初中第一章 勾股定理综合与测试测试题

这是一份初中第一章 勾股定理综合与测试测试题，共14页。试卷主要包含了下列各组数中，是勾股数的为，如图，方格中的点A，B称为格点等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元能力达标测评（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3，另一直角边长为9，则斜边长为（　　）A．15 B．12 C．10 D．92．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S23．下列各组数中，是勾股数的为（　　）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，94．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算5．在△ABC中，已知AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为（　　）A．14 B．42 C．32 D．42或326．如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）A．12 B．13 C．144 D．194 7．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为（　　）A．3 B．4 C．5 D．68．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　）A．x2+y2＝49 B．x﹣y＝2 C．2xy+4＝49 D．x+y＝99．如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（　　）米．A．1.3米 B．1.4米 C．1.5米 D．1.2米10．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2二．填空题（共7小题，满分28分）11．木工师傅为了让尺子经久耐用，常常在尺子的直角顶点A处与斜边BC之间加一根小木条AD．已知∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，则小木条AD的最短长度为　                　dm．12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是　   　．13．已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距　 　km．14．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为　   　米．15．如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有 　 　米．16．将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度为　 　cm．17．如图，某校的生物园形状是一个直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝40m，BC＝30m．现要修建一条水渠CD，D点在边AB上，若水渠的造价为800元/m，则修建水渠CD最少要 　      　元．三．解答题（共6小题，满分62分）18．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．19．如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？20．如图所示，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．  21．已知：如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝6，BC＝8．（1）求AB的长；（2）求斜边上的高CD的长．22．有一块等腰三角形草地，测得腰CA＝CB，AB＝6m，腰比底边上的高多1米，求该草坪的面积？23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣3，根据勾股定理得92+（x﹣3）2＝x2，解得x＝15．故选：A．2．解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴2ab＝S1﹣S2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，故选：C．3．解：A、错误，∵12+22＝5≠32＝9，∴不是勾股数；B、错误，∵42+52＝41≠62＝36，∴不是勾股数；C、正确，∵32+42＝25＝52＝25，∴是勾股数；D、错误，∵72+82＝113≠92＝81，∴不是勾股数．故选：C．4．解：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，则AC2+BC2＝225cm2．故选：C．5．解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝9，在Rt△ACD中，CD＝5，∴BC＝5+9＝14∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝9，在Rt△ACD中，CD＝5，∴BC＝9﹣5＝4．∴△ABC的周长为：15+13+4＝32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．故选：D．6．解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方＝169，一直角边的平方＝25，根据勾股定理知，另一直角边平方＝169﹣25＝144，即字母B所代表的正方形的面积是144．故选：C．7．解：如图所示：以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C共有4个，故选：B．8．解：由题意 ，①﹣②可得2xy＝45          ③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．9．解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D＝0.5m，BD＝1.2m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝1.3（m）．故选：A．10．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．二．填空题（共7小题，满分28分）11．解：∵∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，∴BC＝13（dm），当AD⊥BC时，AD最短，则AD×BC＝AB×AC，则AD＝＝＝（dm）．故答案是：．12．解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，∴CE2+AE2＝AC2，∴∠E＝90°，∴∠BAD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积＝AD•AB＝15，故答案为：15．13．解：如图，∵∠AOB＝90°，OA＝4km，OB＝3km∴AB＝＝5km．14．解：依题意得BC＝6，AD＝1，CE＝6﹣2＝4，AB＝DE+1设原标杆的高为x米，∵∠ACB＝90°，∴由题中条件可得BC2+AC2＝AB2，即AC2+62＝（x﹣AC）2，整理，得x2﹣2ACx＝36①，同理，得（AC+1）2+42＝（x﹣AC﹣1）2，整理，得x2﹣2ACx﹣2x＝16②，由①②解得x＝10，∴原来标杆的高度为10米，故答案为：10．15．解：设此时树的顶端离树的底部有x米，由勾股定理得：x2＝（8﹣3）2﹣32＝42，解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），答：此时树的顶端离树的底部有4米．故答案为：4．16．解：设筷子露在杯子外面的长度为h，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝20（cm），故h＝24﹣20＝4（cm）．故筷子露在杯子外面的最短长度为4cm．故答案为：4．17．解：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，∵∠ACB＝90°，AC＝40m，BC＝30m，∴AB＝50m，∵CD•AB＝AC•BC，即CD•50＝40×30，∴CD＝24m，此时，最低造价为19200元，所以，CD长为24米，水渠的造价最低，其最低造价为19200元，故答案为：19200．三．解答题（共6小题，满分62分）18．解：设AB＝AB′＝x，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），则AE＝AB﹣0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的长为4m．19．解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，解得x＝8．∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．20．解：连接BD，∵AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝90°∴BD＝5cm，S△ABD＝×3×4＝6cm2又∵BD＝5cm，BC＝13cm，CD＝12cm∴BD2+CD2＝BC2∴∠BDC＝90°∴S△BDC＝×5×12＝30cm2∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝6+30＝36cm2．21．解：（1）由勾股定理得：AB＝10；（2）∵Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，∴△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC，∴AB×CD＝AC×BC，∴CD＝＝＝．22．解：过点 C作CD⊥AB于点D，∵CA＝CB∴，设CD为x m，则AC＝（x+1）m，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2，即（x+1）2＝x2+33，解得：x＝4，∴CD＝4m，∴S△ABC＝，∴该草坪的面积为12m2．23．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）∴a2+b2＝c2．