    已知直线l:y=4−x与曲线C:y=4−x2,在曲线C上随机取一点M,则点M到直线l的距离不大于2的概率为________.

    已知向量a→,b→满足|a→|=1,|b→|=2,|a→−2b→|=13,则a→与b→的夹角为________.

    已知fx是定义域为−∞,+∞的奇函数,满足f12−x=f32+x.若f1=2,则f1+f2+f3+⋯+f30等于________.
    三、解答题

    在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2csαy=3sinα(α是参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsinθ−π4=2.
    (1)求曲线C和直线l的普通方程;

    (2)设点P0,2,直线l与曲线C交于A,B两点,求1|PA|+1|PB|的值.

    已知an是公差不为零的等差数列, a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
    (1)求数列an的通项;

    (2)设数列an的前n项和为Sn,求数列1Sn的前n项和为Tn.

    由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从某中学随机抽取16名学生,经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如下:

    (1)指出这组数据的众数和中位数;

    (2)若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”,求校医从这16人中按“好视力”,“非好视力”分层抽样抽取4人,再从4人中抽取2人,求抽取2人均为“非好视力”的概率.

    如图,四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形,平面PCD⊥平面ABCD,且PC=PD=2,CD=2.

    (1)证明:PC⊥平面PAD;

    (2)求三棱锥D−PAB的体积.

    在△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin C1−cs A=3c.
    (1)求角A的大小;

    (2)若b+c=10,S△ABC=43,求a的值.

    已知函数fx=aexx+x,gx=lnx.
    (1)若a=1,求y=fx在1,f1处切线的方程;

    (2)当x∈0,+∞时,fx≤gx恒成立,求a的取值范围.
    参考答案与试题解析
    2020-2021学年吉林省长春市高二(下)期末考试数学(文)试卷
    一、选择题
    1.
    【答案】
    B
    【考点】
    交集及其运算
    【解析】
    解不等式,可求出集合B,进而与集合A取交集即可.
    【解答】
    由题意,|x−2|<3⇔−3则B=x|x−2|<3=x|−1所以A∩B=x|x>1}∩{x|−1故选B.
    2.
    【答案】
    C
    【考点】
    复数的基本概念
    【解析】
    由于z为纯虚数,可得x2−1=0x+1≠0,解出即可.
    【解答】
    解:∵ 复数z=(x2−1)+(x+1)i是纯虚数,
    ∴ x2−1=0x+1≠0,
    解得x=1.
    故选C.
    3.
    【答案】
    C
    【考点】
    函数的定义域及其求法
    【解析】
    根据函数的解析式得,对数的真数大于0,分母不等于0,二次根式的被开方数大于或等于0,列出不等式组,求解集即可.
    【解答】
    解:∵ 函数y=ln(1−x)x+1+1x,
    ∴ 1−x>01+x>0x≠0;
    解得−1∴ 函数y的定义域是(−1, 0)∪(0, 1).
    故选C.
    4.
    【答案】
    B
    【考点】
    分段函数的应用
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:当x0≥0时,
    f(x0)=2x0+1=3,解得x0=1;
    当x0<0时,
    f(x0)=3x02=3,解得x0=−1.
    故选B.
    5.
    【答案】
    B
    【考点】
    指数函数单调性的应用
    对数函数的单调性与特殊点
    【解析】
    解析:由题意可知fx是定义在R上的单调递增函数,又lg20.2【解答】
    解:由题意可知fx是定义在R上的单调递增函数,
    又lg20.2∴ a故选B.
    6.
    【答案】
    C
    【考点】
    数量积判断两个平面向量的垂直关系
    平面向量的坐标运算
    【解析】

