初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试复习练习题

这是一份初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试复习练习题，共16页。试卷主要包含了抛物线y＝等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》高频易错题型
能力达标测评（附答案）
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．抛物线y＝（x+3）2+2的对称轴是（　　）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③a+b+c＞0；④2a﹣b＞0；⑤9a﹣3b+c＜0．其中正确的有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0．若函数图象与x轴的两个交点均在负半轴，则下列判断错误的是（　　）
A．abc＜0 B．b＞0 C．c＜0 D．b+c＜0
4．二次函数y＝﹣3x2﹣x+4的图象与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是（　　）
A．﹣9＜M＜0 B．﹣18＜M＜0 C．0＜M＜9 D．﹣9＜M＜9
二．填空题（共10小题，满分40分）
7．将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的一般式为　 　．
8．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+b的顶点在坐标轴上，则b的值为　 　．
9．函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）和（1，0），与y轴交于正半轴，且﹣2＜x1＜﹣1，则下列结论：①b＞0；②b＜a；③﹣a＜c＜﹣2a；④对于任意正整数x均有ax2﹣a+bx+b＜0，其中正确的有　 　．
10．抛物线y＝（x+2）（x﹣1）的对称轴是　 　．
11．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为　 　．
12．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 　 　．

13．对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 　 　．
14．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 　 　．
15．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于　 　．
16．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为 　 　．



三．解答题（共4小题，满分56分）
17．如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）b＝　 　；c＝　 　；
（2）若直线l经过点C，点A关于直线l的对称点A′恰好在线段BC上，直线AA′与抛物线交于另一点E．
①求点E的坐标；
②点P（x0，y0）是直线BE上一点，若对于在第一象限内的抛物线y＝x2+bx+c上的动点Q，始终有S△QCA′≤S△PCA′，直接写出x0的取值范围．






18．已知二次函数y＝ax2+（1﹣a）x+．
（1）若二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求a的值；
（2）当x≥2时，y随x的增大而减小，求a的取信范围；
（3）已知A（﹣1，0），B（2，0），若二次函数的图象与线段AB只有一个交点，求a的取值范围．


19．已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+5ax+7与x轴交于A、C两点，与y轴交于点C，OB：OC＝7：2．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是抛物线在第二象限图象上一点，连接PC交y轴于点D，连接PB，设点P的横坐标为t，△PBD的面积为S，请用含有t的关系式表示S；
（3）如图3，在（2）的条件下，作PE⊥x轴于点E，连接ED，点F为ED上一点，连接AF交PE于点G，2∠GAO+∠EDO＝90°，DF＝2EG，求点P的坐标．

