人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课后测评

这是一份人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课后测评，共11页。
2.3.3~2.3.4　直线与平面垂直的性质　平面与平面垂直的性质课后篇巩固提升基础巩固　　　　　　　　　　　　　1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是(　　)A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.答案C2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABB1A1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则(　　)A.ME⊥平面ABCD B.ME⊂平面ABCDC.ME∥平面ABCD D.以上都有可能解析由于平面ABB1B1A1⊥平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,ME⊥AB,ME⊂平面ABB1A1,所以ME⊥平面ABCD.答案A3.设l,m,n为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是(　　)①若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m;②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;④若l∥m,m⊥α,n⊥β,α∥β,则l∥n.A.1 B.2 C.3 D.4解析对于①,直线l,m可能互相平行,①不正确;对于②,直线m,n可能是平行直线,此时不能得知l⊥α,②不正确;对于③,由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”得知,③正确;对于④,由l∥m,m⊥α得l⊥α,由n⊥β,α∥β得n⊥α,因此有l∥n,④正确.综上所述,其中命题正确的个数是2.答案B4.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(　　)A.一条线段 B.一条直线C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.答案D5.设α、β、γ为两两不重合的平面,l、m、n为两两不重合的直线,给出下列四个命题,①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,l⊂α,则l∥β;④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4解析①α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能相交,如两个平面立在第三个平面上(一本展开的书立在课桌上).②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α与β可能相交.③正确.④正确.答案B6.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件　　　　　时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可) 解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)7.如图,A、B、C、D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,则CD=　　　　　　　. 解析取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC,可知DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.答案28.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)直线EF∥平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)如图,在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.9.如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=BC=CA=4,∠BCA=90°,E为PC中点.(1)求证:BE⊥平面PAC;(2)求二面角E-AB-C的正弦值.(1)证明∵PB⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AC⊥PB.∵∠BCA=90°,∴AC⊥CB,而CB⊂平面PBC,PB⊂平面PBC,PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC.又BE⊂平面PBC,∴AC⊥BE.∵E为PC中点,且PB=BC,∴BE⊥PC.又PC⊂平面PAC,AC⊂平面PBC,PC∩AC=C,∴BE⊥平面PAC.(2)解过E作EF⊥BC,F为垂足,则EF∥PB.∵PB⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.∵AB⊂平面ABC,∴EF⊥AB.过F作FM⊥AB,M为垂足,连接EM.∵EF∩FM=F,∴AB⊥平面EFM.∵EM⊂平面EFM,∴AB⊥EM.∴∠EMF为二面角E-AB-C的平面角.在Rt△EFM中,EF=PB=2,FM=FBsinB=,EM=.sin∠EMF=,故二面角E-AB-C的正弦值为.能力提升1.设直线m,n和平面α,β.下列四个命题中,正确的是(　　)A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βC.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α解析选项A中,m∥α,n∥α,m与n可能平行,可能相交,也可能异面;选项B中,m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,α与β可能平行,可能相交;选项C中,α⊥β,m⊂α,m与β可能垂直,可能斜交.答案D2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在(　　)A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC的内部解析因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1=AB,所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.答案A3.在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为(　　)A.2 B.2 C.4 D.4解析连接CM,则由题意知PC⊥平面ABC,可得PC⊥CM,所以PM=,要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可,在△ABC中,当CM⊥AB时CM有最小值,此时有CM=4×=2,所以PM的最小值为2.答案B4.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角;④二面角B-SD-C的大小为45°.其中正确结论的序号是　　　　. 解析由题意,AC⊥平面BDS,所以AC⊥SB,故①正确;AB∥CD,所以AB∥平面SCD,故②正确;AB与SC所成的角是∠SCD,DC与SA所成的角是∠SAB,两者不相等,故③错误;二面角B-SD-C的平面角是∠BDC,是45°,故④正确.所以正确的序号是①②④.答案①②④5.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=　　　　　. 解析取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.答案26.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是　　　　　. 解析过A作AO⊥BD于点O,∵平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ADO=45°.答案45°7.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,截面DAN交PC于M.(1)求PB与平面ABCD所成角的大小;(2)求证:PB⊥平面ADMN.解(1)取AD中点O,连接PO、BO、BD.∵△PAD是正三角形,∴PO⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD,∴BO为PB在平面ABCD上的射影,∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角.由已知△ABD为等边三角形,得PO=BO=,∴PB与平面ABCD所成的角为45°.(2)证明∵△ABD是正三角形,∴AD⊥BO.∴AD⊥PB.又PA=AB=2,N为PB中点,∴AN⊥PB,AN∩AD=A,∴BP⊥平面ADMN. 8.如图所示,在△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF∥平面ABC;(2)求证:AC⊥平面EBC;(3)求该五面体的体积.(1)证明连接AE.∵四边形ABED为正方形,∴AE∩BD=F,且F是AE的中点,∴GF∥AC.又AC⊂平面ABC,∴GF∥平面ABC.(2)证明∵四边形ABED为正方形,∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC=AB,∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AC.∵CA2+CB2=AB2,∴AC⊥BC.又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面EBC.(3)解取AB的中点N,连接CN.因为AC=BC,∴CN⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC=AB,CN⊂平面ABC,∴CN⊥平面ABED.∵△ABC是等腰直角三角形,∴CN=AB=.∵五面体C-ABED是四棱锥,∴V四棱锥C-ABED=S四边形ABED·CN=×1×.