初中数学苏科版七年级上册4.1 从问题到方程优秀精练

这是一份初中数学苏科版七年级上册4.1 从问题到方程优秀精练，共13页。试卷主要包含了1从问题到方程，2元，橘子每千克2，6＝18﹣3等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题4.1从问题到方程
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•高新区期末）下列方程为一元一次方程的是（　　）
A．﹣x﹣3＝4 B．x2+3＝x+2 C．1x-1＝2 D．2y﹣3x＝2
【分析】根据一元一次方程的定义，逐个排除得结论．
【解析】B是二次的，C不是整式方程，D含有两个未知数，
它们都不符合一元一次方程的定义．
只有A符合一元一次方程的定义．
故选：A．
2．（2020秋•北海期末）下列式子中，是方程的是（　　）
A．2x﹣5≠0 B．2x＝3 C．1﹣3＝﹣2 D．7y﹣1
【分析】根据方程的意义：含有未知数的等式叫做方程，以此逐项分析后再进行选择．
【解析】A、虽然含有未知数，但它是不等式，不是方程．
B、既有未知数又是等式，且备了方程的条件，因此是方程．
C、虽然等式，但它没含有未知数，不是方程．
D、只是含有末知数的式子，不是等式，不是方程．
故选：B．
3．（2021春•垦利区期末）已知下列方程：①3x＝6y；②2x＝0；③x3=4x﹣1；④x2+2x﹣5＝0；⑤3x＝1；⑥3x-2＝2．其中一元一次方程的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【解析】一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．
①3x＝6y含有两个未知数，不是一元一次方程；
②2x＝0，是一元一次方程；
③x3=4x﹣1，是一元一次方程；
④x2+2x﹣5＝0，未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程；
⑤3x＝1，是一元一次方程；
⑥3x-2＝2，3x不是整式，所以不是一元一次方程．
∴一元一次方程有②③⑤共3个．
故选：B．
4．（2021春•淅川县期末）下列各式中不是方程的是（　　）
A．2x+3y＝1 B．3π+4≠5 C．﹣x+y＝4 D．x＝8
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式叫方程），即可解答．
【解析】3π+4≠5中不含未知数，所以错误．
故选：B．
5．（2020秋•滕州市期末）若关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1＝6是一元一次方程，则m的值为（　　）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．则x的次数是1且系数不为0，即可得到关于m的方程，即可求解．
【解析】∵关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1＝6是一元一次方程，
∴m﹣2≠0且|m|﹣1＝1，
解得：m＝﹣2，
故选：B．
6．（2021春•吴中区月考）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求乙队的人数是甲队人数的2倍，应从甲队调多少人到乙队，如果设应从甲队调x人到乙队，则可列方程（　　）
A．272﹣x＝2（196+x） B．2（272+x）＝196﹣x
C．2（272﹣x）＝196+x D．2×272﹣x＝196+x
【分析】设应从甲队调x人到乙队，则调动后甲队有工人（272﹣x）人，乙队有工人（196+x）人，根据调动后乙队的人数是甲队人数的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】设应从甲队调x人到乙队，则调动后甲队有工人（272﹣x）人，乙队有工人（196+x）人，
依题意得：2（272﹣x）＝196+x．
故选：C．
7．（2020秋•苏州期末）《九章算术》是我国古代数学名著，卷7“盈不足”中有题译文如下：现有一伙人共同买一个物品，每人出8钱，还余3钱；每人出7钱，还差4钱，问有人数、物价各是多少？设物价为x钱，根据题意可列出方程（　　）
A．8x+3＝7x﹣4 B．x+38=x-47 C．8x﹣3＝7x+4 D．x-38=x+47
【分析】根据人数是不变的和每人出8钱，还余3钱；每人出7钱，还差4钱，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解析】由题意可得，
x+38=x-47，
故选：B．
8．（2020秋•连云港期末）2020年12月30日，连云港市图书馆新馆正式开馆．小明同学从家步行去图书馆，他以5km/h的速度行进24min后，爸爸骑自行车以15km/h的速度按原路追赶小明．爸爸从出发到途中与小明会合用了多少时间？设爸爸出发xh后与小明会合，那么所列方程正确的是（　　）
A．5x＝15（x+2460） B．5（x+24）＝15x
C．5x＝15（x+24） D．5（x+2460）＝15x
【分析】设爸爸出发xh后与小明会合，则此时小明出发了（x+2460）h，利用路程＝速度×时间，结合会合时两人行走（或骑行）的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】设爸爸出发xh后与小明会合，则此时小明出发了（x+2460）h，
依题意得：5（x+2460）＝15x．
