高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式精品课堂检测

2.3直线的交点坐标与距离公式同步练习人教   A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 圆的圆心到直线的距离是   

A.  0 B. 1 C.  D.

2. 过点，的直线的斜率为，则   

A. 10 B. 180 C.  D.

3. 两条平行直线与之间的距离为 

A.  B.  C. 7 D.

4. 已知点和点B关于直线对称，斜率为k的直线m过点A交l于点C，若的面积为2，则k的值为

A. 3或 B. 0 C.  D. 3

5. 两条平行直线与间的距离为 

A.  B.  C.  D.

6. 若直线与平行，则与间的距离为   

A.  B.  C.  D.

7. 已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为 

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知两点，，从点射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程等于 

A.
B. 6
C.
D.

9. 两条平行直线和之间的距离是     

A.  B.  C.  D.

10. 若动点，分别在直线：和：上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为   

A.  B.  C.  D.

11. 若直线与平行，则与间的距离是   

A.  B.  C.  D.

12. 已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且AB线段的中点为，则线段AB的长为   

A. 11 B. 10 C. 9 D. 8

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知实数、、、满足：，，，则的最大值为          ．
14. 点到直线的距离为           ．
15. 瑞士数学家欧拉年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是          ．
    
     

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 在平面直角坐标系内，已知，，，，则平面内任意一点到点A与点C的距离之和的最小值为          ，平面内到A，B，C，D的距离之和最小的点的坐标是          ．
17. 已知直线：和：若，则实数          ，两直线与间的距离是          ．
18. 在平面直角坐标系中，，，点B，C分别在x轴、y轴上，则：
    的最小值是          ；
    的最小值是          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知直线．

若，求实数a的值；

当时，求直线与之间的距离．






 

20. 在平面直角坐标系xOy中，设直线，直线．

求证：直线过定点C，并求出点C的坐标；

当时，设直线的交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，求点A到直线BC的距离d，并求的面积．






 

21. 在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为．
     

求点C坐标；

求直线BC的方程．






 

22. 已知直线l：．
    若直线过点，且，求直线的方程；
    若直线，且直线与直线l之间的距离为，求直线的方程．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知两点，．

求直线AB的方程；

直线l经过，且倾斜角为，求直线l与AB的交点坐标．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用点到直线的距离公式即可得出．

【解答】

解：圆的圆心到直线的距离
，
故选：D．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了两点确定直线的斜率以及两点间的距离公式，属于基础题．
由直线MN的斜率求，然后由两点间距离公式求．

【解答】

解：过点，的直线的斜率，
解得，

．
故选D．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查两平行直线间的距离公式，属于中档题．在用两平行直线距离公式时，两直线中的系数要相同，不然不能用此公式计算．
由已知求出a，把直线化为，然后利用两平行直线距离公式即可求解．

【解答】

解：由已知得，
所以直线可化为，
即两平行直线距离公式 ．
故选D．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

考查直线的交点，点到直线的距离公式，三角形面积，中档题．
设直线m为，求出直线m与l的交点C，利用，求出k即可．

【解答】

解：设直线m为，点到直线l：的距离为，
设C到直线AB的距离为h，由，故，
所以，由，得，
由 ，
化简得，
即，
故选：B．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，求得结果．
【解答】
解：直线，即直线，
根据直线与平行，可得，
故两条平行直线与间的距离为，
故选C．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与直线平行问题的计算，属于基础题．
根据直线平行求出b的值，再根据两平行线的距离公式求解即可．

【解答】

解：因为，所以，解得
所以，
所以与之间的距离，
故答案为B．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两平行线的距离公式．
由题意得，，则点在直线上，点在直线上，可看作直线上的点到直线上点的距离的平方，由两平行线的距离公式可得结果．

【解答】

解：实数a，b，c，d满足，
，，
点在直线上，点在直线上，
可看作是直线上的点到直线上点的距离的平方，
即所求最小值为．
故选A．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了点关于直线对称的点的求法，两点间距离公式，属于拔高题．
由题意作出点P关于直线OB的对称点C，作出点P关于直线AB的对称点D，则而求得．

【解答】

解：

作出点P关于直线OB的对称点C，作出点P关于直线AB的对称点D，
则N，M，D三点共线，N，M，C三点共线，即N，M，D，C四点共线，
得，
易得，，直线AB的方程是，设，
则得
即，
．
故选A．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了两条平行线的距离；注意x，y的系数要化为相同，才能运用公式，属于基础题．
首先求出m的值，然后利用平行线之间的距离公式解答．

【解答】

解：由已知两条平行直线和，所以，
直线可化为直线，
所以两条平行线的距离为；
故选A．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了基本的运算能力．
根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l，进而根据两直线方程求得M的轨迹方程，利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M到原点的距离的最小值，求得答案．

【解答】

解：由题意知，点M在直线，之间且与两直线距离相等的直线上，
设该直线的方程为，则，即，
所以点M在直线上．
则M到原点距离的最小值就是原点到直线的距离，即．
故选A．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查直线的位置关系，考查平行线间的距离公式，属于基础题．
根据直线平行求出a的值，根据平行线间的距离公式计算即可．

【解答】

解：因为直线与平行，
所以，
所以，
两直线的距离为．
故选C．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查两直线的垂直关系以及两点间的距离公式、中点坐标公式，属中档题．
首先由垂直关系得出a值，然后设A、B的坐标代入直线方程解方程组可得坐标，再由两点间的距离公式可得答案．

