高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程练习

第一章直线与圆

§2　圆与圆的方程

2.1　圆的标准方程

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为(　　)

A.(-1,2),2 B.(1,-2),2

C.(-1,2),4 D.(1,-2),4

答案A

2.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是(　　)

A.(x+3)2+(y+1)2=5 

B.(x+3)2+(y+1)2=25

C.(x-3)2+(y-1)2=5 

D.(x-3)2+(y-1)2=25

答案D

3.若圆C的圆心坐标为(0,0),且圆C经过点M(3,4),则圆C的半径为(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

答案A

解析圆C的半径为=5.

4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为(　　)

A.(x+2)2+(y-3)2=13

B.(x-2)2+(y+3)2=13

C.(x-2)2+(y+3)2=52

D.(x+2)2+(y-3)2=52

答案B

解析如图,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=.

故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.

5.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是(　　)

A.|a|<1 B.a<

C.|a|< D.|a|<

答案D

解析依题意有(5a)2+144a2<1,

所以169a2<1,

所以a2<,即|a|<,故选D.

6.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为(　　)

A.x+y-2=0 B.x-y+2=0

C.x+y-3=0 D.x-y+3=0

答案D

解析圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).

因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0,

化简得x-y+3=0.

7.若点P(-1,)在圆x2+y2=m2上,则实数m=　　　　. 

答案±2

解析∵点P在圆x2+y2=m2上,

∴(-1)2+()2=4=m2,

∴m=±2.

8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为　　　　　. 

答案(x-2)2+y2=9

9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.

解设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

则有解得

即△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.

等级考提升练

10.已知A(3,-2),B(-5,4),则以AB为直径的圆的方程是(　　)

A.(x-1)2+(y+1)2=25

B.(x+1)2+(y-1)2=25

C.(x-1)2+(y+1)2=100

D.(x+1)2+(y-1)2=100

答案B

解析由题意可得圆心为(-1,1),半径为r=5,所以圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25,故选B.

11.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为(　　)

A.(x-1)2+(y+2)2=5

B.(x+1)2+(y+2)2=5

C.(x+1)2+(y-2)2=5

D.(x-1)2+(y-2)2=5

答案C

解析直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0.

由∴C(-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.

12.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

答案A

解析设圆心C(x,y),则=1,

化简得(x-3)2+(y-4)2=1,

所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,

所以|OC|≥|OM|-1=-1=4,

当且仅当C在线段OM上时取等号,

故选A.

13.(多选题)下列各点中,不在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是(　　)

A.(0,2) B.(3,3)

C.(-2,2) D.(4,1)

答案ACD

解析由(0-1)2+(2+2)2<25,知(0,2)在圆内;由(3-1)2+(3+2)2>25知(3,3)在圆外;由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上,由(4-1)2+(1+2)2<25知(4,1)在圆内,故选ACD.

14.(多选题)已知圆C:(x-a)2+y2=4(a为常数,a∈R)不经过第二象限,则实数a的可取值为(　　)

A.-2 B.0 C.2 D.4

答案CD

解析圆C:(x-a)2+y2=4表示以C(a,0)为圆心,以2为半径的圆,此圆不经过第二象限,需a>0,且OC≥2,故a≥2,故选CD.

15.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是　　　　　　　　. 

答案(x-4)2+y2=1

解析设圆心A(3,-1)关于直线x+y-3=0对称的点B的坐标为(a,b),

则解得

故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.

16.已知圆C:x2+y2=1,则圆上的点到点(3,4)距离的最大值为　　　　　. 

答案6

解析因为圆C的方程为x2+y2=1,

所以圆心坐标为(0,0),半径r=1.

又圆心(0,0)到点(3,4)的距离为=5,

所以圆上的点到点(3,4)的距离的最大值为5+1=6.

17.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:

(1)线段AB的垂直平分线l的方程;

(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.

解(1)由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).

∵A(-1,2),B(3,4),

∴直线AB的斜率kAB=.

∵直线l垂直于直线AB,

∴直线l的斜率k=-=-2,

∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.

(2)∵A(-1,2),B(3,4),

∴|AB|==2,

∴以线段AB为直径的圆的半径r=|AB|=.

又圆心为C(1,3),

∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.

新情境创新练

18.

如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上异于A,B两点的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

解设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.由A(-1,0),B(1,0),

令动点C(x0,y0),则D(2x0-1,2y0),

由重心坐标公式得

则代入x2+y2=1,

整理得x+2+y2=(y≠0),

故所求轨迹方程为x+2+y2=(y≠0).