北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试同步测试题
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2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》高频易错题型能力达标测评(附答案)一.选择题(共8小题,满分32分)1.直角三角形的三条边如果同时扩大3倍,则得到的三角形是( )A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定2.已知a,b,c分别为△ABC的三边长,则符合下列条件的△ABC中,直角三角形有( )(1)a=,b=,c=;(2)a2=(b+c)(b﹣c);(3)∠A:∠B:∠C=3:4:5;(4)a=7,b=24,c=25; (5)a=2,b=2,c=4.A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图,每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6,则中间小正方形与大正方形的面积差是( )A.9 B.36 C.27 D.344.若一个直角三角形的两边长分别为4和5,则第三条边长的平方为( )A.9 B.41 C.9或41 D.不确定5.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=4.四边形ADEC是正方形,则正方形ADEC的面积是( )A.8 B.12 C.18 D.206.如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地AB=2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则人头顶离感应器的距离AD等于( )A.1.2米 B.1.5米 C.2.0米 D.2.5米7.如图,一棵树从3m处折断了,树顶端离树底端距离4m,那么这棵树原来的高度是( )A.8m B.5m C.9m D.7m8.如图,∠C=90o,AB=12,BC=3,CD=4,若∠ABD=90°,则AD的长为( )A.8 B.10 C.13 D.15二.填空题(共8小题,满分32分)9.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,CE⊥AB,AE=BC=10,CE=8,CD=BE=6,点F为直线CF左侧平面上一点,△CFE的面积为8,则|FA|﹣|FC|的最大值为 .10.如图所示,为测得池塘两岸点A和点B间的距离,一个观测者在C点设桩,使∠ABC=90°,并测得AC长50m,BC长40m,则A,B两点间的距离是 m.11.直角三角形有一条直角边长为13,另外两条边长是连续自然数,则周长为 .12.如图,∠BAC=90°,∠ABC=2∠CAD,∠ADE=45°,BE=,CD=1,则BC= .13.等腰△ABC的腰长AB=AC=10,一腰上的高BD=6,则底边BC长的平方= .14.在△ABC中,AB=4,∠A=30°,AC=3,点O是△ABC内一点,则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是 .15.如图,在高为5m,坡面长为13m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要 m.16.如图,正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长,若正方形A、B的边长分别为1和2,则正方形C的面积为 .三.解答题(共6小题,满分56分)17.某中学校园有一块四边形草坪ABCD(加图所示),测得∠B=90°,AB=24m,BC=7m,CD=15m,AD=20m,求这块四边形草坪的面积.18.如图,已知等腰三角形ABC的底边BC=13cm,D是腰AB上一点,且CD=12cm,BD=5cm.(1)求证:△BDC是直角三角形;(2)求△ABC的面积. 19.一株荷叶高出水面1米,一阵风吹来,荷叶被吹得贴着水面,这时它偏离原来的位置有2米远,如图所示,求荷叶的高度和水面的深度.20.如图,在△ABC中.D是AB边的中点,DE⊥AB于点D,交AC于点E,且AE2﹣CE2=BC2,(1)试说明:∠C=90°;(2)若DE=6,BD=8,求CE的长.21.某快递公司为了给客户提供“安全、快速”的优质服务,购置了一台无人机往返A,B,C三地运输货物,如图所示,幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向,沁苑小区A位于快递站点B的南偏东55°方向,无人机以1千米/分钟的速度配送快递时,从B到C需飞行8分钟,从B到A需飞行15分钟.请求出无人机从幸福小区C飞到沁苑小区A所需要的时间.22.如图所示,一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上,这时梯子底端C到墙的距离BC为7米.(1)求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长;(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点A',小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米.你认为小明说的对吗?请说明你的理由.
