2020-2021学年广西壮族自治区桂林高二（下）期末考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广西壮族自治区桂林高二（下）期末考试数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 函数fx=ex的导函数f′x=( )
A.1xB.exC.lnxD.xex−1

2. 设复数z=2−i，则z的实部为（ ）
A.−1B.2C.−2D.i

3. 曲线y=3x2+1在x=1处的切线的斜率为（ ）
A.6B.5C.4D.3

4. 某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价x（单位：元）和销售量y（单位：百个）之间的四组数据如下表：
用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程y=−1.4x+17.5，那么表中实数a的值为( )
A.4B.4.7C.4.6D.4.5

5. 用反证法证明“若a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个数不小于1”时，正确的假设为（ ）
A.a，b，c中至多有一个数大于1
B.a，b，c中至多有一个数小于1
C.a，b，c中至少有一个数大于1
D.a，b，c都小于1

6. (1−i)(4+i)=( )
A.3+5iB.3−5iC.5+3iD.5−3i

7. 如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K2≈3.852>3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（ ）
A.5%B.2.5%C.1%D.0.5%

8. 因为对数函数y=lgax(a>0，且a≠1)是增函数，而y=lg12x是对数函数，所以y=lg12x是增函数，上面的推理错误的是（ ）
A.大前提B.小前提C.推理形式D.以上都是

9. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=( )

A.0B.2C.4D.14

10. 甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁

11. 已知函数fx的导函数f′x的大致图象如图所示，则fx（ ）

A.在−∞,0单调递减B.在x=0处取极小值
C.在1,2单调递减D.在x=2处取极大值

12. 已知f′(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)−xf′(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.f(12)>2f(1)B.f(12)<2f(1)C.2f(12)f(1)
二、填空题

设z=2+4i，则|z|=________.

已知函数fx=x3+2x+1，则f′1=________.

在平面内，点x0,y0到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax0+By0+C|A2+B2，通过类比的方法，点x0,y0,z0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为________.

已知函数fx=ax+ex没有极值点，则实数a的取值范围是________.
三、解答题

求证： 3+5>2+6．

当今社会，手机已经成为人们生活中不可缺少的学习、交流的工具．但中小学生由于自控力乱差，使用手机时往往容易因沉迷于聊天、游戏而严重影响学习．为了解学生使用手机对学习是否有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计的部分数据如表所示：

(1)补充完整所给的列联表；

(2)根据(1)的列联表，能否有99%的把握认为使用手机对学生的学习成绩有影响？
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
参考数据：

已知函数f(x)=x3−3ax−1(a∈R)在x=−1处取得极值．
(1)求a；

(2)当x∈[−2, 1]时，求f(x)的最小值.

某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：

(1)作出销售额y关于广告费用支出x的散点图；

(2)建立y关于r的线性回归方程；

(3)试估计广告费用为9万元时，销售额是多少？
参考公式： b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx .

现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元．
(1)试把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/时）的函数；

