专题45 反比例函数中的相似三角形问题(原卷版)

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描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数y＝||的图象，如图1：
可以看出，这个函数图象的两个分支分别在第一、二象限，且当x＞0时，与函数y＝在第一象限的图象相同；当x＜0时，与函数y＝﹣在第二象限的图象相同．类似地，我们把函数y＝||（k是常数，k≠0）的图象称为“并进双曲线”．
认真观察图表，分别写出“并进双曲线”y＝||的对称性、函数的增减性性质：
①图象的对称性性质： ；
②函数的增减性性质： ；
延伸探究：如图2，点M，N分别在“并进双曲线”y＝||的两个分支上，∠MON＝90°，判断OM与ON的数量关系，并说明理由．
[来源:学&科&网]
2、如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
3、如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则点B的坐标为 ．
4、如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为 ．
5、如图，等边△OAB的边AB与y轴交于点C，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，且BC＝2AC，则等边△OAB的边长为 ．
6、如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转α度，tanα＝，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 ．
7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣2），AC＝3AD，点A在反比例函数y＝上，且y轴平分∠ACB，若则k＝ ．
8、如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝ ．
9、如图，如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B （1，﹣3）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．
10、如图，直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝（x＞0）分别交于点D、A（AB＜AC），经探索研究发现：结论AB＝CD始终成立．另一直线y＝mx（m＞0）交线段BC于点E，交反比例函数y＝（x＞0））图象于点F．
（1）当BC＝5时：
①求反比例函数的解析式．
②若BE＝3CE，求点F的坐标．
（2）当BE：CD＝1：2时，请直接写出k与m的数量关系．
11、如图，分别位于反比例函数y＝、y＝在第一象限图象上的两点A、B与原点O在同一直线上，且．
（1）求k的值；
（2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．
12、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，点C的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）过点C作CD⊥y轴，垂足为D，点E是该反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，连接ED，EC，且ED＝EC；
①求点E的坐标；
②求点E到直线y＝的距离d的值．
x
…
﹣6
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
6
…
y＝||
…
1
2
3
6
6
3
2
1
…