数学选择性必修 第一册2.2 圆的一般方程课后测评

第一章直线与圆

§2　圆与圆的方程

2.2　圆的一般方程

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是(　　)

A.R B.(-∞,0)∪(0,+∞)

C.(0,+∞) D.(1,+∞)

答案B

解析当a≠0时,方程为x-2+y+2=,

由于a2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,

∴当a≠0时,方程表示圆.

当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.

综上可知,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).

2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是(　　)

A.x2+y2+4x-2y-5=0 

B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x2+y2+4x-2y=0 

D.x2+y2-4x+2y=0

答案C

解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.

3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(　　)

A.2 B. C.1 D.

答案D

解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=.

4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为(　　)

A.x2+y2-4x+6y+8=0 

B.x2+y2-4x+6y-8=0

C.x2+y2-4x-6y=0 

D.x2+y2-4x+6y=0

答案D

解析易知圆C的半径为,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.

5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是　　　　　.半径是　　　　　. 

答案(-2,1)　

解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为.

6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为　　　　　. 

答案x2+y2=4

解析设M(x,y),则又点(x0,y0)在圆上,∴4x2+4y2=16,即x2+y2=4.

7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=　　　　. 

答案

解析圆的半径r=,当k=0时,rmax=1,直线y=(k-1)x+2的斜率为-1,倾斜角为.

8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.

解设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

∵A,B,C三点都在圆上,

∴A,B,C三点的坐标都满足所设方程,

把A(4,1),B(-6,3),C(3,0)的坐标依次代入所设方程,

得解得

所以所求圆的方程为x2+y2+x-9y-12=0.

等级考提升练

9.若a∈-2,0,1,,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案B

解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,

则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,

解得-2<a<,

又a∈-2,0,1,,则a=0.

方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为1.

10.已知圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,则圆C的方程是(　　)

A.(x+1)2+y2=1

B.(x-3)2+(y+2)2=1

C.(x+3)2+(y-2)2=1

D.(x+2)2+(y-3)2=1

答案B

解析将圆x2+y2-2y=0化成标准形式,得x2+(y-1)2=1,

∴已知圆的圆心为(0,1),半径r=1.

∵圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,

∴圆C的圆心C与点(0,1)关于直线x-y-2=0对称,半径也为1.

设C(m,n),可得解得

∴C(3,-2),可得圆C的方程是(x-3)2+(y+2)2=1.

11.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0(　　)

A.关于点(2,0)对称

B.关于直线y=0对称

C.关于直线x+3y-2=0对称

D.关于直线x-y+2=0对称

答案ABC

解析圆x2+y2-4x-1=0,即圆(x-2)2+y2=5,它的圆心为(2,0),半径等于,故圆关于点(2,0)对称,且关于经过(2,0)的直线对称,故选ABC.

12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则实数a的值为(　　)

A.0或2 B.0或-2

C.0或 D.-2或2

答案A

解析圆x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,

它的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为,

则实数a=0或a=2,故选A.

13.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为(　　)

A. B.5 C.2 D.10

答案B

解析由题意得直线l过圆心M(-2,-1),

则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.

所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,

所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.

14.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是　　　　　　. 

答案x2+y2-x+4=0

解析设M(x,y),由|MA|=2|MB|,A(-2,0),B(2,0),得=2,

整理,得3x2+3y2-20x+12=0,即x2+y2-x+4=0.

15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是　　　　. 

答案(-∞,8)

解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,

所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,

所以a<13,由此得a-b<8.

16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为,求圆的一般方程.

解圆心C的坐标为-,-,

因为圆心在直线x+y-1=0上,

所以--1=0,即D+E=-2. ①

又r=,所以D2+E2=20. ②

由①②可得

又圆心在第二象限,所以-<0,->0,

即D>0,E<0,所以

所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.

新情境创新练

17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.

(1)求圆M的方程.

(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.

解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),

∴

解得D=0,E=3-a,F=-3a.

∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.

(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由

解得x=0,y=-3.

∴圆M过定点(0,-3).