高考数学一轮复习考点规范练7函数的奇偶性与周期性含解析新人教A版理

考点规范练7　函数的奇偶性与周期性

基础巩固

1.函数f(x)=-x的图象关于(　　)

A.y轴对称 B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称 D.直线y=x对称

答案:C

解析:∵f(-x)=-+x=-=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数.

∴f(x)的图象关于坐标原点对称.

2.已知函数f(x)=-x|x|+2x,则下列结论正确的是(　　)

A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)

B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,-1)

C.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,-1)

D.f(x)是奇函数,递增区间是(-1,1)

答案:D

解析:由函数的定义域为R,且f(-x)=-f(x),可知f(x)为奇函数.

又f(x)=-x|x|+2x=故可画出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,f(x)的递增区间是(-1,1).故选D.

3.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(　　)

A.1 B.5 C.-1 D.-5

答案:B

解析:令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.

又g(-2)=f(-2)-2,

故f(-2)=g(-2)+2=5.

4.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上f(x)是减函数.若f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)

A.(-∞,2)

B.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 

D.(2,+∞)

答案:B

解析:由题意知f(-2)=f(2)=0,当x∈(-2,0]时,f(x)<f(-2)=0.由对称性知,当x∈[0,2)时,f(x)为增函数,f(x)<f(2)=0,故x∈(-2,2)时,f(x)<0,故选B.

5.若偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a

答案:B

解析:由偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,可得f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

又因为1<log45<log23<2<,

所以b<a<c.

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-,则f(lo)的值为(　　)

A.0 B.1 C D.-

答案:A

解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(lo)=f(-log2)=f=-f

又f(x+2)=f(x),

所以f=f=0.

所以f(lo)=0.

7.已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+∞)内单调递减,且函数y=f(x+8)为偶函数,则(　　)

A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)

C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

答案:D

解析:由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图象关于直线x=8对称.

又f(x)在区间(8,+∞)内单调递减,故f(x)在区间(-∞,8)内为增函数.

可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10).

8.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为(　　)

A.2 B.1 C.-1 D.-2

答案:A

解析:∵f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,

∴f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,

∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),

∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,

∴f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.

9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于(　　)

A B.- C.- D

答案:D

解析:由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x),

∴f(x)是周期为2的周期函数.

∵log232>log220>log216,∴4<log220<5,

∴f(log220)=f(log220-4)=f=-f

∵当x∈(-1,0)时,f(x)=2x-1,

∴f=-,故f(log220)=

10.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=　　　　. 

答案:-3

解析:∵ln2∈(0,1),f(ln2)=8,f(x)是奇函数,

∴f(-ln2)=-8.

∵当x<0时,f(x)=-eax,∴f(-ln2)=-e-aln2=-8,

∴e-aln2=8,∴-aln2=ln8,

∴-a=3,∴a=-3.

11.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=,则f(1),g(0),g(-1)之间的大小关系是　　　　　　　　　　. 

答案:f(1)>g(0)>g(-1)

解析:在f(x)-g(x)=中,用-x替换x,得f(-x)-g(-x)=2x.因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.

于是解得f(x)=,g(x)=-,于是f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,故f(1)>g(0)>g(-1).

12.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上单调递减,则满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围为　　　　　. 

答案:[-1,1)

解析:∵f(x)的定义域为[-2,2],

解得-1≤m①

又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上单调递减,

∴f(x)在[-2,2]上单调递减,

∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1).

∴1-m>m2-1,

解得-2<m<1.②

综上①②可知,-1≤m<1,

即实数m的取值范围是[-1,1).

能力提升

13.已知函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为(　　)

A.(1,3) B.(-1,1)

C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)

答案:C

解析:f(x)的图象如图所示.

当x∈[-1,0)时,由xf(x)>0,得x∈(-1,0);

当x∈[0,1)时,由xf(x)>0,得x∈⌀;

当x∈[1,3]时,由xf(x)>0,得x∈(1,3).

故x∈(-1,0)∪(1,3).

14.已知函数y=f(x-1)+x2是定义在R上的奇函数,若f(-2)=1,则f(0)=(　　)

A.-3 B.-2 C.-1 D.0

答案:A

解析:令g(x)=f(x-1)+x2.

因为g(x)是定义在R上的奇函数,

所以g(-1)=-g(1),

即f(-2)+1=-[f(0)+1],得f(0)=-3.

15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在区间[0,2]上恰有两个不同的公共点,则实数a的值是(　　)

A.0 B.0或-

C.-或- D.0或-

答案:D

解析:因为f(x+2)=f(x),

所以函数f(x)的周期T=2.

因为当0≤x≤1时,f(x)=x2,且f(x)是偶函数,所以可画出函数y=f(x)在一个周期[0,2]上的图象如图所示.

显然a=0时,y=x与y=x2在区间[0,2]上恰有两个不同的公共点.

另当直线y=x+a与抛物线y=x2(0≤x≤1)相切时,也恰有两个不同的公共点.

由题意知x2=x+a,即x2-x-a=0.

故Δ=1+4a=0,即a=-

综上可知,a=0或a=-

16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x.若<a<,则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为　　　　　. 

答案:5

解析:∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的函数.

若x∈[-1,0],则-x∈[0,1],此时f(-x)=-3x.

由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.

由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).

设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间[-3,2]上的图象,如图所示.

因为<a<,且当a=和a=时,对应的直线为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.

17.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=　　　　　. 

答案:-8

解析:∵f(x)为奇函数,且f(x-4)=-f(x),

∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),

即f(x)=f(4-x),

且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),

即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且是周期为8的周期函数.

∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,

∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,在区间[2,6]上是减函数.

据此可画出y=f(x)图象的草图(如图):

其图象也关于直线x=-6对称,

∴x1+x2=-12,x3+x4=4,

∴x1+x2+x3+x4=-8.

高考预测

18.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则(　　)

A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25)

C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

答案:D

解析:∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),

∴f(x)=f(x+8).

∴函数f(x)是以8为周期的周期函数.

∴f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1).

又f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,2]上单调递增,

∴f(x)在区间[-2,2]上单调递增.

∴f(-1)<f(0)<f(1),

即f(-25)<f(80)<f(11).