2020-2021学年四川省江油市高一（下）期中考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省江油市高一（下）期中考试数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 等差数列{an}中，若a2=3，a4=7，则a6=( )
A.11B.7C.3D.2

2. 在△ABC中，已知AC=3，BC=4，∠C=30∘，则△ABC的面积为( )
A.1B.2C.3D.4

3. 如图所示，在△ABC中， AM→=MB→，则CB→=( )

A.2CM→+CA→B.CM→+2CA→C.CM→−2CA→D.2CM→−CA→

4. 如图，设A，B两点在涪江河的两岸，一测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为100m，∠ACB=30∘，∠CAB=105∘后，就可以计算出A，B两点的距离为( )

A.252 mB.502 mC.1002 mD.1003 m

5. 已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=3，向量a→与b→的夹角为60∘，则|a→−b→|=( )
A.19B.7C.19D.7

6. 《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气，其日影长依次成等差数列，小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺，前十个节气日影长之和为90尺，则清明日影长为( )
A.4.5尺B.5.5尺C.6.5尺D.7.5尺

7. 设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsC+ccsB=asinA，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

8. 已知等差数列{an}中，S10=120，那么a2+a9等于( )
A.12B.24C.36D.48

9. 在等腰△ABC中， ∠BAC=120∘，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，向量BD→在BA→上的投影向量为( )
A.32BA→B.32BA→C.34BA→D.34BA→

10. 在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+1n)，则a10=( )
A.2+ln10B.2+9ln10C.2+10ln10D.11+ln10

11. 已知O是△ABC内部一点， OA→+2OB→+OC→=0→，BA→⋅BC→=4且∠ABC=π6，则△OAC的面积为( )
A.33B.23C.233D.43

12. 如图，∠BAC=2π3，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP→=xAD→+yAE→(x，y∈R)，则x+y的取值范围是( )

A.[1,4+23]B.[4−23,4+23]C.[1,2+3]D.[2−3,2+3]
二、填空题

已知向量a→=(−4, x)，b→=(1, 2)，若a→⊥b→，则x=________．

若实数列−13，a1，a2，−9成等比数列，则a2的值为________.

△ABC中，a，b，c成等差数列，∠B=30∘，S△ABC=32，那么b=________.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，A=π3，OB→⋅OC→=−32，则△ABC周长的取值范围是________.
三、解答题

已知向量a→=(4, 3)，b→=(−1, 2)．
(1)求a→与b→的夹角的余弦值；

(2)若向量a→−λb→与2a→+b→平行，求λ的值．

已知等比数列an中， a1=3，a4=24．
(1)求数列an的通项公式；

(2)设等差数列bn中， b2=a2，b9=a5，求数列bn的前n项和Sn．

如图，在平面四边形ABCD中，∠D=23π，CD=6，△ACD的面积为332．

(1)求AC的长；

(2)若AB⊥AD，∠B=π4，求BC的长．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccs B与bcsC的等差中项为2acsA．
(1)求cs A的值；

