2020-2021学年内蒙古自治区呼伦贝尔市高一（下）期中考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年内蒙古自治区呼伦贝尔市高一（下）期中考试数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列命题中错误的是（ ）
A.不共线的三点确定一个平面
B.垂直于同一直线的两条直线平行
C.若直线l与平面α上的任意一条直线都垂直，则直线l⊥α
D.若a，b，c是三条直线， a//b且与c都相交，则直线a，b，c共面．

2. 如图所示，用符号语言可表达为（ ）

A.α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
B.α∩β=m，n⊂α，m∩n=A
C.α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n
D.α∩β=m，n∈α，m∩n=A

3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的个数( )
①若m⊥α，α⊥β，则m // β ；
②若m⊥α，α // β，n⊂β，则m⊥n；
③若m⊂α，n⊂β，m // n，则α // β；
④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α.
A.0B.1C.2D.3

4. 已知a//α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（ ）
A.平行B.异面C.平行或异面D.相交或异面

5. 已知A6,8,B2,4,C3,y三点共线，则y的值为（ ）
A.4B.5C.6D.7

6. 直线x+3y−1=0的倾斜角α=( )
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

7. 如图，记直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则下列结论正确的是( )

A.k1>k2，α1>a2B.k1a2C.k1k2，α1<α2

8. 如图，空间四边形ABCD的对角线AC=16，BD=12，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90∘，则MN等于( )

A.5B.6C.8D.10

9. 设A1,2，B3,1，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.4x−2y=1B.4x+2y=1C.4x−2y=5D.x+2y=5

10. 过点1,2，并且在两轴上的截距相等的直线方程是( )
A.2x−y=0或x−y+3=0B.x+y−3=0
C.2x−y=0或x+y−3=0D.x−y+3=0

11. 已知两平行直线的斜率是方程2x2−4x+m−1=0的两实根，则m的值为（ ）
A.3B.1C.−1D.−3

12. 已知m，n，a，b∈R ，且满足3m+4n=−4，3a+4b=1，则m−a2+n−b2的最小值为（ ）
A.3B.2C.1D.12
二、填空题

已知平面直角坐标系xOy中，点A3,1，点B0,4，直线l:y=3x−1，则直线AB与直线l的交点坐标为________.

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为________.

已知△ABC中，点A(1, 1)，B(4, 2)，C(−4, 6)，则△ABC的面积为________．

如图，边长为a的正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使点D在平面ABC外，若BD=a，则三棱锥D−ABC的体积是________.

三、解答题

已知直线l1：x+y+2=0；l2：mx+2y+n=0．
(1)若l1⊥l2，求m的值；

(2)若l1//l2，且他们的距离为2，求m，n的值．

已知直线l的倾斜角是直线y=−3x+1的倾斜角的12，且l过点P(3,−1).
(1)求l的方程；

(2)若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为2，求直线m的方程.

正方体ABCD−A1B1C1D1，E为棱CC1的中点，AC与BD交于点O．

(1)求证： AD1//平面DOC1；

(2)求证：B1D1⊥AE.

如图，已知四棱锥S−ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形， ∠ABC=60∘，侧面SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面ABCD，M为侧棱SB的中点，E为线段AD的中点．