    【解答】
    解:因为a→=−1,2,b→=3,−1,
    则2a→−b→=−5,5,
    而c→=m,2,c→⊥2a→−b→,
    于是得c→⋅2a→−b=0,即−5m+5×2=0,
    解得m=2.
    故选C.
    7.
    【答案】
    C
    【考点】
    异面直线及其所成的角
    【解析】
    连接AC,BD交于点O,连接OE,OP,先证明∠PAO即为PA与面ABCD所成的角,即可得出结论.
    【解答】
    解:连接AC,BD交于点O,连接OE,OP,
    因为E为PC中点,所以OE // PA,
    所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角.
    因为四棱锥P−ABCD为正四棱锥,
    所以PO⊥平面ABCD,
    所以AO为PA在面ABCD内的射影,
    所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角,即∠PAO=60∘,
    因为PA=2,所以OA=OB=1,OE=1.
    所以在直角三角形EOB中∠OEB=45∘,即异面直线PA与BE所成的角为45∘.
    故选C.
    8.
    【答案】
    A
    【考点】
    两角和与差的三角函数
    【解析】
    直接利用同角三角函数关系式的应用和角的变换的应用求出结果.
    【解答】
    解:因为sin(α+π6)=45,cs(β−π6)=1213,α,β∈(0,π6),
    所以π6<α+π6<π3,
    故cs(α+π6)=35,
    −π6<β−π6<0,
    所以sin(β−π6)=−513,
    则cs(α+β)
    =cs[(α+π6)+(β−π6)],
    =cs(α+π6)cs(β−π6)−sin(α+π6)sin(β−π6),
    =35×1213−(−513)×45,
    =5665.
    故选A.
    9.
    【答案】
    D
    【考点】
    等差数列的性质
    等比数列的性质
    【解析】
    根据题意,由等差数列的性质可得8a7=a72,即a7=8,又由等比数列的性质可得b6b8=(b7)2,即可得答案.
    【解答】
    解:根据题意,等差数列{an}中,4a3−a72+4a11=0,
    即4(a3+a11)=a72,
    又由a3+a11=2a7,
    则8a7=a72,
    又等差数列{an}中,各项不为零,
    所以a7=8,
    因为数列{bn}是等比数列,且b7=a7,
    所以b7=8,
    所以b6b8=(b7)2=64.
    故选D.
    10.
    【答案】
    D
    【考点】
    由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
    正弦函数的对称性
    正弦函数的周期性
    正弦函数的单调性
    【解析】
    由相邻对称轴的距离可求得周期,可判断A;由条件求得fx的解析式,计算fπ12, f−π6 ,可判断B,C;由正弦函数的减区间,解不等式可判断D.
    【解答】
    解:函数fx=sinωx+φω>0,|φ|<π2的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2,
    可得T2=π2,
    可得T=π ,ω=2πT=2,则A错;
    当x=π3时,函数fx取到最大值,
    可得2π3+φ=2kπ+π2,
    即φ=2kπ−π6, k∈Z,
    由|φ|<π2 ,可得k=0,φ=−π6,
    则fx=sin2x−π6,
    由fπ12=sinπ6−π6=0,f−π6=sin−π2=−1为最小值,
    则B,C均错;
    由2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2 ,可得kπ+π3≤x≤kπ+5π6 ,k∈Z,
    即有fx在π2,5π6上单调递减,则D正确.
    故选D.
    11.
    【答案】
    C
    【考点】
    直线与圆的位置关系
    点到直线的距离公式
    【解析】
    求出圆(x+1)2+(y−2)2=2的圆心和半径r,再求出圆心(−1, 2)到直线x−y−1=0距离d,由此能求出点P到直线x−y−1=0距离的最大值.
    【解答】
    解:∵ 圆(x+1)2+(y−2)2=2的圆心为(−1, 2),半径r=2,
    圆心(−1, 2)到直线x−y−1=0距离d=|−1−2−1|2=22,
    点P是圆(x+1)2+(y−2)2=2上任意一点,
    ∴ 点P到直线x−y−1=0距离的最大值为:
    d+r=22+2=32.
    故选C.
    12.
    【答案】
    A
    【考点】
    利用导数研究函数的单调性
    不等式恒成立问题
    【解析】
    构造函数gx=fx+1ex,结合已知及导数与单调性关系可求gx的单调性,进而可求不等式的解集.
    【解答】
    解:令gx=fx+1ex,
    ∵ fx则g′x=f′x−fx−1ex>0,
    故gx 在R上单调递增,
    由f(1)=e−1可得g(1)=1,
    ∵ fx+1>ex,
    ∴ gx>1=g(1),
    故x>1.
    故选A.
    二、填空题
    【答案】
    1
    【考点】
    简单线性规划
    【解析】
    作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论.
    【解答】
    解:作出不等式组对应的平面区域如图,
    由z=2x+y,得y=−2x+z,
    平移直线y=−2x+z,
    则当直线y=−2x+z经过点A(0, 1)时,直线的截距最小,此时z最小,
    此时z=1.
    故答案为:1.
    【答案】
    12
    【考点】
    几何概型计算(与长度、角度、面积、体积有关的几何概型)
    点到直线的距离公式
    【解析】
    画出示意图,根据图形分析可知点Mt在阴影部分所对的劣弧上,由几何概型可求出.
    【解答】
    解:如图:
    曲线C:y=4−x2是以原点为圆心,2为半径的一个半圆.
    圆心O(0,0)到直线l:y=4−x的距离为:
    d=|0+0−4|12+12=22,
    而点O到直线AB:x+y=2的距离为:
    d′=|0+0−2|12+12=2,
    ∴ 若点M到直线x+y=4的距离不大于2,
    则点M在阴影部分所对的劣弧上,
    由几何概型的概率计算公式知,
    所求概率为P=12×2π2π=12.
    故答案为: 12.
    【答案】
    π3
    【考点】
    数量积表示两个向量的夹角
    【解析】
    根据完全平方公式,把式子a→−2b→2=13展开,然后再根据向量的数量积运算法则进行计算,即可得到答案.
    【解答】
    解:设向量a→与b→的夹角为θ,
    ∵ 已知|a→|=1,|b→|=2,a→−2b→=13,
    ∴ |a→|2=1,|b→|2=4,a→⋅b→=1×2×csθ=2csθ,
    ∴ a→−2b→2=a→2−4a→⋅b→+4b→2=1−4a→⋅b→+16=17−4a→⋅b→=132,
    ∴ 17−4×2csθ=13,
    ∴ csθ=17−138=12,
    ∴ θ=π3.
    故答案为:π3.
    【答案】
    2
    【考点】
    抽象函数及其应用
    函数的周期性
    函数的求值
    函数奇偶性的性质
    【解析】
    根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4,结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.
    【解答】
    解:因为fx是奇函数,且f12−x=f32+x,
    令x=x−12,则f1−x=f1+x,
    所以f1−x=f1+x=−fx−1,f0=0,
    令x=x+1,则fx+2=−fx,
    则fx+4=−fx+2=fx,
    即函数fx是周期为4的周期函数,又f1=2,
    所以f2=f0=0,
    f3=f1−2=f−1=−f(1)=−2,
    所以f4=f0=0,
    则f1+f2+f3+f4
    =2+0−2+0
    =0,
    则f1+f2+f3+⋯+f30
    =7f1+f2+f3+f4+f29+f30
    =f1+f2
    =2+0
    =2.
    故答案为:2.
    三、解答题
    【答案】
    解:(1)由x=2csα,y=3sinα,
    得x24+y23=1,即为C的普通方程,
    由ρsinθ−π4=2.
    得ρsinθcsπ4−csθsinπ4=2,即ρsinθ−ρcsθ=2,
    即y−x=2,
    则直线l的直角坐标方程为x−y+2=0.
    (2)P0,2在直线l上,
    可得其参数方程为
    x=22t,y=2+22t,(t为参数).
    把x=22t,y=2+22t,
    代入x24+y23=1得,72t2+82t+4=0,
    所以t1+t2=−1627,t1t2=87,t1,t2均为负.
    1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1+t2||t1t2|=167287=22.
    【考点】
    直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
    参数方程与普通方程的互化
    参数方程的优越性
    【解析】


