2020-2021学年第一章 勾股定理综合与测试知识点教案

专题01 勾股定理

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重难突破

知识点一  勾股定理

1．勾股定理

如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么．

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

注意：

①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．

②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是．

2．直角三角形斜边上的高

①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．

②根据直角三角形的面积不变，即，求出h．

典例1

(2019秋•龙岗区期中)如图所示，已知中，，，，于，则的长为　　．

【解答】解：是直角三角形，，，

由勾股定理有：．

．

又，

得．

的长是．

典例2

(2019秋•宝安区期中)如图， 两个较大正方形的面积分别为 225 、 289 ，则字母所代表的正方形的边长为(     )

A ． 4 B ． 8 C ． 16 D ． 64

【解答】解： 由勾股定理得， 正方形的面积，

字母所代表的正方形的边长为，

故选：．

典例3

(2020•东莞市校级二模)如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与交于点，且．

(1)求证：；

(2)求的长．

【解答】解：(1)四边形是矩形，

，，，

由翻折的性质可知：，，，

在和中，

，

．

．

(2)，

，．

．

设，则，，，

在根据勾股定理得：，即，

解得：，

．

知识点二  勾股定理逆定理 

1．勾股定理逆定理

如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．

注意：

①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．

②当满足时，是斜边，是直角．

③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．

2．勾股数

满足的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股关系．

常见勾股数：，，；，，；，，；，，；，，等．

典例1

(2019秋•福田区校级期中)下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是　　

A．1，2，3 B．3，4，5 C．9，12，15 D．5，12，13

【解答】解：、，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长；

、，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

、，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

、，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长．

故选：．

典例2

(2019秋•青羊区期末)的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的

是　　

A． B．，， 

C． D．

【解答】解：、设，则，，

，

，解得

，

此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

、，

此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

、，

，

此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

、，是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：．

典例3

(2012春•九龙坡区期末)如图，正方形小方格边长为1，则网格中的是　　

A．直角三角形 B．锐角三角形 

C．钝角三角形 D．以上答案都不对

【解答】解：正方形小方格边长为1

，，

在中，

网格中的是直角三角形．

故选：．

知识点三  勾股定理的应用 

典例1

(2019秋•龙岗区期中)在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是　　

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米

【解答】解：设水深为，则红莲的高，且水平距离为，

则，解得．

故选：．

典例2

(2019秋•青羊区期末)如图，一棵大树在离地面6米高的处断裂，树顶落在离树底部的8米处，则大树断裂之前的高度为　　

A．10米 B．16米 C．15米 D．14米

【解答】解：由题意得，在直角三角形中，根据勾股定理得：米．

所以大树的高度是米．

故选：．

巩固训练

一、单选题(共6小题)

1．(2019秋•锦江区校级期中)以下四组数中，不是勾股数的是　　

A．，，为正整数) B．5，12，13 

C．20，21，29 D．8，5，7

【解答】解：、，是勾股数；

、，是勾股数；

、，是勾股数；

、，不是勾股数；

故选：．

2．(2019秋•宝安区期中)在中，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：中，，，，

由勾股定理得：，即，

，即，

则．

故选：．

3．(2019秋•龙岗区期中)直角三角形的三边为，，且、都为正整数，则三角形其中一边长可能为　　

A．61 B．71 C．81 D．91

【解答】解：由题可知：，解得：

所以直角三角形三边分别为、、．

当时，．

故选：．

4．(2019秋•深圳期中)如图，将放在正方形网格中(图中每个小正方形边长均为点，，恰好在网格图中的格点上，那么的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由勾股定理得：，，，

，，

是等腰直角三角形，

，

故选：．

5．(2019秋•龙岗区校级期末)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为　　

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米

【解答】解：在中，，米，米，

．

在△中，，米，，

，

，

，

米，

米．

故选：．

6．(2019秋•深圳期中)如图，在中，，，，点在上，，交于点，交于点，则的长是　　

A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5

【解答】解：连接，如图所示：

在中，，，，

，

，，

，，

，

在和中，，

，

，

，

设，则，

在中，由勾股定理得：，

即，

解得：；

；

故选：．

二、填空题(共5小题)

7．(2019春•沙雅县期中)在中，度，，，则　  　．

【解答】解：如图所示：

，，，

．

故答案为：8．

8．(2019秋•南山区校级期中)如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于　    　．

【解答】解：设设三角形的两直角边分别为，，

则，

由②得③，

①③得

则，

．

故答案是：10．

9．(2019秋•成华区校级期中)如图，将长，宽的矩形纸片折叠，使点与重合，折痕为，则长为　   　．

【解答】解：由折叠的性质得：，

设，则有，

在中，，，，

根据勾股定理得：，

解得：，

则的长为，

故答案为：3.4

10．(2019秋•金牛区校级期中)中，，，边上的高，则线段的长为　   　．

【解答】解：中，，，

由勾股定理得：；

中，，，由勾股定理得：；

①点在线段上时，，

②点在的延长线上时，，

故的长为9或21．

故答案为：9或21．

11．(2019秋•简阳市 期中)已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．　　    时为直角三角形．

【解答】解：在中，，

，

由题意知，

①当为直角时，点与点重合，，即，；

②当为直角时，，，，

在中，

，

在中，，

即：，

解得：，

故当为直角三角形时，或，

故答案为：或

三、解答题(共2小题)

12．(2019秋•罗湖区期中)如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿折叠，使点落在长方形内点处，且．

(1)试说明：是直角三角形；

(2)求的长．

【解答】解：(1)将沿折叠，使点落在长方形内点处，

，

，

是直角三角形

(2)折叠

，

又

点，，在一条直线上．

设，则，，，

在中，，

，

即．

．

．

13．(2019秋•深圳期中)如图，四边形中，，，，，．求四边形的面积．

【解答】解：，，，

根据勾股定理得：，

又，，

，，

，

为直角三角形，，

则．