初中数学苏科版七年级上册4.2 解一元一次方程知识点教学设计

要点1：含字母系数的方程

【要点梳理】

1、含字母系数方程有关概念

当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．

2、常用的思想方法：分类讨论产生的原因→等式的性质②

等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则，．

由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。若在不能确定的情况下，必须进行讨论

3、分类讨论--解含字母系数方程

含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．

⑴当时，，原方程有唯一解；

⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解；

⑶当且时，原方程无解．

【典型例题】

例1、（2019七上·兴化月考）关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=- ；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解.若关于x的方程mx+ = -x有无数解，则m+n的值为（   ）           

A.     B. 1       C. 2      D. 以上答案都不对

【答案】 B  

例2、（2020七上·扬州期末）已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一元二次方程 的解 =________．

【答案】 -1  

例3、（2019七上·江都月考）已知关于 x 的一次方程(3a+8)x+7＝0 无解，则 9a2－3a－64 的值是________   

【答案】 8  

例4、已知关于x的方程3a(x+2)=(2b-1)x+5有无数多个解，求a与b的值．   

【答案】 解：去括号得：3ax+6a=(2b-1)x+5，
移项得：3ax-(2b-1)x=5-6a，
合并同类项得：（3a-2b+1）x=5-6a，
∵方程有无数个解，
∴，
解得：.
∴a=， b=.  

【同步演练】

1、（2019七上·港闸期末）已知关于x的一次方程（3a+4b）x+1＝0无解，则ab的值为（   ）           

A. 正数   B. 非正数   C. 负数   D. 非负数

【答案】 B  

2、（2019七上·镇江期末）已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一元一次方程 的解为 ________.   

【答案】 5  

3、（2019七上·广陵月考）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为1.5，且1.5＝4.5﹣3，则该方程3x＝4.5是“差解方程”.若关于x的一元一次方程2x＝m+2是“差解方程”，则m＝________.   

【答案】 2  

要点2：含绝对值的方程

【要点梳理】

1、解法：我们知道，化简绝对值时，必须要先明确的正负性，当的正负性不能明确的时候，必须要进行讨论，即

解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论，基本方法就是“零点分段法”。

2、方法1：零点分段法

零点分段法的基本步骤：①找绝对值零点 ②零点分段讨论③分段求解方程④检验

3、方法2：绝对值的几何意义

“零点分段法”是解决绝对值方程的基本方法，但有的时候采用“零点分段法”的过程非常繁琐和复杂，所以有些类型的绝对值方程，我们可以采用“绝对值的几何意义”来求

4、方法3：绝对值的非负性

形如型的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围；

②若的取值范围能够确定的正，负情况，则直接去掉绝对值

③若的取值范围不能确定的正，负情况，则将原方程化为两个方程和；

④分别解方程和；

⑤将求得的解代入检验，舍去不合条件的解．

当然解方程还常用到整体代入法

【典型例题】

例1、（2019七上·东台期中）如果（a﹣b）x=︱a﹣b︱的解是x=﹣1,那么（   ）           

A. a=b    B. a>b     C. a<b    D. a≠b

【答案】 C  

例2、适合关系式|x+|+|x﹣|=2的整数解x的个数是（　　）

A. 0个    B. 1个    C. 2个    D. 3个

【答案】 C  

例3、阅读下列解方程的过程，并完成（1）、（2）小题的解答．

解方程：|x﹣1|=2

解：当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程可化为：﹣（x﹣1）=2，解得x=﹣1；当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程可化为：x﹣1=2，解得x=3；

综上所述，方程|x﹣1|=2的解为x=﹣1或x=3．

（1）解方程：|2x+3|=8．

（2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1．

【答案】 解：（1）当x＜﹣时，原方程等价于2x+3=﹣8，解得x=﹣；

当x≥﹣时，原方程等价于2x+3=8，解得x=；

综上所述，方程|2x+3|=8的解为x=﹣或x=．

（2）当x＜﹣时，原方程等价于﹣x﹣4=1，解得x=﹣5；

当﹣≤x＜1时，原方程等价于3x+2=1，解得x=﹣；

当x≥1时，原方程等价于x+4=1，解得x=﹣3，（不符合题意，舍）；

综上所述，方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1的解为x=﹣5或x=﹣．

例4、（1）阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．

当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是________ ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　3　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是________ ；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是________ ，如果|AB|=2，那么x为________ ；