    【解答】
    解:(1)由x=2csα,y=3sinα,
    得x24+y23=1,即为C的普通方程,
    由ρsinθ−π4=2.
    得ρsinθcsπ4−csθsinπ4=2,即ρsinθ−ρcsθ=2,
    即y−x=2,
    则直线l的直角坐标方程为x−y+2=0.
    (2)P0,2在直线l上,
    可得其参数方程为
    x=22t,y=2+22t,(t为参数).
    把x=22t,y=2+22t,
    代入x24+y23=1得,72t2+82t+4=0,
    所以t1+t2=−1627,t1t2=87,t1,t2均为负.
    1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1+t2||t1t2|=167287=22.
    【答案】
    解:(1)设等差数列an的公差为d,d≠0,
    ∵ a1=1 ,且a1,a3,a9成等比数列,
    ∴ a32=a1⋅a9 ,
    即1+2d2=1×1+8d,
    化为: dd−1=0,d≠0,
    解得d=1,
    ∴ 数列an的通项an=1+n−1=n.
    (2)数列an的前n项和为Sn=nn+12,
    ∴ 1Sn=2nn+1=21n−1n+1,
    ∴ 数列1Sn的前n项和为:
    Tn=2(1−12+12−13+… +1n−1n+1)
    =2(1−1n+1)
    =2nn+1.
    【考点】
    等比数列的性质
    等差数列的通项公式
    数列的求和
    【解析】
    (1)由题意求出等差数列公差,代入等差数列通项即可得到答案;
    (2)先求出1Sn=2nn+1=21n−1n+1,利用裂项相消法求和.
    【解答】
    解:(1)设等差数列an的公差为d,d≠0,
    ∵ a1=1 ,且a1,a3,a9成等比数列,
    ∴ a32=a1⋅a9 ,
    即1+2d2=1×1+8d,
    化为: dd−1=0,d≠0,
    解得d=1,
    ∴ 数列an的通项an=1+n−1=n.
    (2)数列an的前n项和为Sn=nn+12,
    ∴ 1Sn=2nn+1=21n−1n+1,
    ∴ 数列1Sn的前n项和为:
    Tn=2(1−12+12−13+… +1n−1n+1)
    =2(1−1n+1)
    =2nn+1.
    【答案】
    解:(1)根据茎叶图知,这组数据的众数是4.6和4.7,中位数是4.7+4.82=4.75.
    (2)分层抽样中,抽样比为14,“好视力”人数为1人,“非好视力”人数为3人,
    再从这四人中抽取两人的组合中,
    设“好视力“为A,“非好视力”为a,b,c,
    则轴取所有可能情况为:Aa,Ab,Ac,ab,ac,bc.
    所以抽取2人均为“非好视力”的概率为12.
    【考点】
    茎叶图
    众数、中位数、平均数
    列举法计算基本事件数及事件发生的概率
    【解析】


