广西专用高考数学一轮复习考点规范练7函数的奇偶性与周期性含解析新人教A版理

考点规范练7　函数的奇偶性与周期性

基础巩固

1.(2020黑龙江大庆模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)内单调递增的是(　　)

A.y=|x|+1 B.y=x3 C.y=-x2+1 D.y=

答案:A

解析:选项A中,f(x)=|x|+1,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),为偶函数,

当x>0时,y=x+1在区间(0,+∞)内单调递增,故选项A符合题意;

选项B中,y=x3为奇函数,不符合题意;

选项C中,y=-x2+1为偶函数,在区间(0,+∞)内单调递减,不符合题意;

选项D中,y=为非奇非偶函数,不符合题意.

2.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(　　)

A.1 B.5 C.-1 D.-5

答案:B

解析:令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.

又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.

3.(2020重庆九龙坡区模拟)已知奇函数y=f(x)(x∈R)满足:对一切x∈R,f(1+x)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=ex-1,则f(2 020)=(　　)

A.1 B.1-e C.0 D.e-1

答案:C

解析:根据题意,对任意x∈R都有f(1+x)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,

又函数y=f(x)为奇函数,则函数y=f(x)的图象关于原点对称,

则有f(x+2)=f[1+(x+1)]=f[1-(x+1)]=f(-x)=-f(x),

故f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),

即函数y=f(x)是周期为4的周期函数,则f(2020)=f(0),

又当x∈[0,1]时,f(x)=ex-1,

所以f(2020)=f(0)=e0-1=0.

4.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上f(x)是减函数.若f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)

A.(-∞,2) B.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)

答案:B

解析:由题意知f(-2)=f(2)=0,当x∈(-2,0]时,f(x)<f(-2)=0.由对称性知,当x∈[0,2)时,f(x)为增函数,f(x)<f(2)=0,故x∈(-2,2)时,f(x)<0.

5.若偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a

答案:B

解析:由偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,可得f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

又因为1<log45<log23<2<,所以b<a<c.

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-,则f(lo)的值为(　　)

A.0 B.1 C D.-

答案:A

解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(lo)=f(-log2)=f=-f

又f(x+2)=f(x),所以f=f=0.

所以f(lo)=0.

7.已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+∞)内为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则(　　)

A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)

C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

答案:D

解析:由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图象关于直线x=8对称.

又f(x)在区间(8,+∞)内为减函数,故f(x)在区间(-∞,8)内为增函数.

可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10).

8.已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,f=0,则满足f(lox)>0的x的取值范围是(　　)

A.(0,+∞) B(2,+∞)

C D

答案:B

解析:由题意知,函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,且f=0.

又f(lox)>0,则f(|lox|)>f,

即|lox|>,故lox>或lox<-,

解得0<x<或x>2.

故x的取值范围是(2,+∞).故选B.

9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于(　　)

A B.- C.- D

答案:D

解析:由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x),

∴f(x)是周期为2的周期函数.

∵log232>log220>log216,∴4<log220<5,

∴f(log220)=f(log220-4)=f=-f

∵当x∈(-1,0)时,f(x)=2x-1,

∴f=-,故f(log220)=

10.(2020河南洛阳检测)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)=　　　　. 

答案:0

解析:因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,

所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0.

因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x+2)=f(-x),

所以f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以f(x)是周期为4的周期函数.

因为f(1)=2,所以f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,

又f(2)=-f(0)=0,f(4)=f(0)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,

则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.

11.(2020广东越秀区模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+π)=2f(x),且当x∈[0,π]时,f(x)=sin x.若对任意的x∈(-∞,m],都有f(x)≤2,则实数m的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:当x∈[0,π]时,f(x)=sinx;

当x∈(π,2π]时,x-π∈(0,π],

f(x)=2f(x-π)=2sin(x-π)=-2sinx;

当x∈(2π,3π]时,x-π∈(π,2π],

f(x)=2f(x-π)=-4sin(x-π)=4sinx;

当x∈(-π,0]时,x+π∈(0,π],

f(x+π)=sin(x+π)=-sinx,

则f(x)=f(x+π)=-sinx;

……

画出函数f(x)的部分图象如图所示.

当2π≤x<3π时,由4sinx=2,解得x=或x=,

由图可知,若对任意的x∈(-∞,m],都有f(x)≤2,

则m的取值范围是m

12.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上单调递减,则满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围为　　　　　. 

答案:[-1,1)

解析:∵f(x)的定义域为[-2,2],

解得-1≤m①

又f(x)为奇函数,且在区间[-2,0]上单调递减,∴f(x)在区间[-2,2]上单调递减,

∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1).

∴1-m>m2-1,解得-2<m<1.②

综上①②可知,-1≤m<1,

即实数m的取值范围是[-1,1).

能力提升

13.设函数f(x)=x(ex+e-x),则f(x)是(　　)

A.奇函数,且在区间(0,+∞)内是增函数

B.偶函数,且在区间(0,+∞)内是增函数

C.奇函数,且在区间(0,+∞)内是减函数

D.偶函数,且在区间(0,+∞)内是减函数

答案:A

解析:由题意可知,f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)(e-x+ex)=-x(ex+e-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.f'(x)=ex+e-x+x(ex-e-x),当x>0时,ex>e-x,所以x(ex-e-x)>0,又ex+e-x>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内是增函数.

14.(2020江西九江期末)已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x-,则xf(x)≥0的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案:{x|x≥1或x=0或x≤-1}

解析:因为f(x)为R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x-,则当x>0时,-x<0,则f(-x)=2-x-=-f(x),

所以f(x)=,又f(0)=0,由xf(x)≥0,

可得或x=0或

解得x≥1或x=0或x≤-1.

15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在区间[0,2]上恰有两个不同的公共点,则实数a的值是(　　)

A.0 B.0或-

C.-或- D.0或-

答案:D

解析:因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2.

因为当0≤x≤1时,f(x)=x2,且f(x)是偶函数,所以可画出函数y=f(x)在一个周期[0,2]上的图象如图所示.

显然a=0时,y=x与y=x2在区间[0,2]上恰有两个不同的公共点.

另当直线y=x+a与抛物线y=x2(0≤x≤1)相切时,也恰有两个不同的公共点.

由题意知x2=x+a,即x2-x-a=0.

故Δ=1+4a=0,即a=-

综上可知,a=0或a=-

16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x.若<a<,则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为　　　　　. 

答案:5

解析:∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的函数.

若x∈[-1,0],则-x∈[0,1],此时f(-x)=-3x.

由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.

由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).

设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间[-3,2]上的图象,如图所示.

因为<a<,且当a=和a=时,对应的直线为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.

17.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=　　　　　. 

答案:-8

解析:∵f(x)为奇函数,且f(x-4)=-f(x),

∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),

即f(x)=f(4-x),

且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),

即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且是周期为8的周期函数.

∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,

∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,在区间[2,6]上是减函数.

据此可画出y=f(x)的草图(如图):

其图象也关于直线x=-6对称,

∴x1+x2=-12,x3+x4=4,

∴x1+x2+x3+x4=-8.

高考预测

18.(2020四川南充模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=2-f(-x),且函数f(x+1)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=1-x2,则f=(　　)

A B 

C D

答案:C

解析:因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(-x)=f(x+2).

又f(x)=2-f(-x),所以f(x+2)+f(x)=2,f(x+4)+f(x+2)=2,

所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期T=4,

所以f=f=f

因为当x∈[-1,0]时,f(x)=1-x2,

所以f=f=f=f=2-f=2-=2-