(1)求证： SD//平面MAC；

(2)求证：SE⊥AC；

3求三棱锥M−ABC的体积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年内蒙古自治区呼伦贝尔市高一（下）期中考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据题意，分析命题，根据平面与直线平行的理论，分析推理即可得到答案.
【解答】
解：不共线的三点确定一个平面，A正确；
垂直于同一条直线的两直线可能平行，可能相交，可能异面，故B错误；
根据线面垂直的定义可得，C正确；
由a//b可得a，b共面，a与c相交，则a与c共面，即a，b，c共面，故D正确.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
空间点、线、面的位置
平面的基本性质及推论
【解析】
根据点与直线及点与平面的位置关系可以看成是元素与集合的关系，将图形语言转化为符号语言和图形对应即可.
【解答】
解：由图可得：α∩β=m，n⊂α，m∩n=A.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据空间线面位置关系的判定定理或性质进行判断或举反例说明．
【解答】
解：①当m⊂β时，显然结论不成立．故①错误；
②∵ m⊥α，α // β，∴ m⊥β，又n⊂β，∴ m⊥n．故②正确；
③当α与β相交时，设交线为l，则当m // l，n // l时，有m // n，但α，β不平行，故③错误；
④∵ n⊥β，m⊥β，∴ m // n，
又n⊥α，∴ m⊥α．故④正确．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据直线与直线的位置关系，即可得出答案.
【解答】
解：a//α，b⊂α，
则a与b可能异面，可能平行.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
三点共线
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
由题意可得AB→//AC→，再利用两个向量共线的性质，求得y的值．
【解答】
解：已知 A6,8， B2,4， C3,y，
∴ AB→=−4,−4， AC→=−3,y−8，
∵ AB→//AC→，
∴ −3−4=y−8−4，求得y=5.
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
求出直线的斜率，然后求解在的倾斜角即可．
【解答】
解：直线x+3y−1=0，
该直线的斜率为：−33．
设直线的倾斜角为α，
则tanα=−33，
∴ α=150∘．
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】
结合图象求出k1>k2以及α1<α2即可．
【解答】
解：结合图象：k1>0，k2<0，故k1>k2，
α1是锐角，α2是钝角，故α1<α2．
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
取AD的中点P，连接PM，PN，△PMN中求MN的长度．
【解答】
解：如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则PM//BD，PN//AC，
∵∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角)．
∴∠MPN=90∘，又PN=12AC=8，
PM=12BD=6，
∴MN=PM2+PN2=62+82=10．
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
直线的点斜式方程
【解析】
先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．
【解答】
解：线段AB的中点为2,32，
kAB=1−23−1=−12，
∴ 线段AB垂直平分线的斜率k=−1kAB=2，
∴ 线段AB的垂直平分线的方程是
y−32=2x−2，
即4x−2y=5．
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
分直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，将点的坐标代入即可求解．
【解答】
解：当直线过原点时，方程为：y=2x ，即2x−y=0；
当直线不过原点时，设直线的方程为：xa+yb=1且a=b，
把点A1,2代入直线的方程可得a=b=3 ，故直线方程是x+y−3=0．
综上可得所求的直线方程为：2x−y=0或x+y−3=0．
故选C．
11.
【答案】
A
【考点】
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
由题意得， 2x2−4x+m−1=0有两相等实根，然后结合二次方程根的存在条件即可求解．
【解答】
解：由题意得， 2x2−4x+m−1=0有两相等实根，
所以16−8m−1=0，
解得， m=3.
故选A．
12.
【答案】
C
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
将问题转化为求两平行线间的距离，利用公式直接计算得答案．
【解答】
解：此题可理解为点Am,n与点Ba,b分别在直线l1:3x+4y=−4与直线l2：3x+4y=1上，求A，B两点间的距离的最小值，
根据直线方程可知l1//l2，
∴ |AB|min=|−4−1|32+42=1.
故选C．
二、填空题
【答案】
54,114
【考点】
两条直线的交点坐标
直线的一般式方程
【解析】
先利用两点式方程求出直线AB的方程，再联立方程组能求出两直线的交点坐标．
【解答】
解：平面直角坐标系xOy中，点A3,1，点B0,4 ，直线l:y=3x−1，
直线AB的方程为： x−0y−4=3−01−4 ，整理得： x+y−4=0，
联立y=3x−1,x+y−4=0.
得x=54,y=114,
∴ 直线AB与直线l的交点坐标为54,114.
故答案为：54,114.
【答案】
23
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
找到直线与平面所成的角即可求解.
【解答】
解：取AA1的中点M．连接EM，BM．
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM//AD．
又在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的投影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2,BE=22+22+12=3，
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM=EMBE=23,
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.
故答案为：23.
【答案】
10
【考点】
点到直线的距离公式
两点间的距离公式
直线的两点式方程
【解析】
由两点式的直线BC的方程，再根据点点到直线的距离求出BC边上的高d，再根据两点之间的距离公式求出BC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：由两点式的直线BC的方程为y−26−2=x−4−4−4，即为x+2y−8=0，
由点A到直线的距离公式得BC边上的高d=|1+2−8|5=5，
BC两点之间的距离为(6−2)2+(−4−4)2=45，
∴ △ABC的面积为12×45×5=10.
故答案为：10.
【答案】
212a3
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
取AC的中点E，连接BE、DE，由正方形的性质可以求得其对角线长度是2a，折起后的图形中，DE=BE=22a
，又知BD=a，由此三角形BDE三边已知，求出∠BED，解出三角形BDE的面积，可求得三棱锥D−ABC的体积．
【解答】
解：如图取AC的中点E，连接BE，DE，
由题意知DE=BE=22a，BD=a，
由勾股定理可证得∠BED=90∘，
故△BDE面积是14a2.
又正方形的对角线互相垂直，且翻折后，AC与DE，BE仍然垂直，
故AE，CE分别是以面BDE为底的两个三棱锥的高，
故三棱锥D−ABC的体积为13×2a×14a2=212a3.
故答案为：212a3.
三、解答题
【答案】
解：(1)l1的斜率为k1=−1，
∵ l1⊥l2，
∴ 直线l2的斜率为k2=−m2=1，
∴ m=−2.
(2)∵ l1//l2，
∴ m1=21，m=2（n≠4时两直线平行），
l2的方程化为x+y+n2=0，
∴ 两平行间的距离为d=2−n22=2 ，
解得n=0或8．
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
两条平行直线间的距离
【解析】
无