参考答案一.选择题(共8小题,满分32分)1.解:设原直角三角形的三边的长是a、b、c,则由勾股定理得a2+b2=c2,∴9a2+9b2=9c2,即(3a)2+(3b)2=(3c)2,∴将直角三角形的三条边长同时扩大3倍,得到的三角形还是直角三角形,故选:B.2.解:(1)由a=,b=,c=可得,a2≠b2+c2,故△ABC不是直角三角形;(2)由a2=(b+c)(b﹣c)可得,a2+c2=b2,故△ABC是直角三角形;(3)由∠A:∠B:∠C=3:4:5可得,∠C=180°×=75°<90°,故△ABC不是直角三角形;(4)由a=7,b=24,c=25可得,c2=a2+b2,故△ABC为直角三角形;(5)由a=2,b=2,c=4可得,a+b=c,故不能构成三角形.故选:A.3.解:根据题意得:小正方形的面积=(6﹣3)2=9,大正方形的面积=32+62=45,45﹣9=36.故选:B.4.解:当5为直角边时,第三边的平方为:42+52=41;当5为斜边时,第三边的平方为:52﹣42=9.故第三边的平方为9或41,故选:C.5.解:在△ABC中,∠B=90°,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=22+42=20,∵四边形ADEC是正方形,∴S正方形ADEC=AC2=20,故选:D.6.解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵AB=2.5米,BE=CD=1.6米,ED=BC=1.2米,∴AE=AB﹣BE=2.5﹣1.6=0.9(米).在Rt△ADE中,由勾股定理得到:AD=1.5(米)故选:B.7.解:∵AC=4米,BC=3米,∠ACB=90°,∴折断的部分长为AB=5,∴折断前高度为BC+AB=5+3=8(米).故选:A.8.解:在Rt△BCD中,∠C=90o,由勾股定理得:BD=5,在Rt△ABD中,∠ABD=90°,由勾股定理得:AD=13,故选:C.二.填空题(共8小题,满分32分)9.解:过点F作FH⊥CE,垂足为H,∵△CFE的面积为8,即,∴CE=8,∴FH=2,过点F作直线l∥EC,作点C直线l的对称点C′,连接AC′交直线于F′,此时|FA|﹣|FC|的值最大,最大值为线段AC′的长,过点C作CK⊥AB于K,∵∠CKB=∠KEC=90°,∴四边形CEKC′是矩形,∴CC′=EK=4,EC=KC′=8,∵AE=10,∴AK=AE﹣EK=10﹣4=6,∴AC′=10,∴|FA|﹣|FC|的最大值为10.故答案为:10.10.解:由题意得,AC=50m,BC=40m,∠ABC=90°,∴在Rt△ABC中,AB=30(m).故答案为:30.11.解:设另一直角边长为x,斜边为y,根据勾股定理可得x2+132=y2,即(y+x)(y﹣x)=169×1因为x、y都是连续自然数,可得,∴周长为13+84+85=182,故答案为:182.12.解:作∠ABC的平分线BF交AC于F,连接DF交BA的延长线于H,所以设∠ABF=∠CBF=x,所以∠BAD=90﹣x,∠ADB=90﹣x所以∠BAD=∠ADB,所以AB=BD,又因为∠AED=45+x,∠EDH=45+x,所以∠AED=∠EDH,所以EH=HD,在△AFH和△DFC中,因为∠AFH=∠CFD,AF=FD,∠HAF=∠FDC,所以△AFH≌△DFC(ASA),所以AH=CD=1,HF=CF,AF=FD,设AE=m,所以AB=BD=,所以BC=m+,AC=HD=HE=m+1,在Rt△ABC中,由勾股定理得:,解之得m=3,所以BC=8.5,故答案为:8.5.13.解:等腰△ABC有两种情况:①当△ABC为锐角三角形时,如图:∵AB=AC=10,BD=6,∴AD==8,∴DC=AC﹣AD=10﹣8=2,∴BC2=400;②当△ABC为钝角三角形时,如图:∵AB=AC=10,BD=6,∴AD==8,∴DC=AC+AD=10+8=18,∴BC2=3600.故答案为:400或3600.14.