专题45 反比例函数中的相似三角形问题(解析版)

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描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数y＝||的图象，如图1：
可以看出，这个函数图象的两个分支分别在第一、二象限，且当x＞0时，与函数y＝在第一象限的图象相同；当x＜0时，与函数y＝﹣在第二象限的图象相同．类似地，我们把函数y＝||（k是常数，k≠0）的图象称为“并进双曲线”．
认真观察图表，分别写出“并进双曲线”y＝||的对称性、函数的增减性性质：
①图象的对称性性质： ；
②函数的增减性性质： ；
延伸探究：如图2，点M，N分别在“并进双曲线”y＝||的两个分支上，∠MON＝90°，判断OM与ON的数量关系，并说明理由．
解：阅读理解：①函数图象关于y轴对称．②当x＞0时，y随x的增大而减小．当x＜0时，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称：
故答案为：当x＞0时，y随x的增大而减小．当x＜0时，y随x的增大而增大；
延伸探究：OM＝ON，
理由：过M作MA⊥x轴于A，过N轴NB⊥x轴于B，如图2，
设M（m，），N（n，﹣），则m＞0，n＜0，
∴OA＝m，MA＝，ON＝﹣n，NB＝﹣，
∵∠MON＝90°，
∴∠MOA+∠NOB＝90°，
∵∠MOA+∠AMO＝90°，
∴∠NOB＝∠AMO，
∵∠OAM＝∠NBO＝90°，
∴△AOM∽△BNO，
∴＝，
∴＝，
∴mn＝﹣6或mn＝6（舍去），
∴m＝﹣，
∴OA＝NB，
∴△AOM≌△BNO，
∴OM＝ON．
2、如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，
∴B（﹣1，2），
∴AM＝BM＝2﹣1，
∴∠BAM＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，
∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2；
（3）存在，
如图，∵OC＝CD﹣OD＝1，
∴OE＝OC＝，
①当AP⊥x轴时，△APE～△CDA，则：OP1＝AD＝2，
∴P1（﹣2，0），
②当AP⊥AE时，△APE～△DCA，∵AP1＝1，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴
则，
综上所述，满足条件点P的坐标为（﹣2，0），（﹣，0）．
3、如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则点B的坐标为 ．
解：如图，作CD⊥AB于D，CG⊥x轴于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F，
∵△ABC是等边三角形，CD⊥BC，
∴BD＝AD，
设点C的坐标为（x，），点B的坐标为（a，0），
∵A（0，4），
∴AB的中点D的坐标为（，2）；
∵CD⊥AB，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△AED∽△DFC，
∴＝＝，即＝＝ct60°，
整理，可得x﹣＝2①，2+a＝②，
由①②整理得，a2+4a﹣33＝0
解得a1＝2，x2＝﹣（舍去），
∴B（2，0）
故答案为（2，0）．
4、如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为 ．
解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB，
设OH＝BH＝a，则A（a，），C（2a，），
∵AH∥BC，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝，
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝＝．
5、如图，等边△OAB的边AB与y轴交于点C，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，且BC＝2AC，则等边△OAB的边长为 ．
解：设点A（a，），等边三角形的边长为b，
过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交AM的延长线于点E，过点O作ON⊥AB与点N，
则AN＝AB＝b，ON＝b，
∵AN＝b，AC＝b，
∴CN＝AN﹣AC＝b，
∵CM∥BE，
∴＝，即＝，则AE＝3a，
∵∠OCN＝∠ACM＝∠ABE，
∴△ONC∽△AEB，
∴＝，即＝，
解得：BE＝a，
AB2＝AE2+BE2，则b2＝9a2+a2＝a2，
∵点A（a，），
∴AB2＝a2+＝a2，
解得：a2＝3，b＝2，
故答案为2．
6、如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转α度，tanα＝，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 ．
解：如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，
则△AEF∽△FDB，
∵tanα＝，
∴＝＝，
∴设BD＝a，则EF＝2a，
∵点A（2，3）和点B（0，2），
∴DF＝2﹣2a，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∴AE＝2DF＝4﹣4a，
∵AE+OD＝3，
∴4﹣4a+2﹣a＝3，
解得a＝，
∴F（ ，），
设直线AF的解析式为y＝kx+b，则，解得 ，
∴y＝x+，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴y＝，
解方程组 ，可得 或 ，
∴C（﹣，﹣），
故答案为（﹣，﹣）．
7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣2），AC＝3AD，点A在反比例函数y＝上，且y轴平分∠ACB，若则k＝ ．
解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∵AC＝3AD，
∴＝，
∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO
∴△ADE∽△CDO，
∴＝＝＝，
∴AE＝1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，
∴△ABE～△COD，
∴＝
设DE＝n，则BO＝OD＝2n，BE＝5n，
∴＝，
∴n＝，
∴OE＝3n＝，
∴A（，1）
∴k＝×1＝．
故答案为：．
8、如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝ ．
解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），
即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，
∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，