故选：D．
9．（2020秋•神木市期末）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地．设A、B两地间的路程是xkm，由题意可得方程（　　）
A．70x﹣60x＝1 B．60x﹣70x＝1 C．x60-x70=1 D．x70-x60=1
【分析】设A、B两地间的路程为xkm，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为1小时即可列出方程，求出x的值．
【解析】设A、B两地间的路程为xkm，
根据题意得x60-x70=1，
故选：C．
10．（2020秋•河西区期末）“某学校七年级学生人数为n，其中男生占45%，女生共有110人”，下列方程能表示上述语句中的相等关系的有（　　）
①（1﹣45%）n＝110；②1﹣45%=110n；③45%＝1-110n；④n=1101-45%；⑤1=110n+45%．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据题意给出等量关系即可求出答案．
【解析】男生人数为（n﹣110），
∴45%n＝n﹣110，
∴（1﹣45%）n＝110，
1﹣45%=110n，
45%＝1-110n，
1=110n+45%，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•海陵区期末）若（m﹣1）x|m|+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是　﹣1　．
【分析】根据一元一次方程的定义得出m﹣1≠0且|m|＝1，再求出答案即可．
【解析】∵（m﹣1）x|m|+3＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣1≠0且|m|＝1，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（2021春•浦东新区校级期中）当a＝　﹣1　时，方程（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程．
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于a的方程组，求出a的值即可．
【解析】∵（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程，
∴a2-1=02-2a≠0，
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（2017秋•博兴县期中）已知式子：①3﹣4＝﹣1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；⑤3x2﹣2x+1＝0，其中是等式的有　①③④⑤　，是方程的有　③④⑤　．
【分析】等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含未知数，②是等式．
【解析】①3﹣4＝﹣1是等式；③1+2x＝0即是等式也是方程；④6x+4y＝2即是等式也是方程；⑤3x2﹣2x+1＝0即是等式也是方程，
故答案为：①③④⑤；③④⑤．
14．（2021•如皋市二模）在我国东汉年间编订的数学经典著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有三人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，则可列一元一次方程为 　3（x﹣2）＝2x+9　．
【分析】根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出关于x的一元一次方程．
【解析】根据题意得：
3（x﹣2）＝2x+9．
故答案为：3（x﹣2）＝2x+9．
15．（2020秋•金湖县期末）某种商品降价10%后的价格恰好比原价的一半多40元，若设该商品原价是x元，则列出的方程是　（1﹣10%）x=12x+40　．
【分析】直接利用原价×（1﹣10%）＝原价×12+40，得出等式即可．
【解析】由题意可得：
（1﹣10%）x=12x+40．
故答案为：（1﹣10%）x=12x+40．
16．（2020秋•鼓楼区期末）传统文化与创意营销的结合使已有近600年历史的故宫博物院重新焕发出生机，一些文创产品让顾客爱不释手．某购物网站上销售故宫文创笔记本和珐琅书签，若文创笔记本的销量比珐琅书签销量的2倍少700件，二者销量之和为5900件，用x表示珐琅书签的销量，则可列出一元一次方程　（2x﹣700）+x＝5900　．
【分析】设珐琅书签的销售了x件，则文创笔记本销售了（2x﹣700）件，根据文创笔记本和珐琅书签共销售5900件，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】设珐琅书签的销售了x件，则文创笔记本销售了（2x﹣700）件，
根据题意得：（2x﹣700）+x＝5900．
故答案为：（2x﹣700）+x＝5900．
17．（2020秋•海淀区期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：
有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了6天才到达目的地．若设此人第一天走的路程为x里，依题意可列方程为　x+x2+x4+x8+x16+x32=378　．