    【解答】
    解:(1)根据茎叶图知,这组数据的众数是4.6和4.7,中位数是4.7+4.82=4.75.
    (2)分层抽样中,抽样比为14,“好视力”人数为1人,“非好视力”人数为3人,
    再从这四人中抽取两人的组合中,
    设“好视力“为A,“非好视力”为a,b,c,
    则轴取所有可能情况为:Aa,Ab,Ac,ab,ac,bc.
    所以抽取2人均为“非好视力”的概率为12.
    【答案】
    (1)证明:∵ PC=PD=2,CD=2,
    ∴ PC2+PD2=CD2,
    ∴ PC⊥PD,
    ∵ 四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形,AD⊥CD,
    平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,
    ∴ AD⊥平面PCD,
    又PC⊂平面PCD,
    ∴ PC⊥AD,
    又AD∩PD=D,
    ∴ PC⊥平面PAD.
    (2)解:∵ 四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形,
    平面PCD⊥平面ABCD,且PC=PD=2,CD=2,
    ∴ S△ABD=12×2×2=2,
    P到平面ABD的距离d=22−12=1,
    ∴ 三棱锥D−PAB的体积为:
    VD−PAB=VP−ABD=13×S△ABD×d=13×2×1=23.
    【考点】
    直线与平面垂直的判定
    棱柱、棱锥、棱台的体积
    【解析】
    (1)推导出PC⊥PD,AD⊥CD,从而AD⊥平面PCD,进而PC⊥CD ,由此能证明PC⊥平面PAD;
    (2)三棱锥D−PAB的体积为VD−PAB=VP−ABD,由此能求出结果.
    【解答】
    (1)证明:∵ PC=PD=2,CD=2,
    ∴ PC2+PD2=CD2,
    ∴ PC⊥PD,
    ∵ 四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形,AD⊥CD,
    平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,
    ∴ AD⊥平面PCD,
    又PC⊂平面PCD,
    ∴ PC⊥AD,
    又AD∩PD=D,
    ∴ PC⊥平面PAD.
    (2)解:∵ 四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形,
    平面PCD⊥平面ABCD,且PC=PD=2,CD=2,
    ∴ S△ABD=12×2×2=2,
    P到平面ABD的距离d=22−12=1,
    ∴ 三棱锥D−PAB的体积为:
    VD−PAB=VP−ABD=13×S△ABD×d=13×2×1=23.
    【答案】
    解:(1)由正弦定理及asinC1−csA=3c得,sinAsinC1−csA=3sinC,
    ∵ sinC≠0,
    ∴ sinA=31−csA,
    ∴ sinA+3csA=2sinA+π3=3,
    ∴ sinA+π3=32,
    又0∴ π3∴ A+π3=2π3,
    ∴ A=π3.
    (2)∵ S△ABC=12bcsinA=34bc,
    ∴ bc=16.
    由余弦定理得,a2=b2+c2−2bccsπ3=b+c2−3bc,
    ∴ b+c=10,
    ∴ a2=102−3×16=52,
    ∴ a=213.
    【考点】
    正弦定理
    余弦定理
    【解析】


