高中苏教版 (2019)第10章 三角恒等变换本章综合与测试精品练习题

10.4问题与探究：正弦函数与余弦函数的叠加同步练习苏教版（ 2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知，则     

A.  B.  C.  D.

A.  B.  C.  D.

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则的值是

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 设函数的最小正周期为，且，则．

A. 在上单调递减 B. 在上单调递减
C. 在上单调递增 D. 在上单调递增

7. 已知函数在上有两个不同的零点，则m的取值范围为    

A.  B.  C.  D.

8. 函数的最小正周期为

A.  B.  C.  D.

9. 在平面直角坐标系中，记d为点到直线的距离．当、m变化时，d的最大值为   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 在锐角中，分别为三边所对的角．若，且满足关系式，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，，下列判断错误的是

A. 当，时，辅助角
B. 当，时，辅助角
C. 当，时，辅助角
D. 当，时，辅助角

12. 已知函数，则下列说法正确的是

A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知锐角满足，则          ．
14. 求值：          ．
15. 若在上是减函数，则a的最大值是________．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意x成立，则实数a的最小值为          此时，函数在区间上的图象与直线所围成的封闭图形的面积为          ．
17. 在中，角A，B，C分别为三角形的三个内角，且，则的取值范围是          ，的取值范围是          ．
18. 当时，函数取得最大值为          ，且          ．

四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

19. 已知函数．

求的最小正周期

求在区间上的最大值和最小值．






 

20. 已知向量，，设函数．

求函数的最大值；

已知在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围．






 

21. 已知函数．

求函数的最小正周期和单调递增区间；

在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，求的面积．






 

22.  已知函数满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：，周期，过点，．

写出所满足的3个条件的序号不需要说明理由，并求的解析式；

求函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离．






 

23. 设函数

若，求的单调递增区间；

在中，，且A为钝角，求的值．






 

24. 设函数，．
    已知，函数是偶函数，求的值；
    求函数的值域．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知函数的图象如图所示，其中A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形．
     

求的值及的单调递增区间；

设，求函数在区间上的最大值及此时x的值．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式，属于基础题．

根据两角和的正弦公式展开 ，再整理利用辅助角公式即可得答案．

【解答】

解： ，

 ，

得，

故选：B．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了和角正弦公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
结合辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解．

【解答】

解：


．
故选：A．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数化简求值，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用二倍角公式和辅助角公式将原始化为，再求解．
【解答】

解：原式



．
故选C．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

利用两角差的余弦公式、辅助角公式、诱导公式求得的值．
本题主要考查两角差的余弦公式、辅助角公式、诱导公式的应用．

【解答】

解：
，
，
则．
故选B．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的图象与性质以及三角恒等变换应用问题，注意两角和差公式以及二倍角公式的灵活应用，是中档题．

化函数为正弦型函数，由在上单调递减，利用正弦函数的单调性列出不等式组，求出的取值范围．

【解答】

解：函数


，
由函数在上单调递减，
且，
得
解得，
又，，
实数的取值范围是．
故选A．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】本题重点考查的性质，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
化简，由最小正周期为得，由可知为偶函数得，所以，在上单调递减．

【解答】解：，
由最小正周期为得，
由可知为偶函数，
又，
所以，
所以，在上单调递减．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查三角恒等变换、函数的图象与性质以及函数的零点方程根的关系，属于中档题．
令，即，所以作出函数在图象和的图象，由图象得到m的取值范围．
【解答】
令，即，所以
因为，所以所以，则，
作出函数在图象和的图象，

因为函数在上有两个不同的零点，所以m的取值范围为．
故选C．  

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数的周期及辅助角公式等知识，属基础题．
根据同角三角关系式与辅助角公式化简函数，再结合三角函数的性质求解即可．
【解答】
解：，
则．
故选A．  

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，是中档题．
由题意分两种情况讨论，结合三角函数的最值即可得解．

【解答】

解：由题意，
当时，，
当时，
当时，
 ，
其中，
当时，，
的最大值为3．
故选C．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦、余弦定理的应用，考查辅助角公式， 属于难题．
由得，从而求得B的值，化简，即可求出b的值；利用求得，且，再利用三角恒等变换求的取值范围．

【解答】

解：，
，
则，
，，；
由余弦定理得，
，
由正弦定理得，
，
，解得；
，
在锐角中，由，，
得， ，
由，可得；

，
由，得，
，
的取值范围是．
故选D．

11.【答案】B
 

【解析】解：因为，，
对于A，因为，，则辅助角在第一象限，
因为，，故A选项正确；
对于B，因为，，则辅助角在第四象限；
，故，故B选项错误；
对于C，因为，，则辅助角在第二象限；
，故，故C选项正确；
对于D，因为，，则辅助角在第三象限，
，故，又因为，故，故D选项正确；
故选：B．
分别判断出a，b的值，对辅助角的影响．
，，则辅助角在第一象限；
，，则辅助角在第四象限；
，，则辅助角在第三象限；
，，则辅助角在第二象限．
本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．
 