【解答】

解：依题意，由于两条互相垂直的直线和，
则，，

设，，

故解得
所以，，

即．
故选B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查直线与圆的位置关系，属于较难题．
设，，O为坐标原点，，，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，，的几何意义为点A，B两点到直线的距离与之和，设AB中点为M，则距离与之和等于M到直线l的距离的两倍，接着求出点M到直线l的距离的最大值，由此可求的最大值．

【解答】

解：设，，O为坐标原点，
，，
由，，，
可得A，B两点在圆上，
且，
即有，
即三角形OAB为等边三角形，，
的几何意义为点A，B两点到直线的距离与之和，
设AB中点为M，则距离与之和等于M到直线l的距离的两倍，
圆心到线段AB中点M的距离，圆心到直线l的距离，
到直线l的距离的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
由题意利用点到直线的距离公式，计算求得结果．

【解答】

解：点到直线的距离为，
故答案为：．

15.【答案】或
 

【解析】

【分析】

本题考查重心坐标公式，直线垂直，直线方程的应用，属于中档题．
设C点坐标，根据重心公式得重心坐标，代入欧拉线方程，得：  ，求出的外心，可得  ，联立求解即可．

【解答】

解：设，由重心坐标公式得，
三角形ABC的重心为，
代入欧拉线方程得：，整理得： 
AB的中点为，，AB的中垂线方程为，即，
联立，解得．
的外心为，则，
整理得： 
联立得：，或，，
顶点C的坐标是或．
故答案为：或．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查两点间的距离公式和两点之间线段最短，属于中档题．
对于第一空，根据两点之间线段最短可知，当三点共线且M在之间时最小．
对于第二空，最小，当且仅当和同时达到最小，即共线且共线，即M是的交点．

【解答】

解：设平面上任一点M，
因为，
当且仅当A，M，C共线，且M在A，C之间时取等号．
同理，，
当且仅当B，M，D共线，且M在B，D之间时取等号，
连接AC，BD交于一点M，
此时最小，则点M为所求点．
因为，
所以直线AC的方程为，即

又因为，
所以直线BD的方程为，
即

联立得解得
所以．
故答案为；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了直线平行的判定和平行线之间的距离公式，属于基础题．
利用直线间的平行判定和平行直线间的距离公式进行求解即可得．

【解答】

解：，，
此时，即：，
之间的距离为．
故答案为．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了两点间的距离公式，考查求最值问题以及对称问题，是一道中档题．
根据两点之间，线段最短，求出的最小值即可；
分别作点关于y轴的对称点，D点关于x轴的对称点，求出的最小值即可．

【解答】

解：易得点关于x轴的对称点，
可连接和x轴交于B点，故此时最小，
最小值是；
分别作点关于y轴的对称点，
如图所示
D点关于x轴的对称点，
则，
故答案为：；．

19.【答案】解：，，且，

，解得．

，，且，

且，解得，

，，即，

直线，间的距离为．

【解析】本题考查平面直角坐标系中两直线平行与垂直的充要条件，是基础题．
由两直线垂直的充要条件可以列关于a的方程求解．
由两直线平行的充要条件可求a的值，然后利用两平行直线的距离公式求解．
 

20.【答案】解：直线，
，

由，得
直线过定点．

当时，直线，直线，

由，得，即，，

直线BC的方程为，即，

点到直线BC的距离．

点C到AB的距离为，
的面积．

【解析】本题考查直线方程的综合应用，属于中档题．
分离参数k，得到，由求出定点C的坐标；
由得出，的方程求出A点坐标，得出B点坐标，得出BC的直线方程，利用点到直线的距离公式求出d，再由三角形的面积公式即可求解．
 

21.【答案】解：边AC上的高BE所在的直线方程为，
故边AC所在的直线的斜率为，
所以边AC所在的直线的方程为，

即，

因为CM所在的直线方程为， 

由 解得
所以 

设，M为AB中点，则M的坐标为，

由 ，解得
所以，

又因为，
所以直线BC的方程为，

即 

【解析】本题考查两条直线的交点坐标、直线方程的求法，属于中档题．
由题意，求出边AC所在的直线的方程，联立方程即可得点C坐标；
设，M为AB中点，则M的坐标为，进而由题意联立方程可得，进而可以求解．
 

22.【答案】解：因为直线l 的方程为，
所以直线l 的斜率为．
因为，
所以直线的斜率为．
因为直线 过点，
所以直线的方程为，即．
因为直线，且直线与直线l之间的距离为，
所以可设直线的方程为，
所以，解得或．
故直线的方程为或．
 

【解析】本题考查两直线平行、垂直与斜率的关系，属于中档题．
由直线l的方程求出斜率，再由可得的斜率，由点斜式求出直线的方程；
直线可设的方程，再由平行线之间的距离公式求出参数的值，即求出的的方程．
 

23.【答案】解：两点，．
所以，
整理得．
直线l经过，且倾斜角为，
直线l的方程为，得．
由，解得
所以直线AB与直线l的交点坐标为．
 

【解析】本题主要考查直线的两点式方程以及两条直线的交点，属于基础题．
已知两点坐标，利用两点式方程求解．
由已知写出l的点斜式方程，进而化成一般式，与直线AB联立求交点即可．