20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点（﹣1，4）和（2，﹣5），且它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+3沿直线l向下平移1个单位长度，得到新抛物线，设新抛物线与y轴的交点为M，直线l与x轴交于点N，动点R在直线l上，在新抛物线上是否存在点Q，使以点N，Q，R为顶点的三角形与△MON全等？若存在，求符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．解：由二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k，可知在y＝（x+3）2+2中，h═﹣3，
∴其对称轴为直线x═﹣3．
故选：B．
2．解：抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴﹣＜﹣1，
∴b＞0，
∴2a﹣b＜0，故④结论错误；
抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①结论错误；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故②结论错误；
当x＝1时，a+b+c＞0，故③结论正确；
当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＜0，故⑤结论正确．
故正确的为③⑤，共2个．
故选：D．
3．解：因为函数图象与x轴的两个交点均在负半轴，
所以抛物线的对称轴与x轴负半轴相交，
所以﹣＜0，c＜0，
因为a＜0，
所以b＜0，
因为c＜0，
所以abc＜0，b+c＜0，
故选：B．
4．解：根据△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣3）×4＝49＞0，函数图象与x轴的有两个交点，函数图象与y轴恒有一个交点，
则二次函数y＝﹣3x2﹣x+4的图象与坐标轴的交点个数为3个．
故选：D．
5．解：∵抛物线开口向下，则 a＜0．
对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0．
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线 x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x＝﹣1 时，y＜0，故③错误；
当 x＝﹣1 时，有 y＝a﹣b+c＜0，故④正确；
由 2a+b＝0，得 a＝﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误．
综上，正确的选项有：①②④．
所以正确结论的个数是3个．
故选：B．
6．解：将（﹣1，0）与（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
∴0＝a﹣b+c，c＝﹣3，
∴b＝a﹣3，
∵抛物线顶点在第四象限，
∴﹣＞0，a＞0，
∴b＜0，
∴a＜3，
∴0＜a＜3，
∴M＝4a+2（a﹣3）﹣3＝6a﹣9，
∴﹣9＜M＜9，
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分40分）
7．解：将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位长度得到抛物线y＝﹣（x+1）2+1，
再向下平移2个单位得到抛物线y＝﹣（x+1）2+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2﹣1＝﹣x2﹣2x﹣2．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣2．
8．解：∵y＝x2﹣（b﹣2）x+b＝（x﹣）2+，
∴抛物线顶点坐标为（，），
∵抛物线顶点在坐标轴上，
∴＝0或＝0，
解得b＝2或b＝4±2，
故答案为：b＝2或b＝4±2．
9．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（1，0）和（x1，0），与y轴交于正半轴上一点，
∴抛物线的开口向下，即a＜0，
∵﹣2＜x1＜﹣1，
∴﹣＜﹣＜0，
∴a＜b，所以②错误；
∴b＜0，所以①错误；
∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
即a+c＝﹣b＞0，
∴c＞﹣a，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
∴4a+2a+2c+c＜0，
∴c＜﹣2a，
∴﹣a＜c＜﹣2a，所以③正确；
设x＝m与x＝﹣1是对称点，
∵﹣＜﹣＜0，且a＜0，
∴﹣＜0，
∴0＜m＜1，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，
∴对于任意正整数x均有y＝ax2+bx+c，
当x＞m时，有ax2+bx+c＜a﹣b+c，即ax2﹣a+bx+b＜0，
故④错误；
∴其中正确的有③．
故答案为：③．
10．解：∵抛物线y＝（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2＝（x+）2﹣，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
故答案为：直线x＝﹣．
11．解：图象顶点坐标为（2，3），
可以设函数解析式是y＝a（x﹣2）2+3，
又∵形状与抛物线y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝4，
∴这个函数解析式是：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．
12．解：由题意，得
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+2＝0，
化简，得：（x﹣2）2＝25，
解得：x1＝7，x2＝﹣3（舍去），
故答案为：7．
13．解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，
∴a2﹣a的最小值为﹣，
∴b≤﹣，
故答案为b≤﹣．
14．解：∵抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，
∴||＝4，
解得c1＝6，c2＝14，
故答案为：6或14．
15．解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝，
∴x＝2021和x＝×2﹣2021＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴当x＝2021时，y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，
∴△ABC的面积为：＝3，
故答案为：3．
三．解答题（共4小题，满分56分）
17．解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得b＝，c＝2，
故答案为：，2；
（2）①如图：

∵A和A′关于直线l的对称点，
∴AC＝A′C，
由抛物线y＝x2+x+2得C(0，2)，
∴AC＝，
设直线BC解析式为y＝mx+n,将B(4，0),C(0，2)代入得：
，解得，
∴直线BC为y＝x+2，
设A′（a，a+2），
∴，
解得a1＝2，a2＝﹣2（不在线段BC上，舍去），
∴A′（2，1），
由A(﹣1，0)，A'(2，1)可得直线AA′为：y＝，
由解得：，（舍去），
∴E（）；
②如图：

