这是一份高中数学第五章三角函数5.4 三角函数的图象与性质第1课时课时作业，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十二) 周期性与奇偶性

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )

A．y＝sineq \f(x,2) B．y＝cseq \f(x,2)

C．y＝cs x D．y＝cs 2x

D [A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．]

2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )

B [由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．

由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.]

3．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期为eq \f(π,5)，其中ω＞0，则ω等于( )

A．5 B．10

C．15 D．20

B [由已知得eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(π,5)，又ω＞0，

所以eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,5)，ω＝10.]

4．函数y＝|cs x|－1的最小正周期为( )

A.eq \f(π,2) B．π

C．2π D．4π

B [因为函数y＝|cs x|－1的周期同函数y＝|cs x|的周期一致，由函数y＝|cs x|的图象(略)知其最小正周期为π，所以y＝|cs x|－1的最小正周期也为π.]

5．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))的值为( )

A．1 B．－1

C．0 D．2

B [由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，

所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－1.]

二、填空题

6．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：

①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；

②存在φ，使f(x)是偶函数；

③存在φ，使f(x)是奇函数；

④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．

其中错误的是 (填序号)．

①④ [φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数，φ＝eq \f(π,2)时，f(x)＝cs x是偶函数．]

7．若函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为．

6 [T＝eq \f(2π,ω)，1＜eq \f(2π,ω)＜4，则eq \f(π,2)＜ω＜2π，

∴ω的最大值是6.]

8．若f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝cs x－sin x，当x＜0时，f(x)的解析式为．

f(x)＝－cs x－sin x [x＜0时，－x＞0，

f(－x)＝cs(－x)－sin(－x)＝cs x＋sin x，

因为f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－cs x－sin x，

即x＜0时，f(x)＝－cs x－sin x．]

三、解答题

9．已知函数y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(1,2)|sin x|.

(1)画出函数的简图；

(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．

[解] (1)y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(1,2)|sin x|

＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x∈[2kπ，2kπ＋π]k∈Z，,0，x∈[2kπ－π，2kπ]k∈Z，))图象如下：

(2)由图象知该函数是周期函数，最小正周期是2π.

10．判断函数f(x)＝lg(sin x＋eq \r(1＋sin2x))的奇偶性．

[解] ∵f(－x)＝lg[sin(－x)＋eq \r(1＋sin2－x)]

＝lg(eq \r(1＋sin2x)－sin x)＝lgeq \f(1＋sin2x－sin2x,\r(1＋sin2x)＋sin x)

＝lg(sin x＋eq \r(1＋sin2x))－1＝－lg(sin x＋eq \r(1＋sin2x))

＝－f(x)．

又当x∈R时，均有sin x＋eq \r(1＋sin2x)＞0，

∴f(x)是奇函数．

11．函数f(x)＝eq \f(1＋sin x－cs2x,1＋sin x)是( )

A．奇函数 B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

C [由1＋sin x≠0得sin x≠－1，

所以函数f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠2kπ－\f(π,2)，))k∈Z))，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．]

12．设函数f(x)＝sineq \f(π,3)x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝( )

A.eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(\r(3),2)

C．0 D．eq \r(3)

A [∵f(x)＝sineq \f(π,3)x的周期T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝336eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)＋sin\f(2,3)π＋sin π＋sin\f(4,3)π＋sin\f(5,3)π＋sin 2π))＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＋f(336×6＋3)＋f(336×6＋4)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sineq \f(π,3)＋sineq \f(2,3)π＋sineq \f(3,3)π＋sineq \f(4π,3)＝eq \f(\r(3),2).]

13．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cs x＜0的解集是．

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)) [∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cs x是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)).]

14．(一题两空)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，则函数f(x)的周期T＝，若f(1)＝2，则f(99)＝ .

4 eq \f(13,2) [因为f(x)·f(x＋2)＝13，

所以f(x＋2)＝eq \f(13,fx)，

所以f(x＋4)＝eq \f(13,fx＋2)＝eq \f(13,\f(13,fx))＝f(x)，

所以函数f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝eq \f(13,f1)＝eq \f(13,2).]

15．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))，求关于x的方程g(x)＝eq \f(\r(3),2)的解集．

[解] 当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，

g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).

因为x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，

所以由g(x)＝eq \f(\r(3),2)

解得x＋eq \f(π,3)＝－eq \f(π,6)或eq \f(π,6)，

即x＝－eq \f(π,2)或－eq \f(π,6).

又因为g(x)的最小正周期为π，

所以g(x)＝eq \f(\r(3),2)的解集为

eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,2)))或x＝kπ－\f(π,6)，k∈Z)).

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