高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 教案

这是一份高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 教案，共12页。

1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行直线,相交直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
(2)空间中两个平面的位置关系
eq \O([常用结论])
1．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
2．等角定理的引申
(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．
(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．
3．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材改编
1．下列命题正确的是( )
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D [根据确定平面的公理和推论知选项D正确．]
2．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是( )
A．平面α内的所有直线与a异面
B．平面α内不存在与a平行的直线
C．平面α内存在唯一的直线与a平行
D．平面α内的直线与a都相交
B [由题意知直线a与平面α相交，则平面α内不存在与a平行的直线，故选B.]
3.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.]
4．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为正方形．
(1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD [(1)若四边形EFGH为菱形，
则EF＝EH，∵EFeq \f(1,2)AC，EHeq \f(1,2)BD，
∴AC＝BD.
(2)若四边形EFGH为正方形，
则EF＝EH且EF⊥EH，
∵EFeq \f(1,2)AC，EHeq \f(1,2)BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.]
考点1 平面基本性质的应用
共点、共线、共面问题的证明方法
(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
(1)以下命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点．
(1)B [①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]
(2)[证明] ①如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
②∵EF∥CD1，EF