(2)当轮船以多大速度行驶时，全程运输成本最小？

已知函数fx=aex−4x.
(1)讨论fx的单调性；

(2)当a=1时，证明：fx+x2+1>0．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西壮族自治区桂林市高二（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 函数fx=ex，
∴ f′x=ex.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
【解析】
根据复数a+bi(a,b∈R)的实部为a，虚部为b，进行求解即可.
【解答】
解：复数z=2−i，
则z的实部为2.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，进一步求出函数在x=1处的导数得答案．
【解答】
解：由y=3x2+1得y′=6x，
∴ 曲线y=3x2+1在x=1处的切线的斜率为k=6.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
求出样本中心点，代入线性回归方程，即可求出a的值．
【解答】
解：由题意，得x=4+a+5.5+64=15.5+a4，y=12+11+10+94=10.5，
因为线性回归方程经过样本中心值(15.5+a4,10.5)，
所以代入得10.5=−1.4×15.5+a4+17.5，
解得a=4.5.
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
反证法
【解析】
由至少有一个的否定为至多0个，结合选项得答案．
【解答】
解：用反证法证明时，至少一个的否定为至多0个，即都小于1，
也就是a，b，c中都小于1.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
根据复数代数形式的运算法则，计算即可．
【解答】
解：(1−i)(4+i)=1×4+1×i−i×4−i2
=5−3i.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
独立性检验
【解析】
根据独立性检验原理，利用观测值对照附表即可得出结论．
【解答】
解：根据性别与是否爱好运动的列联表得到K2≈3.852>3.841，
所以有95%的把握说明性别与运动有关，
即有1−95%=5%的出错可能性．
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
演绎推理的基本方法
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a>1时，函数是一个增函数，当00且a≠1)是增函数这个大前提是错误的
【解答】
解：∵ 当a>1时，函数y=lgax(a>0且a≠1)是一个增函数，
当0∴ y=lgax(a>0且a≠1)是增函数这个大前提是错误的，
从而导致结论错．
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．
【解答】
解：模拟执行程序框图，可得
a=14，b=18
满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=4
满足条件a≠b，满足条件a>b，a=10
满足条件a≠b，满足条件a>b，a=6
满足条件a≠b，满足条件a>b，a=2
满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=2
不满足条件a≠b，输出a的值为2．
故选B．
10.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
利用三人说真话，一人说假话，分别进行验证即可．
【解答】
解：A，若甲去过长城，则甲说假话，乙说假话，
丙说假话，丁说真话，故A不符合题意；
B，若乙去过长城，则甲说真话，乙说假话，
丙说真话，丁说真话，故B符合题意；
C，若丙去过长城，则甲说真话，乙说假话，
丙说假话，丁说真话，故C不符合题意；
D，若丁去过长城，则甲说真话，乙说真话，
丙说假话，丁说假话，故D不符合题意.
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
函数的单调性与导数的关系
【解析】
结合图象求出函数的单调区间，求出函数的极值，确定答案．
【解答】
解：x∈−∞,0时，f′x>0 ，fx单调递增，
x∈0,2时，f′x<0， fx单调递减，
x∈2,4时，f′x>0， fx单调递增，
x∈4,+∞时，f′x<0 ，fx单调递减，
故x=0，x=4处取极大值，x=2处取极小值.
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
函数的单调性与导数的关系
【解析】
构造函数F(x)=f(x)x，x∈(0, +∞)可得函数F(x)在x∈(0, +∞)上单调递减，检验即可．
【解答】
解：令F(x)=f(x)x，x∈(0, +∞)，
则F′(x)=xf′(x)−f(x)x2，
∵ f(x)−xf′(x)>0，
即xf′(x)−f(x)<0，
∴ F′(x)<0，
∴ F(x)在x∈(0, +∞)上单调递减，
故F(12)>F(1)，即2f(12)>f(1).
故选D.
二、填空题
【答案】
25
【考点】
复数的模
【解析】
直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】
解：∵ z=2+4i，
∴ |z|=22+42=25.
故答案为：25.
【答案】
5
【考点】
导数的运算
【解析】
直接利用导数的运算求解即可.
【解答】
解：函数fx=x3+2x+1，
所以f′x=3x2+2，
则f′1=5.
故答案为：5.
【答案】
|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2
【考点】
类比推理
【解析】
根据平面内点到直线的结论类比得到空间中点到平面的距离即可．
【解答】
解：类比点Px0,y0到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2，
可知在空间中，点x0,y0,z0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2.
故答案为：|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2.
【答案】
[0,+∞)
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
函数fx=ax+ex在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），又导数为f′x=a+ex，故a=−ex无解，根据指数函数的性质求得实数a的取值范围．
【解答】
解：函数fx=ax+ex在R上没有极值点，
即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
函数fx=ax+ex的导数为f′x=a+ex，
∴ a+ex=0无解，
即a=−ex无解，
∴ a≥0.
故答案为：[0,+∞).
三、解答题
【答案】
解：要证明3+5>2+6成立，
只需证明3+52>2+62，
即3+215+5>2+212+6，
从而只需证明215>212，
即证15>12，这显然成立，
所以3+5>2+6成立.
【考点】
分析法的思考过程、特点及应用
【解析】
利用题意，由分析法，原问题等价于(3+5)2>(2+6)2，结合题意进行计算即可证得结论.
【解答】
解：要证明3+5>2+6成立，
只需证明3+52>2+62，
即3+215+5>2+212+6，
从而只需证明215>212，
即证15>12，这显然成立，
所以3+5>2+6成立.
【答案】
解：(1)统计的数据如表所示：
(2)由K2=50×5×10−20×15220×30×25×25=253≈8.333>6.635，
所以有99%的把握认为使用手机对学生的学习成绩有影响.