(2)若△ABC的面积是14，求AB→⋅CA→的值．

已知数列an的前n项和为Sn，且满足2an−Sn=1n∈N∗.
(1)求数列an的通项公式；

(2)设bn=lg21+Sn，求数列1bnbn+1的前n项和Tn

在△ABC中，2B=A+C，且c=2a.
(1)求角A，B，C的大小；

(2)设数列{an}满足an=2n|cs(nC)|，其前n项和为Sn，若Sn=20，求n的值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省江油市高一（下）期中考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】
解：设等差数列an的公差为d，
∵a2=3，a4=7，
∴a1+d=3，a1+3d=7，
联立解得a1=1，d=2，
则a6=1+5×2=11.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
正弦定理的应用
【解析】
直接利用面积公式，即可得出答案.
【解答】
解：由题意，得S△ABC=12⋅AC⋅BC⋅sinC
=12×3×4×12=3.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
利用线性运算，即可得出答案.
【解答】
解：∵ AM→=MB→，
∴ M是AB的中点，
∴ CM→=12CA→+CB→，
∴ CB→=2CM→−CA→.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
正弦定理的应用
【解析】
根据题意求得∠CBA，利用正弦定理求得AB．
【解答】
解：∠CBA=180∘−30∘−105∘=45∘，
由正弦定理知ACsin∠CBA=ABsin∠ACB，
∴ AB=AC⋅sin∠ACBsin∠CBA=100×1222=502m，
即A，B两点的距离为502m．
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
根据平面向量的数量积与模长公式，即可求出|a→−b→|的值．
【解答】
解：向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=3，
向量a→与b→的夹角为60∘，
∴ (a→−b→)2=a→2−2a→⋅b→+b→2
=22−2×2×3×cs60∘+32=7,
∴ |a→−b→|=7．
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．
【解答】
解：设各节气日影长依次成等差数列{an}，Sn是其前n项和.
由题意，得a2+a6+a11=24.5，S10=90，
即3a1+16d=24.5，10a1+10×92d=90，
解得a1=13.5，d=−1，
∴ 清明日影长=a8=13.5−1×7=6.5.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
由条件利用正弦定理可得 sinBcsC+sinCcsB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=π2，由此可得△ABC的形状．
【解答】
解：△ABC的内角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，
∵ bcsC+ccsB=asinA，
则由正弦定理可得：
sinBcsC+sinCcsB=sinAsinA，
即 sin(B+C)=sinAsinA，
可得sinA=1，故A=π2，
故三角形为直角三角形.
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的前n项和公式化简已知的等式，得到2a1+9d的值，然后利用等差数列的通项公式化简所求的式子，将2a1+9d的值代入即可求出值．
【解答】
解：∵ S10=10a1+45d=120，
即2a1+9d=24，
∴ a2+a9=(a1+d)+(a1+8d)=2a1+9d=24．
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
向量在几何中的应用
余弦定理的应用
向量的投影
【解析】
画出图形，由题意得到向量BD→在BA→上的投影为BE→，进而求解即可.
【解答】
解：设AB=AC=1，
由余弦定理可知，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs120∘
=1+1+1=3，
∴ BC=3，
∴ ∠ABC=30∘.
∵ AD平分∠BAC且与BC相交于点D，△ABC是等腰三角形，
∴ D是BC的中点，
∴ BD=32，
如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
则向量BD→在BA→上的投影为BE→，
则|BE→|=|BD→|cs30∘=34，
∴ |BE→|=34|BA→|，
∴ BE→=34BA→，
即向量BD→在BA→上的投影向量为34BA→.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
数列递推式
【解析】
利用已知条件通过an＝a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(an−an−1)求出数列的通项公式，然后求解即可．
【解答】
解：在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+1n)，
∴ an+1−an=ln(n+1n)，
