第10章 三角恒等变换 章末题型归纳总结

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第10章 三角恒等变换 章末题型归纳总结 目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：给角求值型问题经典题型二：给值求值型问题经典题型三：给值求角型问题经典题型四：三角函数式的化简与证明经典题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用经典题型六：三角恒等变换与向量的综合运用经典题型七：三角恒等变换的实际应用经典题型八：辅助角公式的高级应用模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③函数与方程思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：给角求值型问题例1．（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）化简：（    ）A． B． C． D．例2．（2024·江苏苏州·高一吴县中学校考期末）计算：（ ）A． B． C． D．例3．（2024·全国·高一期末）若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．例4．（2024·广东茂名·高一统考期末）的值为（    ）A． B． C． D．例5．（2024·山西·高一校联考期末）（ ）A． B． C． D．经典题型二：给值求值型问题例6．（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）若，则（    ）A． B． C． D．例7．（2024·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知，且，求（    ）A． B． C． D．例8．（2024·全国·高一专题练习）已知，，则的值为（    ）A． B． C． D．例9．（2024·全国·高一专题练习）若，则（    ）A． B． C． D．例10．（2024·全国·高一专题练习）若 ，则（    ）A． B． C． D．经典题型三：给值求角型问题例11．（2024·全国·高一专题练习）已知、是方程的两个根，且，则等于（    ）A． B．C．或 D．或例12．（2024·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若，，且，，则（    ）A． B． C． D．例13．（2024·全国·高一专题练习）已知，，若，则（    ）A． B． C． D．例14．（2024·高一单元测试）已知，则（    ）A． B．C． D．例15．（2024·全国·高一专题练习）已知，，，，则（    ）A．或 B．C． D．经典题型四：三角函数式的化简与证明例16．（2024·全国·高一专题练习）化简(1)(2)(3)(4)例17．（2024·全国·高一随堂练习）化简：(1)；(2)；(3)；(4)．例18．（2024·全国·高一课堂例题）化简．例19．（2024·全国·高一专题练习）证明：．例20．（2024·高一课时练习）证明：.例21．（2024·全国·高一假期作业）证明：.经典题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用例22．（2024·内蒙古·高一校联考期末）已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)若，求的值.例23．（2024·天津和平·高一统考期末）已知函数，(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数的单调递减区间；(3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值.例24．（2024·天津·高一统考期末）已知函数.(1)求的值；(2)求的最小正周期和单调递增区间；(3)求在上的最大值和最小值.例25．（2024·江苏南京·高一期末）已知函数的一段图象过点，如图所示．(1)求函数的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；(3)若，求的值.例26．（2024·吉林·高一统考期末）已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)将函数的图象上所有点向上平移个单位得到曲线，再将上的各点纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围．经典题型六：三角恒等变换与向量的综合运用例27．（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知向量，若角满足，且．(1)求；(2)若，且，求．例28．（2024·江西·高一统考期末）已知向量，，(1)求的最小正周期；(2)求满足的的集合.例29．（2024·全国·高一专题练习）已知向量，函数.(1)求使成立的x的集合；(2)若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间内的所有零点之和.例30．（2024·广东佛山·高一校考期末）已知向量，，且．(1)求实数的值；(2)若，目，求的值．例31．（2024·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期末）已知向量，记函数，若函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)当时，试求的值域；(3)求在上的单调递增区间.经典题型七：三角恒等变换的实际应用例32．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形所示），其中为生活区入口.已知有三条路，，，路上有一个观赏塘，其中，路上有一个风雨走廊的入口，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设.(1)当，时，求张角的正切值；(2)当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此的总费用.例33．（2024·重庆·高一重庆八中校考期末）如图，正方形的边长为2，，分别为AB，BC的中点.以O为圆心，OA为半径的圆弧上有一点P，T、S两点分别在线段AB、BC上，使得四边形SBTP为矩形.(1)将点绕点逆时针旋转后使其与点重合，求；(2)求矩形面积的最大值.例34．（2024·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）如图，在直角坐标系中，作射线，分别交单位圆于点，，且在第一象限，在第二象限，且．记．(1)若，求；(2)分别过，作轴的垂线，垂足依次为，，求梯形面积的取值范围．例35．（2024·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）如图所示，某小区中心有一块圆心角为，半径为的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E，F在边OA上，点在边OB上，点在AB上），其他区域地面铺设绿地，设.(1)表示绿地的面积；(2)若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用最低，应取何值，并求出此时的值．例36．（2024·河北唐山·高一期末）如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且C在OB上，D在OA上，P在上，记．  (1)试用θ分别表示矩形和的面积；(2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用．经典题型八：辅助角公式的高级应用例37．（2024·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）若函数的最小值为，则常数的值为 .例38．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值为 ，最小值为 .例39．（2024·贵州六盘水·统考模拟预测）设，，且，则 .例40．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）已知函数，当取得最大值时， .例41．（2024·上海浦东新·高三校考期末）在中，，则的取值范围是 .例42．（2024·上海青浦·高三校考期末）已知关于的方程 在实数范围内有解，则 的最小值为 .模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例43．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，（    ）A．1 B． C． D．例44．若，则（    ）A． B．1 C．2 D．0或2例45．已知，则（    ）A． B． C． D．例46．已知函数的值域为，则（    ）A．或 B． C． D．或例47．已知为第二象限角，，则的值为（    ）A． B． C． D．②转化与化归思想例48．如图，OPQ是半径为1，的扇形，C是弧PQ上的点，ABCD是扇形的内接矩形，设，若，四边形ABCD的面积S取得最大时，的值为（    ）A． B． C． D．例49．若，则（    ）A．  B． C． D． 例50．设，，且，则（    ）A． B． C． D．例51．等于（    ）A．1 B．2 C． D．  例52．若，则的值为（    ）A． B． C． D．③函数与方程思想例53．函数的最小值为（    ）A． B． C．0 D．例54．若，且，则（    ）A． B． C． D．例55．已知，，且、都是锐角，则（    ）A． B． C． D．例56．已知，并且，则（    ）A． B． C． D．例57．在锐角中，若，则的最小值为（    ）A．4 B．6 C．8 D．10