12.【答案】B
 

【解析】解：函数，
故的最小正周期为，故排除A．
故的最大值为，故B正确．
在上，，函数单调递减，故排除C．
当时，不是最值，故的图象关不关于直线对称，故排除D，
故选：B．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查诱导公式，两角差的三角函数公式及辅助角公式，属于中档题．
设，得，得，得，再由，得即可求解．
【解答】
解：设，

由
得，
得，
得，
得，
得，
得，
因为，
所以，
得，
故．
故答案为．

14.【答案】1
 

【解析】

【分析】

本题考查了诱导公式、两角差的正切公式、辅助角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题．
利用诱导公式以及两角差的正切公式可化为，再利用同角三角函数的基本关系以及辅助角公式即可化简求值．

【解答】

解：




．
故答案为1．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查辅助角公式，正弦函数的单调性，属于基础题．
利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性求得a的最大值．
【解答】
解：
 

，

当，

即时，

单调递增，

单调递减．

函数在上是减函数，

，

，
的最大值为．
故答案为．

16.【答案】；

【解析】

【分析】
本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的图象、性质的应用，属中档题．
先将函数化简为，由平移得到的解析式，对任意x成立，即为函数的对称轴，可求出a的最小值，然后用割补的方法，可得图形的面积．
【解答】
解：
，
由图象向左平移个单位长度．
则得到．
所以．
由若对任意x成立，则为函数的对称轴．
得，所以，，则a的最小值为；
此时，由对称性可知，如图．

即右边阴影部分的面积等于左边的面积．
所求面积即为直线以及围成矩形面积，即为．
故答案为： ； ．  

17.【答案】 
 

【解析】

【分析】

本题考查正余弦定理的应用，与三角函数有关的求范围问题，基本不等式的应用，属于较难题．
由正余弦定理得到，再由基本不等式和角的范围得到，由即可得解．

【解答】

解：根据正弦定理，，
所以，，得，

再由，
得，

因为，，
而，
当且仅当时取等，
所以，

所以，所以，
所以，
而，
故的取值范围是．
故答案为 ；．

18.【答案】

2

【解析】

【分析】
本题考查辅助角公式，三角函数的最值，是中档题
先利用辅助角公式化简函数，其中，并且为锐角，得函数的最大值及时取得最大值，
进而求得的值．
【解答】
解：有辅组角公式可得
其中，并且为锐角，
当，时，；
所以；
由题意可得：当有最大值时，即有，
所以，即，，
因为，
所以；
所以，
因为，所以．
故答案为：；2．  

19.【答案】解：因为



，
所以的最小正周期为
因为，
所以．
故当，即时，取得最大值
当，即时，取得最小值．
 

【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．
利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，即可求出函数的最小正周期
先根据x的取值范围求得的范围，再由正弦函数的性质即可求出函数的最大值和最小值．
 

20.【答案】解：

，
则，
此时，即
由，
整理得，
即，
由，则，所以，
则，所以，，
由



由即

则，则．
 

【解析】本题考查三角函数最值的求法，三角恒等变换及正弦定理，考查向量数量积的坐标表示，属于中档题．
解析式可整理为，进而可得函数最大值；
根据条件整理可得，，则，利用B的取值范围进而求得结果．
 

21.【答案】解：
，
所以的最小正周期．
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，．
因为，所以，
即，
又，所以，
所以或，或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
所以，，，，此时为等腰三角形，所以，
所以，
即的面积为．
 

【解析】本题考查函数的图象与性质，二倍角公式，辅助角公式，三角形的面积公式．
利用二倍角公式，辅助角公式化简，根据函数的图象与性质得到函数的最小正周期和单调递增区间；
由及，求出A，根据为锐角三角形求出C，再利用三角形的面积公式求解．
 

22.【答案】解：所满足的三个条件是：，
的周期，，，
又过点，且，，，
，，
，，
又，，
又，，，．
由，得，
，或，，
，或，，
所以函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为．
 

【解析】本题主要考查了函数的图象与性质，函数的周期性和辅助角公式等知识，考查了计算能力，属于中档题．
的周期，可得的值，又过点，且，代入解析式中，结合三角变换公式，进而得出，又，可得的值，再根据，可得m的值，进而得出函数的解析式；
由，得，再结合函数的周期性可得出结果．
 

23.【答案】解：

，

当时，．

当，即时，单调递增．

在中，由，即，
得或．
因为A为钝角，所以．
由余弦定理得，．
又由正弦定理得，．

【解析】本题主要考查了函数的图象与性质，正弦定理，余弦定理，辅助角公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．
根据二倍角和辅助角公式化简可得，从而即可根据x的取值求得的单调递增区间．
根据求得A的值，再利用余弦定理和正弦定理即可得sinC的值．
 

24.【答案】解：由，
得，
为偶函数，，
，或，





，
，，
，
函数的值域为：．
 

【解析】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属中档题．
函数是偶函数，则，根据的范围可得结果；
化简函数得，然后根据x的范围求值域即可．
 

25.【答案】解：



，
因为为等腰直角三角形，所以，
所以，，
，
当，时函数递增，
故的单调递增区间为，；




，
在区间上，，
当，即时，有最大值．
 

【解析】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
对化简，所以，即可求出T，进而求出的值和的单调递增区间；
求出的解析式并化简得到，即可得解．