∴OD2＝CD•DA，
设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），
则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，
CD＝（m+n﹣4），DA＝n，
即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n，
解得：mn＝8＝k，
故答案为8．
9、如图，如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B （1，﹣3）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．
解：（1）∵点A（m，1）和B （1，﹣3）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1，
∴m＝﹣3，
∴点A（﹣3，1），
∴反比例函数解析式为：y＝；
∵一次函数y＝﹣x+b过点B（1，﹣3），
∴﹣3＝﹣1+b，
∴b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2；
故答案为：y＝﹣x﹣2，；
（2）如图1，当∠ABP＝90°时，过点P作CD⊥x轴，过点A作AC⊥DC于C，过点B作BD⊥CD于D，
设点P的坐标为（x，0），
∴AC＝x+3，CP＝1，PD＝3，BD＝x﹣1，
∵∠APB＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
又∵∠APC+∠CAP＝90°，
∴∠CAP＝∠BPD，
又∵∠C＝∠BDP＝90°，
∴△ACP∽△PBD，
∴，
∴，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴点P（﹣1+，0）；
当∠ABP＝90°时，
∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴点C（﹣2，0），点D（0，﹣2），
∴OC＝2，OD＝2，CD＝2，BC＝3，
∵tan∠OCD＝，
∴，
∴CP＝6，
∵点C（﹣2，0），
∴点P（4，0），
综上所述：点P的坐标为（，0）或（4，0）．
10、如图，直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝（x＞0）分别交于点D、A（AB＜AC），经探索研究发现：结论AB＝CD始终成立．另一直线y＝mx（m＞0）交线段BC于点E，交反比例函数y＝（x＞0））图象于点F．
（1）当BC＝5时：
①求反比例函数的解析式．
②若BE＝3CE，求点F的坐标．
（2）当BE：CD＝1：2时，请直接写出k与m的数量关系．
解：（1）①针对于直线y＝﹣x+6，令x＝0，则y＝6，
∴A（0，6），
∴OA＝6，
令y＝0，则0＝﹣x+6，
∴x＝8，
∴D（8，0），
∴OD＝8，
∴AD＝10，
∵BC＝5，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝5，
∵AB＝CD，
∴AB＝，
过点B作BG⊥y轴于G，
∴∠AGB＝90°＝∠AOB，
∵∠BAG＝∠DAO，
∴△ABG∽ADO，
∴，
∴，
∴AG＝，BG＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝，
∴B（2，），
∵点B在反比例函数y＝（x＞0））图象上，
∴k＝2×＝9，
∴反比例函数的解析式为y＝；
②∵BC＝5，
∴BE+CE＝5，
∵BE＝3CE，
∴BE＝，
∴AE＝AB+BE＝，
过点E作EH⊥y轴于H，
∴∠AHE＝90°＝∠AOB，
∵∠HAE＝∠OAD，
∴△HAE∽△OAD，
∴，
∴，
∴AH＝，BG＝5，
∴OH＝OA﹣AH＝，
∴E（5，），
∴直线OE的解析式为y＝x，
联立，解得，（舍）或，
∴F（2，）；
（2）∵BE：CD＝1：2，
∴BE＝a，则CD＝2a，
∴AB＝CD＝2a，
∴AE＝AB+BE＝3a，
过点E作EH⊥y轴于H，
同（1）的方法得，△HAE∽△OAD，
∴，
∴，
∴AH＝a，EH＝a，
∴OH＝OA﹣AH＝6﹣a，
∴E（a，6﹣a），
将点E坐标代入直线y＝mx（m＞0）中，解得am＝6﹣a，
∴a＝，
将点E的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）中，
解得，k＝a（6﹣a）＝a（10﹣3a）＝×（10﹣）＝．
11、如图，分别位于反比例函数y＝、y＝在第一象限图象上的两点A、B与原点O在同一直线上，且．
（1）求k的值；
（2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．
解：（1）过点A、B分别作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F．
则△AOE∽△BOF，又＝，
∴＝．
由点A在函数y＝的图象上，
设A的坐标是（m，），
∴＝，＝，
∴OF＝3m，即B的坐标是（3m，）．
又点B在y＝的图象上，
∴k＝3m×＝9；
（2）由（1）可知，A（m，），B（3m，）．
又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C．
∴C的纵坐标是，
把y＝代入y＝得x＝9m，
∴C的坐标是（9m，），
∴AC＝9m﹣m＝8m．
∴S△ABC＝×8m×＝8．
12、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，点C的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）过点C作CD⊥y轴，垂足为D，点E是该反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，连接ED，EC，且ED＝EC；
①求点E的坐标；
②求点E到直线y＝的距离d的值．
解：（1）点C在直线上，点C的横坐标为4，
∴，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝4×＝2；
（2）①ED＝EC，
∴点E在线段DC的垂直平分线上．
∵CD⊥y轴，垂足为D，
∴CD∥x轴．
∵点C的坐标为，
∴点E的横坐标为2，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴点E的坐标为（2，1）；
②过点E作EF⊥直线BC，垂足为F，
∴∠EFB＝90°，EF＝d，
过点E作EG⊥x轴，垂足为G，延长EG交BC于点H，
∴EH∥y轴，
∴∠EHF＝∠OBA，
∵∠EFH＝∠AOB＝90°，
∴Rt△EFH∽Rt△AOB，
∴．
设点H的坐标为（a，b）．
∵E（2，1），
∴a＝2，EG＝1，
又∵点H在直线上，
∴，
∴，
∴，
当y＝0时，x＝3，
∴A（3，0），则OA＝3．
当x＝0时，，
∴，∴，
∴．
∵，∴．
x
…
﹣6
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
6
…
y＝||
…
1
2
3
6
6
3
2
1
…