③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是________ ．

④当x=________  时，|x+1|+|x﹣2|=5．

【答案】 3；4；|x+1|；±2；﹣1≤x≤2　；3或﹣2　  

【同步演练】

1、方程的解是（　　）

A. x=1或x=-  B. x=﹣1或x=-  C. x=﹣1或x=  D. x=1或x=

【答案】 A  

2、阅读下面的解题过程：

解方程：|x+3|=2．

解：当x+3≥0时，原方程可化成为x+3=2

解得x=﹣1，经检验x=﹣1是方程的解；

当x+3＜0，原方程可化为，﹣（x+3）=2

解得x=﹣5，经检验x=﹣5是方程的解．

所以原方程的解是x=﹣1，x=﹣5．

解答下面的两个问题：

（1）解方程：|3x﹣2|﹣4=0；

（2）探究：当值a为何值时，方程|x﹣2|=a，

①无解；②只有一个解；③有两个解．

【答案】 解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为3x﹣2=4，

解得x=2，经检验x=2是方程的解；

当3x﹣2＜0时，原方程可化为﹣（3x﹣2）=4，

解得x=﹣， 经检验x=﹣是方程的解；

所以原方程的解是x=2，x=﹣．

（2）因为|x﹣2|≥0，

所以，当a＜0时，方程无解；

当a=0时，方程只有一个解；

当a＞0时，方程有两个解．

3、（1）若|x+5|=2，则x=________；   

（2）代数式|x﹣1|+|x+3|的最小值为________，当取此最小值时，x的取值范围是______；   

（3）解方程：|2x+4|﹣|x﹣3|=9．   

【答案】 （1）﹣3或﹣7
（2）4；﹣3≤x≤1
（3）解：当x≤﹣2时，原方程可化为：﹣2x﹣4+x﹣3=9，

解得：x=﹣16，

当x≥3时，原方程可化为：2x+4﹣x+3=9，

解得：x=2

与x≥3不符；

当﹣2＜x＜3时，原方程可化为：2x+4+x﹣3=9，

解得：x= ．

综上所述，方程的解为：x=﹣16或x=

【课后巩固】

1、（2018七上·宿迁期末）| x－2 |＋3＝4，下列说法正确的是(  )           

A. 解为3   B. 解为1   C. 其解为1或3   D. 以上答案都不对

【答案】 C  

2、方程|2x﹣4|=0的解是（　　）

A. 2     B. ﹣2   C. ±2    D. 

【答案】 A  

3、方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（　　）

A. 2     B. 3    C. 4      D. 无数个

【答案】 D  

4、关于x的方程mx+1=2（m﹣x）的解满足|x+2|=0，则m的值为（　　）

A.       B. -       C.        D. -

【答案】 D  

5、有下列结论：

①若a+b+c=0，则abc≠0；

②若a（x﹣1）=b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b；

③若b=2a，则关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣；

④若a+b+c=1，且a≠0，则x=1一定是方程ax+b+c=1的解；

其中结论正确的个数有（　　）

A. 4个    B. 3个    C. 2个   D. 1个

【答案】 C  

6、（2020七上·高新期中）a、b、c、d为互不相等的有理数，且c=2，|a−c|=|b−c|=|d−b|=1，则a+b+c+d=________.   

【答案】 6或10  

7、（2019七上·兴化月考）若关于x的一元一次方程  的解为 ，则关于y的一元一次方程 的解为y= ________.   

【答案】 -3  

8、（2019七上·海安期中）已知 ，则 的值为________   

【答案】 1或2  

9、一列方程如下排列： 

 =1的解是x=2，

 + =1的解是x=3，

 + =1的解是x=﹣4，

…

根据观察得到的规律，写出其中解是x=6的方程：________．

【答案】 + =1  

10、（2019七上·扬州月考）已知方程 是关于 的一元一次方程.   

（1）求 和 的值.   

（2）若 满足关系式 ，求 的值.   

【答案】 （1）解：根据一元一次方程的定义:3m-4=0,  .  

代入方程:-x-4× =-2× ,解得:x=
（2）解：将 代入得: 

解得:  或 .

11、阅读理解：

在解形如3|x﹣2|=|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论：

①当x＜2时，原方程可化为﹣3（x﹣2）=﹣（x﹣2）+4，解得：x=0，符合x＜2

②当x≥2时，原方程可化为3（x﹣2）=（x﹣2）+4，解得：x=4，符合x≥2

∴原方程的解为：x=0，x=4．

解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和x≥2两种情况讨论．

知识迁移：

（1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8=3|x﹣3|；

知识应用：

（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2﹣x|﹣3|x+1|=x﹣9．

提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？

【答案】 （1）解：移项得|x﹣3|﹣3|x﹣3|=﹣8，

合并得﹣2|x﹣3|=﹣8，

两边除以﹣2得|x﹣3|=4，

所以x﹣3=±4，

∴x=﹣1或7
（2）解：

当x≤﹣1，原方程可化为2﹣x+3（x+1）=x﹣9，解得x=﹣14，符合x≤﹣1；

当﹣1＜x≤2，原方程可化为2﹣x﹣3（x+1）=x﹣9，解得x=， 符合﹣1＜x≤2；

当x＞2，原方程可化为﹣2+x+3（x+1）=x﹣9，解得x=​，不符合x＞2；

∴原方程的解为x=﹣14或x=．

12、阅读下列解方程的过程，并完成（1）、（2）小题的解答．

解方程：|x﹣1|=2

解：当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程可化为：﹣（x﹣1）=2，解得x=﹣1；当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程可化为：x﹣1=2，解得x=3；

综上所述，方程|x﹣1|=2的解为x=﹣1或x=3．

（1）解方程：|2x+3|=8

（2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1．

【答案】 （1）解：当x＜﹣时，原方程等价于2x+3=﹣8，解得x=﹣；

当x≥﹣时，原方程等价于2x+3=8，解得x=；

综上所述，方程|2x+3|=8的解为x=﹣或x=．
（2）当x＜﹣时，原方程等价于﹣x﹣4=1，解得x=﹣5；

当﹣≤x＜1时，原方程等价于3x+2=1，解得x=﹣；

当x≥1时，原方程等价于x+4=1，解得x=﹣3，（不符合题意，舍）；

综上所述，方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1的解为x=﹣5或x=﹣​．