解:如图,分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE,连接OC,OB,ED,CD,∵△ABD和△AOE都是等边三角形,∴AE=AO,AD=AB,∠OAE=∠BAD=60°,∴∠DAE=∠BAO,在△AED和△AOB中,,∴△AED≌△AOB(SAS),∴DE=OB,∴OA+OB+OC=OE+DE+OC,当点C,O,E,D四点共线时,OE+DE+OC的值最小,此时OA+OB+OC=OE+DE+OC=CD,∵∠BAC=30°,∠BAD=60°,∴∠DAC=90°,又AB=4,AC=3,在Rt△ADC中,CD=5.故答案为:5.15.解:由勾股定理得:楼梯的水平宽度=12,∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和,∴地毯的长度至少是12+5=17(米).故答案为:17.16.解:∵正方形A、B的边长分别为1和2,∴SA=1,SB=4,∵正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长,∴SA+SC=SB,∴SC=4﹣1=3.故答案为:3.三.解答题(共6小题,满分56分)17.解:连接AC,如图:∵∠B=90°,AB=24m,BC=7m,∴AC2=AB2+BC2=242+72=625,∴AC=25(m).又∵CD=15m,AD=20m,152+202=252,即AD2+DC2=AC2,∴△ACD是直角三角形,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=•AB•BC+•AD•DC=×24×7+×20×15=234(m2).答:这块四边形草坪的面积是234m2.18.证明:(1)∵BC=13cm,CD=12cm,BD=5cm,∴BC2=BD2+CD2,∴△BDC为直角三角形;(2)设AB=xcm,∵△ABC是等腰三角形,∴AB=AC=xcm,∵△BDC为直角三角形,∴△ADC也为直角三角形,∴AD2+CD2=AC2,∴x2=(x﹣5)2+122,解得:,∴==.19.解:设OA=OB=x米,则OC=(x﹣1)米,BC=2米,在Rt△OBC中,由勾股定理得:OC2+BC2=OB2,∴(x﹣1)2+22=x2,解得x=,∴OA=(米),OC=x﹣1=(米),答:荷叶的高度为米,水面的深度为米.20.解:(1)如图所示,连接BE,∵D是AB边的中点,DE⊥AB于点D,∴DE垂直平分AB,∴AE=BE,又∵AE2﹣CE2=BC2,∴BE2﹣CE2=BC2,∴△BCE是直角三角形,且∠C=90°;(2)Rt△BDE中,BE=10,∴AE=10,设CE=x,则AC=10+x,而AB=2BD=16,Rt△ABC中,BC2=AB2﹣AC2=162﹣(10+x)2,Rt△BCE中,BC2=EB2﹣EC2=102﹣x2,∴162﹣(10+x)2=102﹣x2,解得x=2.8,∴CE=2.8.21.解:∵幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向,沁苑小区D位于B的南偏东55°方向,∴∠CBA=90°,∵无人机以1千米/分钟的速度配送快递时,从B到C需飞行8分钟,从B到A需飞行15分钟,∴BC=8km,BA=15km,∴由勾股定理得:CA=17(km),∵无人机以1千米/分钟的速度配送快递,∴17÷1=17(分钟),答:从幸福小区C飞到沁苑小区A所需要的时间为17分钟.22.解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2+BC2=AC2,即AB2+72=252,所以AB=24(m),即这个梯子的顶端距地面的高度AB的长度是24m;(2)梯子的底端在水平方向滑动了8m.理由:∵云梯的顶端A下滑了4m至点A′,∴BA′=AB﹣AA′=24﹣4=20(m),在Rt△BA′C′中,由勾股定理得BA′2+BC′2=A′C′2,即202+BC′2=252.所以BC′=15(m)CC′=BC′﹣BC=15﹣7=8(m),即梯子的底端在水平方向滑动了8m.
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