高中数学1.1 椭圆及其标准方程练习

第二章圆锥曲线

§1　椭圆

1.1　椭圆及其标准方程

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(　　)

A.(4,10) B.(7,10) 

C.(4,7) D.(4,+∞)

答案B

解析依题意有k-4>10-k>0,解得7<k<10.

2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案D

解析(方法一)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.

(方法二)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),则解得故选D.

3.已知椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k= (　　)

A. B. C.3 D.5

答案D

解析因为椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5.故选D.

4.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为(　　)

A.10 B.12 C.16 D.20

答案D

解析由椭圆=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,

由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D.

5.(多选题)椭圆=1的焦距为4,则m的值可能是(　　)

A.12 B.10 C.6 D.4

答案AD

解析因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,

当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;

当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.

故m=4或12.

6.一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案A

解析∵2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,P是椭圆上的一点,∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a,

∴a=2c.设椭圆方程为=1(a>b>0),则解得a=2,c=,b2=6.

故椭圆的标准方程为=1.

7.过点(,-),且与椭圆=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为　　　　　. 

答案=1

解析椭圆=1的焦点为(0,±4),

设椭圆方程为=1(a>b>0),

则有a2-b2=16, ①

再代入点(,-),得=1, ②

由①②解得a2=20,b2=4.

则所求椭圆的标准方程为=1.

8.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点是F1,F2,P是椭圆的一个动点,如果M是线段F1P的中点,那么动点M的轨迹是　　　　　.(填轨迹的名称) 

答案椭圆

解析由题知|PF1|+|PF2|=2a,

设椭圆方程为=1(其中a>b>0).

连接MO,当P不在x轴上时,由三角形的中位线可得|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|),

当P在x轴上时,|MF1|+|MO|=a(a>|F1O|),

所以M的轨迹为以F1,O为焦点的椭圆.

等级考提升练

9.F1是椭圆=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则|PA|+|PF1|的最小值是(　　)

A.9- B.6- C.3+ D.6+

答案B

解析如图所示,设点F2为椭圆的右焦点,连接F2A并延长交椭圆于点P',连接P'F1,PF2.

∵|PF1|+|PF2|=2a=6,

∴|PF1|=6-|PF2|,

∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|

=6+(|PA|-|PF2|).

根据三角形两边之差小于第三边,当点P位于P'时,|PA|-|PF2|最小,其值为-|AF2|=-,此时|PA|+|PF1|的最小值为6-.

10.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为 (　　)

A.2 B.3 C.6 D.8

答案C

解析由题意,得F(-1,0),设点P(x0,y0),

设=3,

=x0(x0+1)++x0+

=+x0+3(x0+2)2+2,

当x0=2时,取得最大值为6.

11.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(　　)

A.圆 B.双曲线 

C.抛物线 D.椭圆

答案D

解析由题意知,M,F关于CD对称,所以|PF|=|PM|,故|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=R>|FO|,

可知点P的轨迹是椭圆.

12.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案C

解析由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,

∠OF'P=∠OPF',

∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',

∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',

在Rt△PFF'中,由勾股定理,

得|PF'|==8,

由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,

从而a=7,a2=49,

于是b2=a2-c2=49-52=24,

∴椭圆C的方程为=1.

13.已知椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=　　　　　,∠F1PF2的大小为　　　　　. 

答案2　120°

解析由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.

在△PF1F2中,

cos∠F1PF2==-.故∠F1PF2=120°.

14.(2020山东烟台检测)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=　　　　　. 

答案3

解析∵F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且,∴|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,

|PF1||PF2|=9,∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3.

15.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.

解当焦点在x轴上时,设其标准方程为=1(a>b>0),由椭圆过点P(3,0),知=1.

又a=3b,解得b2=1,a2=9,

故椭圆的方程为+y2=1.

当焦点在y轴上时,设其标准方程为=1(a>b>0).

由椭圆过点P(3,0),知=1.

又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为=1.

故椭圆的标准方程为=1或+y2=1.

新情境创新练

16.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,P在椭圆上,且△PF1F2的面积为b2,求cos∠F1PF2的值.

解依题意可得

整理得|PF1|·|PF2|=.

∵△PF1F2的面积为b2,

∴×sin∠F1PF2=b2,

∴1+cos∠F1PF2=sin∠F1PF2.

又∵sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1,

∴cos∠F1PF2=(cos∠F1PF2=-1舍去).

17.如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.

解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,

则|BD|+|CE|=30.

由重心性质可知,

|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20>12.

∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,

∴G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,

∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,

a=10,b2=a2-c2=102-62=64,

故G点的轨迹方程为=1(x≠±10).

设G(x',y'),A(x,y),

则有=1.

由重心坐标公式知

故A点轨迹方程为=1,

即=1(x≠±30).