高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线与圆的位置关系第3课时课后练习题

第一章直线与圆

§1　直线与直线的方程

1.3　直线的方程

第3课时　直线方程的一般式、点法式

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.直线x-y=0的倾斜角为(　　)

A.30° B.45°

C.60° D.90°

答案B

解析直线x-y=0的斜率为1,设其倾斜角为α,则0°≤α<180°,由tanα=1,得α=45°,故选B.

2.点M(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上的点,则直线方程可表示为(　　)

A.A(x-x0)+B(y-y0)=0

B.A(x-x0)-B(y-y0)=0

C.B(x-x0)+A(y-y0)=0

D.B(x-x0)-A(y-y0)=0

答案A

解析由点在直线上得Ax0+By0+C=0,得C=-Ax0-By0,代入直线方程Ax+By+C=0,得A(x-x0)+B(y-y0)=0,故选A.

3.已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有直线都恒过点(　　)

A.(0,0) B.(0,1)

C.(3,1) D.(2,1)

答案C

解析kx-y+1-3k=0可化为y-1=k(x-3),所以直线恒过定点(3,1).

4.若直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的斜率为(　　)

A.1 B.-1 

C.-2或1 D.-1或2

答案D

解析当直线ax+y-2-a=0过原点时,可得a=-2.

当直线ax+y-2-a=0不过原点时,

由题意知,当a=0时,直线l与x轴无交点,当a≠0时,直线l在x轴上的截距为,

在y轴上的截距为2+a,由题意得=2+a,

解得a=1,或a=-2.

综上知,a=-2或a=1.

所以直线l的斜率为-1或2.

5.写出直线l:2x-y-1=0的一个法向量a=　　　　. 

答案(2,-1)(答案不唯一)

解析因为直线l:Ax+By+C=0,法向量为(A,B)或(-A,-B),

所以2x-y-1=0的法向量为(2,-1).

6.若直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则a=　　　　. 

答案1

解析由题意知a≠0,当x=0时,y=2;

当y=0时,x=,∵2=,∴a=1.

7.若直线mx-y+(2m+1)=0恒过定点,则此定点是　　　　. 

答案(-2,1)

解析由y=mx+2m+1,得y-1=m(x+2),所以直线恒过定点(-2,1).

8.在y轴上的截距为-6,且倾斜角为45°的直线的一般式方程为　　　　　　　　　　. 

答案x-y-6=0

解析设直线的斜截式方程为y=kx+b(k≠0),

则由题意得k=tan45°=1,b=-6,

所以y=x-6,

即x-y-6=0.

9.根据下列条件分别写出直线方程,并化成一般式:

(1)斜率是,经过点A(8,-2);

(2)经过点B(-2,0),且与x轴垂直;

(3)斜率为-4,在y轴上的截距为7;

(4)经过点A(-1,8),B(4,-2);

(5)经过C(-1,5),D(2,-1)两点;

(6)在x,y轴上的截距分别是-3,-1.

解(1)由点斜式,得y+2=(x-8),化简,得x-3y-8-6=0.

(2)直线方程为x=-2,即x+2=0.

(3)由斜截式,得y=-4x+7,化成一般式为4x+y-7=0.

(4)由两点式,得,化成一般式为2x+y-6=0.

(5)由两点式方程得,化成一般式为2x+y-3=0.

(6)由截距式方程得=1,化成一般式为x+3y+3=0.

等级考提升练

10.直线x+2y+1=0在x轴上的截距是(　　)

A.1 B.-1 

C.0.5 D.-0.5

答案B

解析令y=0,则x+1=0,解得x=-1,

即直线在x轴上的截距为-1.

故选B.

11.直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,而且它的斜率是直线x-y=3的斜率的相反数,则(　　)

A.m=-,n=1 B.m=-,n=-1

C.m=,n=-1 D.m=,n=1

答案D

解析∵直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,

∴0-3n+3=0,解得n=1.

∵直线x-y=3的斜率为,

∴直线mx+ny+3=0的斜率为-=-,解得m=.

∴m=,n=1.

故选D.

12.过点(-1,0),且与直线有相同方向向量的直线的方程为(　　)

A.3x+5y-3=0 B.3x+5y+3=0

C.3x+5y-1=0 D.5x-3y+5=0

答案B

解析由,可得3x+5y+8=0,即直线的斜率为-,

由题意可知所求直线的斜率为k=-,

故所求的直线方程为y=-(x+1),即3x+5y+3=0.

故选B.

13.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是 (　　)

A.0, B.0,∪,π

C.,π D.,π

答案D

解析∵a2+1≠0,∴直线的斜率k=-,∴-1≤k<0.

所以直线的倾斜角的取值范围是,π.

14.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是(　　)

A.直线l的斜率可以等于0

B.直线l的斜率有可能不存在

C.直线l可能过点(2,1)

D.若直线l的横截距与纵截距相等,则m=±1

答案BD

解析当m=0时,斜率不存在,当m≠0时,斜率不等于0,A错,B正确;

∵2-m+m-1=1≠0,∴(2,1)不在直线上,C错;

当m=0时,纵截距不存在,当m≠0时,令x=0,得y=,令y=0,得x=1-m,由=1-m,得m=±1,D正确.故选BD.

15.(2020上海行知中学高二期中)过点A(-1,3),且与向量n=(1,2)垂直的直线方程是　　　　　　　　　.(用一般式表示) 

答案x+2y-5=0

解析因为直线与向量n=(1,2)垂直,又过点A(-1,3),

所以直线的方程是1×(x+1)+2×(y-3)=0,即x+2y-5=0.

16.已知直线x+2y=2分别与x轴,y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为　　　　. 

答案

解析直线方程可化为+y=1,故直线与x轴的交点为A(2,0),与y轴的交点为B(0,1).由动点P(a,b)在线段AB上可知0≤b≤1,因为a+2b=2,所以a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2.因为0≤b≤1,所以当b=时ab取得最大值.

17.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).

(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;

(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.

解(1)当直线l过原点时,直线l在x轴和y轴上的截距为零,显然相等,所以a=2,方程为3x+y=0.

由题可知a+1≠0,即a≠-1.

当a≠2时,由=a-2,解得a=0,

所以直线l的方程为x+y+2=0.

综上所述,所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.

(2)将直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,

所以

解得a≤-1.

新情境创新练

18.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)证明:直线l过定点;

(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;

(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.

(1)证明直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,

故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).

(2)解直线l的方程可化为y=kx+2k+1,

则直线l在y轴上的截距为2k+1,

要使直线l不经过第四象限,则

故k的取值范围是k≥0.

(3)解依题意,直线l在x轴上的截距为-,

在y轴上的截距为1+2k,且k>0,

所以A-,0,B(0,1+2k),

故S=|OA||OB|=×(1+2k)

=4k++4≥×(4+4)=4,

当且仅当4k=,即k=时,等号成立,

故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.