九年级数学 培优竞赛新方法-第1讲 追问求根公式 讲义学案

第一讲   追问求根公式

     正确的看法是，数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美-----一种像雕塑那样冷峻而朴素的没， 一种无须我们柔弱的天性感知的美，一种不具有绘画和音乐那样富丽堂皇的装饰的美，然而又是极其纯净的美，是唯有最伟大的艺术才具有的严格的完美。

知识纵横

    形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

    求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

例题求解

【例1】（1）方程的解为         。

   （2011年广东中考题）

（2）设是整数，方程的一根是，则的值是         。

                                                       （四川省竞赛题）       

思路点拨：对于（1），由知原方程必有一根为-1，即有因式，故可用因式分解法解；对于（2），，把代入原方程，建立关系式。

【例2】已知，那么（    ）。

A 、3    B 、5  C、     D 、                

（“五羊杯”邀请赛试题）

思路点拨：求出a的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如等。

【例3】设方程求满足该方程的所有根之和。

                                                 （重庆市竞赛题）

思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号（有时也用到绝对值性质，如），把绝对值方程转化为一般的一元方程求解

【例4】如图，已知点是直线与双曲线的交点，△ AOB的面积为，求直线AB的解析式。

                                              （十堰市中考题）

思路点拨：设直线AB解析式为则，解题的关键是由S△AOB建立关于a的一元二次方程。

【例5】已知a是正整数，如果关于x的方程的根都是整数，求a的值及方程的整数根。

                                                      （全国初中数学联赛）                                          

【例6】已知三个不同的实数满足，方程有一个相同的实根，方程也有一个相同的实根．求的值．

                                                        （2011年全国初中数学竞赛题）

学力训练

基础夯实

1、若是方程的解，则            。

                                                            （荆州市中考题）

2、方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为           。

                                                              （青岛市中考题）

3、关于的方程的解是，则方程的解是          。                        

（2011年兰州市中考题）

4、若使分式的值为0，则的取值为（      ）。

A  、1或-1      B 、-3或1    C  、-3       D 、-3或-1

                                                                  （芜湖市中考题）

5、若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ）

A  、 1      B 、 2     C 、 1或2      D 、 0

                                                                     （山东省中考题）

6、（2005•浙江）根据下列表格的对应值：

判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（　　）

A、    B、   C、     D 、           

                                                                 （浙江省中考题）

7、 先化简，再求值：，其中满足。

                                                                （2011年重庆市中考题）

8、 已知、为方程的两实根，求代数式的值。

                                                                   （芜湖市中考题）

9、 是否存在某个实数，使得方程有且只有一个公共的实根？如果存在，求这个实数及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。

能力拓展

10、              设方程的较大根为，方程的较小根为，则的值为         。

11、              已知、是方程的两个根，、是方程的两个根，则    

                                                                 （山东省竞赛题）

12、              设方程的两根为、，则方程的两根为         。

                                                                    （2011年四川省竞赛题）

13、              已知、是方程的两个实数根，则的值为（      ）。

  A 、-1     B 、 1    C 、     D 、    

                                                           （太原市竞赛题）

14、              已知三个关于的一元二次方程恰有一个公共实数根，则的值为（     ）

 A 、 0            B  、1           C 、 2               D 、3                         

                                                           （全国初中数学竞赛题）

15、              方程的解的个数为（           ）

A  、 1个       B 、 2个          C 、3个              D 、 4个

                                                              （2011全国初中数学联赛题）                 

16、              已知方程的两根也是方程的根，求的值。

                                                              （全国初中数学联赛题）

17、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．

                                                      （青岛市中考题）

18、设是方程的根，求的值

                                           （太原市竞赛题）

19、若关于的方程的各根为整数，求的值并解此方程。

                                                             （江西省竞赛题）

20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数．求证：为无理数。

                                  （上海市竞赛题）