高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性课时规范练理含解析新人教版

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第三节 函数的奇偶性与周期性

[A组　基础对点练]
1．(2021·山东滨州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)内单调递减的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cos x
解析：对于选项A，偶函数与单调递减均不满足；对于选项B，f(x)＝是偶函数，又是(1，2)上的减函数，符合题意；对于选项C，不满足单调递减；对于选项D，不满足单调递减．
答案：B
2．函数f(x)＝lg |sin x|是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
解析：∵f(－x)＝lg |sin (－x)|＝lg |sin x|，
∴函数f(x)为偶函数．
∵f(x＋π)＝lg |sin (x＋π)|＝lg |sin x|，
∴函数f(x)的周期为π.
答案：C
3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)
A．y＝ln x B．y＝x2＋1
C．y＝sin x D．y＝cos x
解析：选项A中的函数是非奇非偶函数；选项B中的函数是偶函数但不存在零点；选项C中的函数是奇函数；选项D中的函数既是偶函数又存在零点．
答案：D
4．设f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是(　　)
A.f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数
解析：因为f(－x)＝－x＋sin (－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选项A正确；因为f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故选项B正确；因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)的值域为R，故选项C正确；f(x)不是周期函数，故选项D错误．
答案：D
5．(2021·辽宁抚顺模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(　　)
A．2 B．－2
C．－98 D．98
解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：B
6．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝(　　)
A．6 B．－6
C．4 D．－4
解析：∵f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b，
∴f(0)＝1＋2b＝0，
∴b＝－.
∴当x≥0时，f(x)＝3x－7x－1，
∴f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.
答案：A
7．已知函数f(x)＝ln (－3x)＋1，则f(lg 2)＋f等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：设g(x)＝ln (－3x)＝f(x)－1，
g(－x)＝ln (＋3x)＝ln ＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数，
∴f(lg 2)－1＋f－1＝g(lg 2)＋g＝0，
因此f(lg 2)＋f＝2.
答案：D
8．已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(　　)
A．＋1 B．－1
C．－－1 D．－＋1
解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝1－.
答案：D
9．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1)
C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0
解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(3)＝f(－1).
又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，
即f(1)＜0＜f(3).
答案：C
10．已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：当x＞时，由f＝f可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，又由题意知f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝2.
答案：D
11．已知y＝f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项中一定正确的是(　　)
A．f(x－1)＋1是偶函数
B．f(－x＋1)－1是奇函数
C．f(x＋1)＋1是偶函数
D．f(x＋1)－1是奇函数
解析：根据题中条件可知函数f(x)的图象关于点(1，1)成中心对称，故f(x＋1)的图象关于点(0，1)成中心对称，则f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)成中心对称，所以f(x＋1)－1是奇函数．
答案：D
12．已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝(　　)
A． B．
C．π D．
解析：y＝f(－x)为偶函数，则y＝f(x)为偶函数，
关于x＝0对称，
y＝f(x＋2)为偶函数，关于x＝2对称，
∴T＝4，
∴F(x)＝f(x)＋f(－x)＝2f(x)，
∴F(3)＝2f(3).
而f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝f(1)＝，
∴F(3)＝.
答案：B
13．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x).
又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，
则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3
14．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________．
解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x).
又∵f(x)的周期为2，
∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)，
即f(x＋2)＋f(－x)＝0，
令x＝－1，得f(1)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0.
又∵f＝f＝－f＝－4＝－2.
∴f＋f(1)＝－2.
答案：－2
15．已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________．
解析：由题意可得g(2)＝＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.
答案：－1
[B组　素养提升练]
1．对于函数f(x)＝a sin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(－1)，所得出的正确结果可能是(　　)
A．2和1 B．2和0
C．2和－1 D．2和－2
解析：设g(x)＝a sin x＋bx3＋cx，显然g(x)为定义域上的奇函数，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有选项B中两个值的和为2.
答案：B
2．若定义在[－2 020，2 020 ]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2 020，2 020]，x2∈[－2 020，2 020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2 019，且x＞0时有f(x)＞2 019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N＝(　　)
A．2 019 B．2 020
C．4 040 D．4 038
解析：令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2 019，所以f(0)＝2 019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2 019＝2 019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4 038，令g(x)＝f(x)－2 019，则g(x)max＝M－2 019，g(x)min＝N－2 019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4 038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2 019＋N－2 019＝0，所以M＋N＝4 038.
答案：D
3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x1＜x2时，都有＞0恒成立；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(15)，c＝f(2 019)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
解析：由①知函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 019)＝f(252×8＋3)＝f(3)，b＝f(15)＝f(7)；由③可知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(7)，c＝f(3)＝f(5).因为函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即c＜a＜b.
答案：B
4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1，2]上是减函数；④f(2)＝f(0).其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来).
解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．
令x＝y＝0，
所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，
所以f(0)＝f(x)＋f(－x)，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．
由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以周期T＝4，
即f(x)为周期函数．
f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x).
又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，
所以函数关于x＝1对称．
由f(x)在[0，1]上为增函数，又关于x＝1对称，
所以f(x)在[1，2]上为减函数．
由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0).
答案：①②③④
5．判断f(x)＝的奇偶性．
解析：法一：(定义法)取x0，
∴f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).又f(0)＝0，∴f(x)为奇函数．
法二：(图象法)作出f(x)＝的图象如图．可知f(x)为奇函数．

6．(2020·吉林模拟)已知函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断并证明函数f(x)在(－1，0)上的单调性．
解析：(1)由题意得解得
所以f(x)＝.
(2)函数f(x)在(－1，0)上单调递增．
证明如下：
任取x1，x2∈(－1，0)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝＝＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(－1，0)上单调递增．