由①知；直线BC的解析式：y＝x+2,
设直线BC的平行线l′＝；
当直线l′与抛物线相切时，设切点为Q，此时△QCA′的面积达到最大值，
联立直线l′与抛物线解析式可得,
整理得：，
当二者相切时，判别式△＝4+4•＝0；
解得n＝4，
∴直线l′的解析式为y＝﹣x+4；
设直线BE的解析式为y＝k2x+b2，
将B(4，0)，E()代入得：
，解得：；
∴直线BE：y＝﹣x+，
设直线BE与直线l′交于点P′，联立两直线解析式得：
,
此时P′（），此时S△P′CA′＝S△QCA′max，
为使S△P′CA′≥S△QCA′max，x0≤，
根据对称性，当直线l'与直线BC的距离等于直线l''与直线BC的距离时，直线l''解析式为y＝﹣x,
同理可得P''(，﹣),
为使S△P′CA′≥S△QCA′max，此时x0≥，
综上所述，x0≤或x0≥．
18．解：（1）由题意得，x＝﹣＝1，
解得a＝﹣1；
（2）由题意得，x≥2时，y随x 的增大而减小，
∴二次函数开口向下，且对称轴位于x＝2 的左侧或对称轴为直线x＝2，
∴﹣≤2，a＜0，
解得a；
（3）当△＝0时，二次函数与AB只有一个交点，
∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴①△＝b2﹣4ac＝（1﹣a）＝1﹣2a＝0，
∴a＝．

②当x＝﹣1时，y＝a﹣1；当x＝2时，y＝a+2，

∴﹣且a≠0

综上，﹣且a≠0，a＝．
19．解：（1）y＝ax2+5ax+7，
令x＝0，解得y＝7，
∴B（0，7），
∵OB：OC＝7：2，
∴C（2，0），
把C（2，0）代入抛物线0＝4a+10a+7，
a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+7．
（2）P的横坐标为t，则纵坐标为﹣t2﹣t+7，
∴P（t，﹣t2﹣t+7），
设直线PC解析式为y＝kx+b，
把P坐标、C坐标代入直线，
，
∴．
∴直线解析式为y＝﹣x+t+7，
令x＝0，y＝t+7，
∴D（0，t+7），
S△PBD＝|BD|×|xP|＝×（7﹣t﹣7）×（﹣t）＝t2．
（3）令y＝﹣x2﹣x+7＝0，
x1＝﹣7，x2＝2，
∴A（﹣7，0），AE＝7+t，
∵∠DEO+∠EDO＝90°，2∠GAO+∠EDO＝90°，
∴2∠GAO＝∠DEO，
∵∠DEO＝∠GAO+∠GFE，
∴∠GAO＝∠GFE，
∴AE＝EF，
∵F为ED中点，则ED＝2AE＝2（7+t），
∴在Rt△EDO中，EO2+DO2＝ED2，
（﹣t）2+（7+t）2＝4（7+t）2，
t1＝，t2＝，
∵t＜﹣7，
∴t2舍去，
∴t＝，yP＝，
∴P（，）．
20．解：（1）由题意把（﹣1，4）和（2，﹣5）两点代入y＝ax2+bx+3得：
，解得．
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由题意得新抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴M的坐标为（0，2）；
且新抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴N的坐标为（﹣1，0），
∴NO＝1，MO＝2，
新抛物线上存在点Q使得以点N，Q，R为顶点的三角形与△MON全等，
有以下几种情形：
Ⅰ．当NO＝RQ＝1，OM＝RN＝2时，∠MON＝∠NRQ＝90°，Q的位置如下图1中的Q'、Q''所示：

此时Q'、Q''的坐标分别为（﹣2，2）、（0，2）．
Ⅱ．当NR＝ON＝1，QR＝OM＝2时，Q的位置如下图2中的Q'''、Q''''所示：
此时，Q'''、Q''''的坐标分别为（﹣3，﹣1）、（1，﹣1）．
综上所述，Q点满足条件的坐标为（﹣2，2）、（0，2）、（﹣3，﹣1）、（1，﹣1）