【分析】设此人第一天走的路程为x里，根据从第二天起每天走的路程都为前一天的一半结合6天共走了378里，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】设此人第一天走的路程为x里，
根据题意得：x+x2+x4+x8+x16+x32=378．
故答案为：x+x2+x4+x8+x16+x32=378．
18．（2021•海安市二模）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为　28x﹣20（x+13）＝20　．
【分析】利用五言绝句与七言绝句总字数之间的关系得出等式进而得出答案．
【解析】设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为：
28x﹣20（x+13）＝20．
故答案为：28x﹣20（x+13）＝20．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•广安期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若|y﹣m|＝3，求y的值．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义确定出m的值即可；
（2）把m的值代入已知等式计算即可求出y的值．
【解析】（1）∵（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3；

（2）把m＝﹣3代入已知等式得：|y+3|＝3，
∴y+3＝3或y+3＝﹣3，
解得：y＝0或y＝﹣6．
20．（2020春•宝山区期中）根据条件列方程：
（1）正方形的边长为2x，周长为50厘米．
（2）x的相反数减去3的差是x的2倍．
【分析】（1）由正方形的周长公式列出方程．
（2）找到等量关系：x的相反数减去3的差＝x的2倍．
【解析】（1）根据题意得到：4×2x＝50．
（2）根据题意得到：﹣x﹣3＝2x．
21．（2021春•青浦区期中）若方程3x|n﹣2|﹣3﹣3x2+2x﹣2＝0是关于x的一元一次方程，求n2﹣n+1的值．
【分析】根据一元一次方程的定义，即可得到n的值，再代入代数式进行计算即可．
【解析】∵方程3x|n﹣2|﹣3﹣3x2+2x﹣2＝0是关于x的一元一次方程，
∴3x|n﹣2|﹣3与﹣3x2互为相反数，
∴|n﹣2|﹣3＝2，
n﹣2＝±5，
n＝7或n＝﹣3．
当n＝7时，n2﹣n+1＝49﹣7+1＝43；
当n＝﹣3时，n2﹣n+1＝9+3+1＝13．
故n2﹣n+1的值为13或43．
22．（2020秋•龙泉驿区期末）列方程解应用题：一件衬衫先按进价加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的进价是多少钱？
审题：A设：　这件衬衫的进价是x元　．
B：
进价
标价
折数
售价
利润
　x元　
　（x+60）元　
　8折　
　0.8（x+60）元　
　[0.8（x+60）﹣x]元　
C：列方程　0.8（x+60）﹣x＝24　．
【分析】设这件衬衫的进价是x元，根据题意：标价＝成本价+60，售价＝标价×0.8，利润＝销售价﹣成本，即可列出方程．
【解析】A设：这件衬衫的进价是x元，
B：
进价
标价
折数
售价
利润
x元
（x+60）元
8折
0.8（x+60）元
[0.8（x+60）﹣x]元
C：列方程：0.8（x+60）﹣x＝24．
故答案是：这件衬衫的进价是x元；（x+60）元；8折；0.8（x+60）元；[0.8（x+60）﹣x]元；0.8（x+60）﹣x＝24．
23．根据下列题干设未知数建立方程模型，并判断它是不是一元一次方程．
（1）从60cm的木条上截去2段同样长的木棒，还剩下10cm长的短木条，截下的每段长为多少？
（2）小红对小敏说：“我是6月份出生的，我的年龄的2倍加上10天，正好是我出生的那个月的总天数，你猜我有几岁？”
（3）小明步行的速度是5千米/时，有一天他从家去学校，走了全程的13后，改乘速度为20千米/时的公共汽车到校，结果比全部步行的时间快了15分钟，小明家离学校多远？
【分析】（1）设截下的每段长为x cm，根据题意可得等量关系：60cm﹣截去2段的木棒长＝10cm，根据等量关系列出方程，再判断是否是一元一次方程；
（2）设小红的岁数为x，由题意等量关系：2×我的年龄+10＝30，根据等量关系列出方程，再判断是否是一元一次方程；
（3）设小明家离学校x千米，由题意的等量关系：步行时间+乘车时间＝全程步行所用时间﹣15分钟，根据等量关系列出方程，再判断是否是一元一次方程；
【解析】（1）设截下的每段长为x cm，由题意得：
60﹣2x＝10，
是一元一次方程；

