数学北师大版（2024）7 相似三角形的性质获奖第一课时教学设计

这是一份数学北师大版（2024）7 相似三角形的性质获奖第一课时教学设计，共6页。教案主要包含了预习新知，合作探究等内容，欢迎下载使用。

第1课时 相似三角形的性质1
教学目标
1.了解相似三角形对应线段的比与相似比的关系，能利用这一关系进行有关计算.
2.通过探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.
3.在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.
教学重难点
重点：相似三角形对应线段的比与相似比关系的推导.
难点：利用相似三角形的性质解决实际问题.
教学过程
知识回顾
师：什么叫相似三角形？什么是相似三角形的相似比？
生：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.
对应边的比等于相似比.
师：如何判定两个三角形相似？
生：①两个角对应相等；②两边对应成比例，且夹角相等；③三边对应成比例.
师：相似三角形有哪些性质？
生：三对对应角相等，三对对应边成比例.
师：在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这些性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.
设计意图：由问题来引入本节的课题，调动学生学习的积极性，为后面的学习奠定基础.
探究新知
一、预习新知
让学生自主预习课本106~107页.
多媒体展示
活动一：在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，钳工小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.
师：△ABC与△A′B′C′的对应边之间有什么样的关系？对应角之间呢？
生：===，
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′.
师：△ACD与△A′C′D′相似吗？
生：相似.
师：你的依据是什么？
生：∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，
∴∠ADC=∠A′D′C′=90°.
∵∠A＝∠A′，
∴△ACD∽△A′C′D′（两角分别相等的两个三角形相似）.
师：它们的相似比是多少？
生：===.
师：如果CD=1.5 cm，那么模型房梁的立柱有多高？
生：∵=，CD=1.5 cm，∴C′D′=3 cm.
师：由此我们能得到什么结论？
生：相似三角形对应高的比等于相似比.
设计意图：从学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形最基本的性质展开研究，使学生明确相似比与对应高的比的关系.
巩固练习
如果两个相似三角形的相似比为8∶9，那么它们对应高的比为( )
A．8∶9B．9∶8
C．64∶81D．∶3
答案：A
二、合作探究
活动二：已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为k，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′；E，E′分别为BC，B′C′的中点.试探究AD与 A′D′的比值与相似比的关系，AE与A′E′呢？
把学生分为八个小组，四个小组证明对应角平分线的比，另外四个小组证明对应中线的比，小组内交流，然后找学生代表到黑板上板书本小组的证明过程，对比各个小组证明的结果是否一致，对做的好的小组进行鼓励，做的有错误的小组及时给予纠正.
师：由此可知相似三角形还有以下性质：
相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
设计意图：通过学生小组合作探究，类比前面的探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生类比的思维能力与归纳总结能力.
活动三：阅读课本106~107页中的议一议.
师：若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则等于多少？
生：等于k.
师：若BE=BC，B′E′=B′C′，则等于多少？
生：等于k.
师：你还能提出哪些问题？由此得到什么结论？
生：相似三角形对应角的n等分线的比、对应边的n等分线的比都等于相似比.
设计意图：有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质.
典型例题
【例】如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR=BC时，求DE的长.如果SR=BC呢？

【问题探索】要求DE的长，我们只需利用相似三角形的性质找到DE和AD之间的关系即可.
解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，∴ SR∥BC.
∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴ △ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似).
∴ (相似三角形对应高的比等于相似比)，
即.
当SR=BC时，得=，解得DE=h.
当SR=BC时，得=，解得DE=h.
【总结】先利用相似三角形的性质找到AE和AD的比例关系，然后根据SR和BC之间的数量关系求出DE的长度.
课堂练习
1.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为( )
A. B.
C. D.
2.已知△ABC∽△A′B′C′且相似比为，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为，则△ABC与△A″B″C″的相似比为( )
A. B.
C. D.或
3.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′的对应高的比为________．
4.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________ cm.
参考答案
1.D
2.C
3.8∶3
4.16
课堂小结
(学生总结，老师点评)
相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的性质.
布置作业
习题4.11第3题、第4题.
板书设计
第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质1
相似三角形的性质：
相似三角形对应高的比等于相似比；
相似三角形对应角平分线的比等于相似比；
相似三角形对应中线的比等于相似比.