【解答】
解：(1)l1的斜率为k1=−1，
∵ l1⊥l2，
∴ 直线l2的斜率为k2=−m2=1，
∴ m=−2.
(2)∵ l1//l2，
∴ m1=21，m=2（n≠4时两直线平行），
l2的方程化为x+y+n2=0，
∴ 两平行间的距离为d=2−n22=2 ，
解得n=0或8．
【答案】
解：(1)直线的方程为y=−3x+1,
k=−3，倾斜角α=120∘.
由题知所求直线的倾斜角为60∘，即斜率为3.
直线l经过点3,−1，
所以所求直线l方程为y+1=3x−3,
即3x−y−4=0.
(2)直线m与l平行，
可设直线m的方程为3x−y+c=0，
则|3×3+1+c|32+(−1)2=2，
即|4+c|=4，
解得c=0或c=−8，
所以所求直线m的方程为3x−y=0或3x−y−8=0.
【考点】
直线的倾斜角
直线的点斜式方程
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
点到直线的距离公式
【解析】
（1）先求得直线y=−3x+1的倾斜角，由此求得直线】的倾斜角和斜率，进而求得直线！的方程．
（2）设出直线m的方程，根据点P到直线m的距离列方程，由此求解出直线m的方程．
【解答】
解：(1)直线的方程为y=−3x+1,
k=−3，倾斜角α=120∘.
由题知所求直线的倾斜角为60∘，即斜率为3.
直线l经过点3,−1，
所以所求直线l方程为y+1=3x−3,
即3x−y−4=0.
(2)直线m与l平行，
可设直线m的方程为3x−y+c=0，
则|3×3+1+c|32+(−1)2=2，
即|4+c|=4，
解得c=0或c=−8，
所以所求直线m的方程为3x−y=0或3x−y−8=0.
【答案】
证明：(1)连结AD1，DC1，BC1，如图，
∵ AB//D1C1，且AB=D1C1，
∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，
∴ AD1//BC1，
∵ BC1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1，
∴ AD1//平面DOC1．
(2)连结A1C1，如图，
则B1D1⊥A1C1，
∵ CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，
∴ CC1⊥B1D1，
又∵ CC1∩A1C1=C1，
∴ B1D1⊥平面ACC1A1，
∵ AE⊂平面ACC1A1，
∴ B1D1⊥AE．
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
【解析】
无
无
【解答】
证明：(1)连结AD1，DC1，BC1，如图，
∵ AB//D1C1，且AB=D1C1，
∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，
∴ AD1//BC1，
∵ BC1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1，
∴ AD1//平面DOC1．
(2)连结A1C1，如图，
则B1D1⊥A1C1，
∵ CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，
∴ CC1⊥B1D1，
又∵ CC1∩A1C1=C1，
∴ B1D1⊥平面ACC1A1，
∵ AE⊂平面ACC1A1，
∴ B1D1⊥AE．
【答案】
1证明：连接BD，交AC于点O，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴O为BD中点，
又M为SB中点，
∴MO//SD，
∵ MO⊂平面MAC，SD⊄平面MAC，
∴SD//平面MAC.
(2)证明：∵ △SAD为正三角形，
E为AD中点，
∴SE⊥AD，
∵ 平面SAD⊥平面ABCD，
平面SAD∩平面ABCD=AD，
SE⊂平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，
∴SE⊥AC．
(3)解：∵ M为SB中点，
∴VM−ABC=12VM−ABCD=14VS−ABCD
=14×13SABCD⋅SE，
又AB=BC=AD=CD=SA=SD=2，
∠ABC=60∘，
∴AC=2，
SABCD=2S△ABC=2×12×2×2sin60∘=23，
由(2)知，SE⊥AD，
∴SE=3，
∴VM−ABC=14×13×23×3=12．
【考点】
直线与平面平行的判定
两条直线垂直的判定
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】



【解答】
1证明：连接BD，交AC于点O，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴O为BD中点，
又M为SB中点，
∴MO//SD，
∵ MO⊂平面MAC，SD⊄平面MAC，
∴SD//平面MAC.
(2)证明：∵ △SAD为正三角形，
E为AD中点，
∴SE⊥AD，
∵ 平面SAD⊥平面ABCD，
平面SAD∩平面ABCD=AD，
SE⊂平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，
∴SE⊥AC．
(3)解：∵ M为SB中点，
∴VM−ABC=12VM−ABCD=14VS−ABCD
=14×13SABCD⋅SE，
又AB=BC=AD=CD=SA=SD=2，
∠ABC=60∘，
∴AC=2，
SABCD=2S△ABC=2×12×2×2sin60∘=23，
由(2)知，SE⊥AD，
∴SE=3，
∴VM−ABC=14×13×23×3=12．