【考点】
独立性检验的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)统计的数据如表所示：
(2)由K2=50×5×10−20×15220×30×25×25=253≈8.333>6.635，
所以有99%的把握认为使用手机对学生的学习成绩有影响.
【答案】
解：(1)f′(x)=3x2−3a.
由题意可得，f′(−1)=0，即3−3a=0，
∴ a=1.
(2)由(1)可知，f(x)=x3−3x−1，得f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，
∴ 当x∈[−2,−1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(−1,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
∴ 函数在x=−1处取得极大值.
∵ f(−2)=(−2)3−3×(−2)−1=−3，f(1)=13−3×1−1=−3，
∴ 函数f(x)的最小值为−3.
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′(x)=3x2−3a.
由题意可得，f′(−1)=0，即3−3a=0，
∴ a=1.
(2)由(1)可知，f(x)=x3−3x−1，得f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，
∴ 当x∈[−2,−1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(−1,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
∴ 函数在x=−1处取得极大值.
∵ f(−2)=(−2)3−3×(−2)−1=−3，f(1)=13−3×1−1=−3，
∴ 函数f(x)的最小值为−3.
【答案】
解：(1)画出坐标系，把所给的五组点的坐标描到坐标系中，
作出散点图如图所示：
(2)设所求线性回归直线方程为y=bx+a，
x=15×2+4+5+6+8=5，
y=15×30+40+60+50+70=50，
i=15xi2=145，i=15xiyi=1380，
b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=1380−5×5×50145−5×52=6.5，
a=y−bx=50−6.5×5=17.5，
因此，所求线性回归方程为y=6.5x+17.5.
(3)当x=9时，y的预报值为y=6.5×9+17.5=76（万元）.
答：当广告费用为9万元时，销售收入约为76万元．
【考点】
散点图
求解线性回归方程
回归分析
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)画出坐标系，把所给的五组点的坐标描到坐标系中，
作出散点图如图所示：
(2)设所求线性回归直线方程为y=bx+a，
x=15×2+4+5+6+8=5，
y=15×30+40+60+50+70=50，
i=15xi2=145，i=15xiyi=1380，
b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=1380−5×5×50145−5×52=6.5，
a=y−bx=50−6.5×5=17.5，
因此，所求线性回归方程为y=6.5x+17.5.
(3)当x=9时，y的预报值为y=6.5×9+17.5=76（万元）.
答：当广告费用为9万元时，销售收入约为76万元．
【答案】
解：(1)依题意得，y=500x(960+0.6x2)
=480000x+300x(0所以y=480000x+300x(0(2)由(1)知，y′=480000x2+300，
令y′=0，解得x=40或x=−40(舍去)，
当0所以y=480000x+300x在(0,35]上单调递减，
所以当x=35时，y=480000x+300x取得最小值.
故当轮船以35海里/时的速度行驶时，全程运输成本最小.
【考点】
根据实际问题选择函数类型
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）由里程除以速度得时间，用时间乘以每小时的燃料费与其它费用的和；
（2）利用函数的单调性可得当速度在(0, 35]内取最大值时全程运输成本最小．
【解答】
解：(1)依题意得，y=500x(960+0.6x2)
=480000x+300x(0所以y=480000x+300x(0(2)由(1)知，y′=480000x2+300，
令y′=0，解得x=40或x=−40(舍去)，
当0所以y=480000x+300x在(0,35]上单调递减，
所以当x=35时，y=480000x+300x取得最小值.
故当轮船以35海里/时的速度行驶时，全程运输成本最小.
【答案】
(1)解：f′(x)=aex−4，
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f′(x)<0，可得x令f′(x)>0，可得x>ln4a，
所以f(x)在−∞,ln4a上单调递减，在ln4a,+∞上单调递增，
综上：当a≤0时，f(x)的减区间为(−∞,+∞)；
当a>0时，f(x)的增区间为ln4a,+∞，减区间为−∞,ln4a.
(2)证明：当a=1时，fx=ex−4x，
令gx=fx+x2+1=ex−4x+x2+1，
g′x=ex−4+2x，令ℎx=ex−4+2x，
因为ℎ′x=ex+2>0恒成立，
所以g′x在R上单调递增， g′0=−3<0，g′1=e−2>0，
由零点存在性定理可得存在x0∈0,1，使得g′x0=0 ，即ex0−4+2x0=0，
当x∈−∞,x0时，g′x<0，gx单调递减，
当x∈x0,+∞时，g′x>0，gx单调递增，
所以gxmin=gx0=ex0−4x0+x02+1
=4−2x0−4x0+x02+1=x02−6x0+5，x0∈0,1，
由二次函数性质可得gxmin>g1=0，
所以gx>0，即fx+x2+1>0，得证．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：f′(x)=aex−4，
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f′(x)<0，可得x令f′(x)>0，可得x>ln4a，
所以f(x)在−∞,ln4a上单调递减，在ln4a,+∞上单调递增，
综上：当a≤0时，f(x)的减区间为(−∞,+∞)；
当a>0时，f(x)的增区间为ln4a,+∞，减区间为−∞,ln4a.
(2)证明：当a=1时，fx=ex−4x，
令gx=fx+x2+1=ex−4x+x2+1，
g′x=ex−4+2x，令ℎx=ex−4+2x，
因为ℎ′x=ex+2>0恒成立，
所以g′x在R上单调递增， g′0=−3<0，g′1=e−2>0，
由零点存在性定理可得存在x0∈0,1，使得g′x0=0 ，即ex0−4+2x0=0，
当x∈−∞,x0时，g′x<0，gx单调递减，
当x∈x0,+∞时，g′x>0，gx单调递增，
所以gxmin=gx0=ex0−4x0+x02+1
=4−2x0−4x0+x02+1=x02−6x0+5，x0∈0,1，
由二次函数性质可得gxmin>g1=0，
所以gx>0，即fx+x2+1>0，得证．售价x
4
a
5.5
6
销售量y
12
11
10
9
PK2≥k
0.05
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
使用手机
不使用手机
总计
学习成绩优秀
5
20
学习成绩一般
总计
30
50
PK2≥k0
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
使用手机
不使用手机
总计
学习成绩优秀
5
20
25
学习成绩一般
15
10
25
总计
20
30
50
使用手机
不使用手机
总计
学习成绩优秀
5
20
25
学习成绩一般
15
10
25
总计
20
30
50