高中数学1.3 直线的方程第2课时精练

第一章直线与圆

§1　直线与直线的方程

1.3　直线的方程

第2课时　直线方程的两点式、截距式

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.经过A(3,2),B(4,3)两点的直线方程是(　　)

A.x+y+1=0 B.x+y-1=0

C.x-y+1=0 D.x-y-1=0

答案D

解析由直线的两点式方程得,

即x-y-1=0.

2.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为(　　)

A.2 B.-3 C.-27 D.27

答案D

解析由两点式得直线方程为,即y=-,令y=0,得x=27,故选D.

3.(2020安徽无为中学高二月考)直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 010,y)在直线l上,则y的值为(　　)

A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022

答案C

解析直线l的两点式方程为,化简得y=2x+1,将x=1010代入y=2x+1,得y=2021.

4.(多选题)(2020山东宁阳一中高二期中)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　)

A.y=-x+5 B.y=x+5

C.y= D.y=-

答案AC

解析当直线过坐标原点时,直线方程为y=;

当直线不过坐标原点时,设直线方程为=1,代入点A(4,1),可得a=5,

即y=-x+5.故选AC.

5.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是　　　　　　. 

答案y=-3x+6

解析由题意知直线过点(2,0),

又直线过点(1,3),由两点式可得,

整理得y=-3x+6.

6.过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是　　　　　　　　. 

答案=1或=1

解析设直线的方程为=1,

∵点(5,0)在直线上,∴a=5.由|5-b|=2得b=7或b=3,∴所求直线的方程为=1或=1.

7.若直线y=x+2m与两坐标轴围成的三角形面积不小于8,则实数m的取值范围为　　　　　　. 

答案{m|m≥2或m≤-2}

解析由y=x+2m,得=1,由直线y=x+2m与两坐标轴围成的三角形面积不小于8,则|2m|×|-2m|≥8,解得m≥2或m≤-2,故实数m的取值范围为{m|m≥2或m≤-2}.

8.已知直线l经过点A(-2,1),B(3,-3),求直线l的方程,并求直线l在y轴上的截距.

解因为A,B两点的横坐标不相等,而且纵坐标也不相等,所以直线的两点式方程为,

整理得y=-x-.

因此直线l在y轴上的截距为-.

9.已知直线l过点P(4,1),

(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;

(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.

解(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),

∴直线l的方程为,即y=-x+5.

(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).

令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.

∴1-4k=24-,解得k=或k=-2.

∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=或y=-2x+9.

等级考提升练

10.过点A(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　)

A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条

答案B

解析当截距都为零时满足题意要求,直线为y=-x,

当截距不为零时,设直线方程为=1,

∴

即直线方程为=1或=1,

∴满足条件的直线共有3条.故选B.

11.两条直线l1:=1和l2:=1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)

答案A

解析直线l1,l2的方程化为截距式分别为=1,=1.

假定l1,判断a,b,确定l2的位置,知A项符合.

12.过点P(1,3),且与x轴,y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(　　)

A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0

C.3x-y=0 D.x-3y+8=0

答案A

解析设所求的直线方程为=1(a>0,b>0),

由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6,因此有解得

故所求直线的方程为y=-3x+6,故选A.

13.(2020北京大兴高二期中)已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy(　　)

A.无最小值,且无最大值

B.无最小值,但有最大值

C.有最小值,但无最大值

D.有最小值,且有最大值

答案D

解析线段AB的方程为=1(0≤x≤3),于是y=41-(0≤x≤3),从而xy=4x1-=-x-2+3,显然当x=时,xy取最大值为3;当x=0或x=3时,xy取最小值为0.

14.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　)

A.x+y-3=0 B.x+y+3=0

C.x-y-1=0 D.x-y+1=0

答案AC

解析由题意设直线方程为=1或=1,

把点(2,1)代入直线方程得=1或=1,

解得a=3或a=1,∴所求直线的方程为=1或=1,即x+y=3或x-y=1.

15.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A,B两点,若P为AB的中点,则直线l的截距式方程是　　　　. 

答案=1

解析设A(m,0),B(0,n),

由P(1,3)是AB的中点可得m=2,n=6,

即A,B的坐标分别为(2,0),(0,6),

则l的截距式方程是=1.

16.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为　　　　　　　,此直线与两坐标轴围成的三角形面积为　　　　　　. 

答案y=x+1　

解析当直线不过原点时,可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数,且不为0.可设直线方程为=1,因为直线过P(1,2),所以=1,即a=-1,直线方程为y=x+1.

当直线方程为y=x+1时,与x轴的交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,1),

所以三角形面积为×1×1=.

17.过点M(2,1)作直线l,分别交x轴,y轴的正半轴于点A,B.

(1)当M为AB中点时,求直线l的方程;

(2)设O是坐标原点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.

解(1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为=1,

∴M(2,1)为AB中点,

∴=2,=1,

∴a=4,b=2,

则直线l的方程为=1.

(2)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),

则直线l的方程为=1,

又点M(2,1)在直线l上,

∴=1.∵1=≥2,∴ab≥8,当

且仅当,即a=4,b=2时,等号成立,

∴S=ab≥4,

∴直线l的方程为=1.

新情境创新练

18.直线过点P,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:

(1)△AOB的周长为12;

(2)△AOB的面积为6?

若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

解设直线方程为=1(a>0,b>0),

若满足条件(1),则a+b+=12. ①

又∵直线过点P,2,∴=1. ②

由①②可得5a2-32a+48=0,

解得

∴所求直线的方程为=1或=1,

即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.

若满足条件(2),

则ab=12, ③

由题意得=1, ④

由③④整理得a2-6a+8=0,

解得

∴所求直线的方程为=1或=1,

即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.

综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.