高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第二节函数的单调性与最值课时规范练理含解析新人教版

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第二节 函数的单调性与最值 [A组　基础对点练]1．下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)A．y＝x3     B．y＝xC．y＝|x|     D．y＝|tan x|解析：对于选项A，y＝x3为奇函数，不符合题意；对于选项B，y＝x是非奇非偶函数，不符合题意；对于选项C，y＝|x|是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于选项D，y＝|tan x|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增．答案：C2．(2021·天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则f(x)的解析式可以是(　　)A．f(x)＝(x－1)2     B．f(x)＝exC．f(x)＝     D．f(x)＝ln (x＋1)解析：根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．对于选项A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除选项A；对于选项B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除选项B；对于选项C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，选项C正确；对于选项D，f(x)＝ln (x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除选项D.答案：C3．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)，(1，＋∞)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：f(x)＝＝－1＋，所以f(x)的图象是由y＝－的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到的，而y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞).答案：C4．(2020·福建福州模拟)函数f(x)＝(a＞0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)A．(0，1)     B．C．     D．解析：∵∴≤a＜1.答案：B5．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)A．     B．－C．－2     D．2解析：函数f(x)＝－x＋在上单调递减，可知f(x)的最大值为f(－2)＝2－＝.答案：A6．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)A．[1，2]     B．[－1，0)C．[0，2]     D．[2，＋∞)解析：由于f(x)＝|x－2|x＝作出函数图象，如图所示．结合图象可知函数的单调递减区间是[1，2].答案：A7．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)A．y＝在R上为减函数B．y＝|f(x)|在R上为增函数C．y＝－在R上为增函数D．y＝－f(x)在R上为减函数 解析：选项A错，如f(x)＝x3，则y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性；选项B错，如f(x)＝x3，则y＝|f(x)|在R上无单调性；选项C错，如f(x)＝x3，则y＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性．答案：D8．已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若函数f(x)在R上递增，则需log21≥c＋1，即c≤－1.由c＝－1⇒c≤－1，但c≤－1 c＝－1，所以“c＝－1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件．答案：A9．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)     B．(－1，2)C．(－2，1)     D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：作出f(x)＝的图象，如图所示，由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f(2－a2)＞f(a)得2－a2＞a，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.答案：C10．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　)A．－1             B．1 C．6               D．12解析：由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.答案：C11．函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)A.f(1)＜f＜f B．f＜f(1)＜fC．f＜f＜f(1) D．f＜f(1)＜f解析：∵函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x)在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(1)＝f(3)，f＜f(3)＜f，即f＜f(1)＜f.答案：B12．已知f(x)＝不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)     B．(－∞，0)C．(0，2)     D．(－2，0)解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等价于x＋a＜2a－x，即x＜在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1＜，即a＜－2.答案：A13．函数f(x)＝在[2，6]上的最大值和最小值分别是________．解析：函数f(x)＝＝＝2＋在[2，6]上单调递减，所以f(x)min＝f(6)＝＝，f(x)max＝f(2)＝＝4.答案：4， 14．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)，若f(x)在上的值域为，则a＝________．解析：由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)在上单调递增，所以即解得a＝.答案：15．函数f(x)＝x＋的值域为________．解析：由2x－1≥0可得x≥，∴函数的定义域为.又函数f(x)＝x＋在上单调递增，∴当x＝时，函数取最小值f＝，∴函数f(x)的值域为.答案：16．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________．解析：由f(x)＝可得函数f(x)的单调递增区间为，故3＝－，解得a＝－6.答案：－6[B组　素养提升练]1．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有＜0，则下列结论正确的是(　　)A．f(0.32)＜f(20.3)＜f(log25)B．f(log25)＜f(20.3)＜f(0.32)C．f(log25)＜f(0.32)＜f(20.3)D．f(0.32)＜f(log25)＜f(20.3)解析：∵对任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．又∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∵0＜0.32＜20.3＜log25，∴f(0.32)＜f(20.3)＜f(log25).答案：A2．定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)A．[－1，2)     B．[0，2)C．[0，1)    D．[－1，1)解析：函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，∴函数在[－2，2]上单调递增，∴∴∴0≤a＜1.答案：C3．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是[0，1).答案：[0，1)4．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x＞0时，f(x)＞－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.解析：(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1＞5，即f(x2＋x＋1)>f(3).又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．5．(2020·绍兴模拟)已知函数f(x)＝px＋(p，q为常数)，且满足f(1)＝，f(2)＝.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的x∈，关于x的不等式f(x)≥2－m恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)∵∴解得∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋.(2)由(1)可得f(x)＝2x＋.任取x1，x2∈，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋－＝2(x1－x2)＋＝，∵0＜x1＜x2≤，∴x2－x1＞0，0＜x1x2＜，1－4x1x2＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝2x＋在区间上单调递减．∴f(x)＝2x＋在区间上的最小值是f＝2.要使对任意的x∈，函数f(x)≥2－m恒成立，只需f(x)min≥2－m，即2≥2－m，解得m≥0.∴实数m的取值范围为[0，＋∞).