高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.4 两条直线的平行与垂直课后测评

第一章直线与圆

§1　直线与直线的方程

1.4　两条直线的平行与垂直

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.下列说法中,正确的有(　　)

①斜率均不存在的两条直线可能重合;

②若直线l1⊥l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1;

③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直;

④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1⊥l2.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案C

解析斜率均不存在的两条直线可能平行,也可能重合,故①正确,两直线垂直,有两种情况:当两条直线都有斜率时,斜率乘积为-1;也可以一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,故②错误,③④正确.

2.已知直线方程l1:y=x+,l2:y=x+,则l1与l2的关系(　　)

A.平行 B.重合

C.相交 D.以上答案都不对

答案A

解析∵直线l1的斜率k1=,

直线l2的斜率k2=,

∴k1=k2.

∵两条直线在y轴上的截距分别为,不相等,

∴l1与l2互相平行.

故选A.

3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为(　　)

A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)

答案B

解析设l2与y轴交点为B(0,b).

∵直线l1过A(1,1),O(0,0),

∴kOA=1.

∵l1⊥l2,∴kOA·kAB=-1,

即kAB==-1,

解得b=2,即l2与y轴交点的坐标为(0,2).

4.直线y=-x+与直线y=-x-平行,则a的值为(　　)

A.2 B.±2 C. D.±

答案D

解析∵直线y=-x+与直线y=-x-平行,显然a≠0,∴

解得a=±,

故选D.

5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=　　　　. 

答案-

解析由根与系数的关系可知k1+k2=,k1·k2=-,

∵l1∥l2,∴k1=k2=,

解得b=-2k1·k2=-.

6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,则a的值为　　　　. 

答案0或5

解析当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时直线l2的斜率k2=0,则l1⊥l2,满足题意.

当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=,k2=.

由l1⊥l2,知k1k2=-1,即×=-1,解得a=0.综上所述,a的值为0或5.

7.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为　　　　. 

答案(3,-6)

解析设D(x,y),由题意可知,AB∥CD且AD∥BC,

∴kAB=kCD且kAD=kBC,

∴解得

8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:

(1)倾斜角为135°;

(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;

(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.

解(1)由kAB==tan135°=-1,

解得m=-或m=1.

(2)由题意kAB=,且=3,

则=-,解得m=或m=-3.

(3)令=-2,

解得m=或m=-1.

等级考提升练

9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-x+1与直线l1平行,则a+b等于(　　)

A.-4 B.-2 C.0 D.2

答案B

解析∵直线l的斜率为-1,则直线l1的斜率为1,

∴kAB==1,∴a=0.

由l1∥l2,得-=1,得b=-2,所以a+b=-2.

故选B.

10.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0.若l1⊥l2,则sin 2α=(　　)

A. B.- C. D.-

答案A

解析∵l1⊥l2,∴sinα-3cosα=0,即tanα=3.

∴sin2α=2sinαcosα=.

11.过点A0,与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于(　　)

A.-3 B.3 C.-6 D.6

答案B

解析由题意知l1⊥l2,∴=-1,

即-k=-1,解得k=3.

12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是(　　)

①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点;

②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点;

③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

答案D

解析由斜率公式,①中,直线l2的斜率也为2,故l1∥l2;②中,直线l1的斜率也为0,故l1∥l2;③两条直线的斜率均为,且两直线没有公共点,故l1∥l2.故选D.

13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是(　　)

A.0或3 B.-1或3

C.0或-1或3 D.0或-1

答案D

解析∵两直线没有公共点,∴1×3a-a2(a-2)=0,

∴a=0或-1或3,经检验知a=3时两直线重合,a=0或a=-1时,两直线平行.

14.(2020甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为　　　　　　　. 

答案(0,-6)或(0,7)

解析设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP.又kAP=,kBP=,kAP·kBP=-1,所以=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7).

15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为　　　　,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为　　　　　　　. 

答案(-4,-1)　x-y+3=0

解析设Q(a,b),则解得a=-4,b=-1.

即点Q的坐标为(-4,-1),设与直线x+y-3=0垂直的直线方程为x-y+c=0,将Q(-4,-1)代入上式,得c=3,所以直线方程为x-y+3=0.

16.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.

(1)l1⊥l2,且直线l1过点M(-4,-1).

(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.

解(1)∵l1过点M(-4,-1),∴-4a+b+4=0.

∵l1⊥l2,∴a×(1-a)+b=0.

∴

(2)由题意可得两条直线不可能都经过原点,

当b=0时,两条直线分别化为ax+4=0,(a-1)x+y=0,

可知两条直线不平行.

b≠0时两条直线分别化为

y=x+,y=(1-a)x-b,

∴=1-a,=b,

解得

新情境创新练

17.如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BE⊥AC,求证:CF⊥AB.

解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-,

由点A(0,a)和点C(c,0),知直线AC的斜率为-,

因为BE⊥AC,所以--=-1,

即pa=-bc;

由点C(c,0)和点P(0,p),知直线CP的斜率为-,由点A(0,a)和点B(b,0),知直线AB的斜率为-,

则直线CF与AB的斜率之积为--==-1,

所以CF⊥AB.