（2）设小红的岁数为x，由题意得：
2x+10＝30，
是一元一次方程；

（3）设小明家离学校x千米，由题意得：
13x5+23x20=x5-1560，
是一元一次方程．
24．（2018秋•溧水区期末）重温例题：
小丽在水果店花18元买了苹果和橘子共6千克，已知苹果每千克3.2元，橘子每千克2.6元．小丽买了苹果和橘子各多少千克？
解决问题：
（1）设所购买的苹果质量为xkg．请你将下列同学的探究过程补充完整．
①小明同学列出了下表，并根据相等关系“买苹果的金额+买橘子的金额＝18元”，可得方程：　3.2x+2.6（6﹣x）＝18　．

单价（元/kg）
质量（kg）
金额（元）
苹果
3.2
x
3.2x
橘子
2.6
6﹣x
2.6（6﹣x）
合计

6
18
②小红、小王、小颖三位同学分别给出了不同于小明同学的表格和方程，请补充完整．
（友情提醒：表格中的空格表达式不同于小明所填的，所列方程不要化简．）
i小红根据相等关系“所买苹果的质量+橘子的质量＝6kg”，得方程　x+18-3.2x2.6=6　．

单价（元/kg）
质量（kg）
金额（元）
苹果
3.2
x
3.2x
橘子
2.6
　18-3.2x2.6　
18﹣3.2x
合计

6
18
ii小王根据相等关系“苹果的单价×其质量＝苹果购买金额”，得方程　3.2x＝18﹣2.6（6﹣x）　．

单价（元/kg）
质量（kg）
金额（元）
苹果
3.2
x
　18﹣2.6（6﹣x）　
橘子
2.6
6﹣x
2.6（6﹣x）
合计

6
18
iii小颖根据相等关系“橘子的单价×其质量＝橘子购买金额”，得方程　2.6（6﹣x）＝18﹣3.2x　．

单价（元/kg）
质量（kg）
金额（元）
苹果
3.2
x
3.2x
橘子
2.6
6﹣x
　18﹣3.2x　
合计

6
18
（2）设苹果购买金额为y元，下列方程正确的是　①③　．（填写正确的序号）
①y3.2+18-y2.6=6；②y+2.6（6-18-y3.2）＝18；③3.2（6-18-y2.6）＝y；④3.2（6-18-y2.6）＝18﹣y．
【分析】（1）根据“苹果质量+橘子质量＝6kg，苹果单价×苹果质量＝苹果购买金额和橘子的单价×其质量＝橘子购买金额”填表、列出方程即可；
（2）分别根据“苹果质量+橘子质量＝6kg和苹果单价×苹果质量＝苹果购买金额”可得答案．
【解析】（1）①设小丽买了x千克的苹果，则她买橘子（6﹣x）千克．
由题意得：3.2x+2.6（6﹣x）＝18；
故答案为：3.2x+2.6（6﹣x）＝18；
②i补全表格如下：

单价（元/kg）
质量（kg）
金额（元）
苹果
3.2
x
3.2x
橘子
2.6
18-3.2x2.6
18﹣3.2x
合计

6
18
根据相等关系“所买苹果的质量+橘子的质量＝6kg”，得方程：x+18-3.2x2.6=6，
故答案为：x+18-3.2x2.6=6；
ii补全表格如下：

单价（元/kg）
质量（kg）
金额（元）
苹果
3.2
x
18﹣2.6（6﹣x）
橘子
2.6
6﹣x
2.6（6﹣x）
合计

6
18
根据相等关系“苹果的单价×其质量＝苹果购买金额”，得方程：3.2x＝18﹣2.6（6﹣x），
故答案为：3.2x＝18﹣2.6（6﹣x）．
iii补全表格如下：

单价（元/kg）
质量（kg）
金额（元）
苹果
3.2
x
3.2x
橘子
2.6
6﹣x
18﹣3.2x
合计

6
18
根据相等关系“橘子的单价×其质量＝橘子购买金额”，得方程：2.6（6﹣x）＝18﹣3.2x，
故答案为：2.6（6﹣x）＝18﹣3.2x．
（2）设苹果购买金额为y元，所列方程正确的是①③，
故答案为：①③．