    【解答】
    解:(1)由正弦定理及asinC1−csA=3c得,sinAsinC1−csA=3sinC,
    ∵ sinC≠0,
    ∴ sinA=31−csA,
    ∴ sinA+3csA=2sinA+π3=3,
    ∴ sinA+π3=32,
    又0∴ π3∴ A+π3=2π3,
    ∴ A=π3.
    (2)∵ S△ABC=12bcsinA=34bc,
    ∴ bc=16.
    由余弦定理得,a2=b2+c2−2bccsπ3=b+c2−3bc,
    ∴ b+c=10,
    ∴ a2=102−3×16=52,
    ∴ a=213.
    【答案】
    解:(1)因为fx=exx+x,
    则f′x=exx−1x2+1,f′1=1,
    又f1=e+1,
    所以切线方程为y=x+e.
    (2)因为fx≤gx,
    所以aexx+x≤lnx,即a≤xlnx−x2ex.
    令Fx=xlnx−x2ex,则F′x=1−x⋅lnx+1−xex,
    令kx=lnx+1−x,
    则k′x=1x−1,
    当x∈0,1时,k′x>0,当x∈1,+∞时,k′x<0,
    即kx≤k1=0,
    所以当x∈0,1时,F′x<0,
    当x∈1,+∞时,F′x>0,Fxmin=F1=−1e,
    所以a的取值范围是a|a≤−1e.
    【考点】
    利用导数研究曲线上某点切线方程
    利用导数研究不等式恒成立问题
    【解析】


    【解答】
    解:(1)因为fx=exx+x,
    则f′x=exx−1x2+1,f′1=1,
    又f1=e+1,
    所以切线方程为y=x+e.
    (2)因为fx≤gx,
    所以aexx+x≤lnx,即a≤xlnx−x2ex.
    令Fx=xlnx−x2ex,则F′x=1−x⋅lnx+1−xex,
    令kx=lnx+1−x,
    则k′x=1x−1,
    当x∈0,1时,k′x>0,当x∈1,+∞时,k′x<0,
    即kx≤k1=0,
    所以当x∈0,1时,F′x<0,
    当x∈1,+∞时,F′x>0,Fxmin=F1=−1e,
    所以a的取值范围是a|a≤−1e.
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