∴ an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(an−an−1)
=2+ln2+ln32+⋯+lnnn−1
=2+ln(2×32×⋯×nn−1)=2+lnn，
故a10=2+ln10．
故选A.
11.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
三角形的面积公式
【解析】
根据BA→⋅BC→=4，∠ABC=π6，得到|BA→⋅|BC→|=833，进而求出△ABC的面积，结合OA→+2OB→+OC→=0→，得到O为BD的中点，所以△OAC的面积为12S△ABC=33.
【解答】
解：∵ BA→⋅BC→=4，∠ABC=π6，
∴ |BA→⋅|BC→|=833，
∴ △ABC的面积为 12BA→⋅BC→×12=233 ，
∵ OA→+2OB→+OC→=0→，
∴ 点O在AC边的中线BD上，且O为BD的中点，
∴ △OAC的面积为12S△ABC=33.
故选A．
12.
【答案】
B
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
连接MA，MD，求出圆M的半径MD和MA，得出AP的最值，根据等边三角形的性质即可得出x+y的最值．
【解答】
解：如图，连接MA，MD，则∠MAD=π3，MD⊥AD.
∵ AD=1，
∴ MD=3，MA=2，
∵ 点P是圆M及其内部任意一点，
∴ 2−3≤AP≤2+3，
当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，
当AP取得最大值时，以AP为对角线，以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA1PB1，
则△APB1和△APA1是等边三角形，
∴ AB1=AA1=AP=2+3，
∴ x=y=2+3，
∴ x+y的最大值为4+23，
同理可求出x+y的最小值为4−23．
故选B．
二、填空题
【答案】
2
【考点】
平面向量的坐标运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
根据题意，分析可得若a→⊥b→，则有a→⋅b→=0，由向量a→、b→的坐标，结合向量的数量积坐标计算公式可得a→⋅b→=−4+2x＝0，解可得x的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a→=(−4, x)，b→=(1, 2)，
由a→⊥b→，得a→⋅b→=0，
即a→⋅b→=−4+2x=0，
解得x=2.
故答案为：2.
【答案】
−3
【考点】
等比数列的性质
【解析】
利用等比数列的性质，即可得出答案.
【解答】
解：由题意，得a1⋅a2=−13×−9,−9a1=a22,
解得a2=−3.
故答案为：−3.
【答案】
3+1
【考点】
三角形的面积公式
等差数列的性质
余弦定理
【解析】
由三边成等差数列得2b＝a+c，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac＝6，用余弦定理写出b2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b2方程，解出变量开方即得．
【解答】
解：∵ a，b，c成等差数列，
∴ 2b=a+c，
∴ 4b2=a2+c2+2ac.①
∵ S△ABC=12acsinB=32，
∴ ac=6.②
∵ b2=a2+c2−2accsB，③
由①②③得b2=4+23，
∴ b=3+1.
故答案为：3+1.
【答案】
(6.9]
【考点】
正弦定理
平面向量数量积
正弦函数的定义域和值域
【解析】
由2.A=∠BOC=2π3可得R=3，再利用正弦定理将a+b+c转化成角B的三角函数，利用三角函数的性质，即可得答案
【解答】
解：设△ABC的外接圆半径为R，A=π3，
则2∠A=∠BOC=2π3，
又OB→⋅OC→=R2cs∠BOC=−32，解得R=3，
由正弦定理，得a+b+c=23sinA+sinB+sinC
=23sinB+sin2π3−B+3
=6sinB+π6+3，
又B∈0,2π3，则B+π6∈π6,5π6，
则a+b+c∈6,9，
即△ABC周长的取值范围是(6,9].
故答案为：(6,9].
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a→=(4, 3)，b→=(−1, 2)，
∴ a→⋅b→=4×(−1)+3×2=2，|a→|=42+32=5，
|b→|=(−1)2+22=5，
∴ cs=a→⋅b→|a→||b→|=255=2525．
(2)∵ a→=(4, 3)，b→=(−1, 2)，
∴ a→−λb→=(4+λ, 3−2λ)，2a→+b→=(7, 8)，
∵ a→−λb→与2a→+b→平行，
∴ 4+λ7=3−2λ8，
解得λ=−12．
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
平行向量的性质
【解析】
（1）本题考察的是两向量的夹角的余弦值，一般我们采用向量的数量积公式进行求解．根据题目中所给条件可以求出a与b的数量积，然后通过模长公式分别求出a与b的模长，最后把求出的量代入数量积公式即可求得α与b的夹角的余弦值．
（2）本题考察的是两向量的平行（共线）问题，根据平行向量基本定理，把相应的数值代入公式，即可求出所求参数的值．
【解答】
解：(1)∵ a→=(4, 3)，b→=(−1, 2)，
∴ a→⋅b→=4×(−1)+3×2=2，|a→|=42+32=5，
|b→|=(−1)2+22=5，
∴ cs=a→⋅b→|a→||b→|=255=2525．
(2)∵ a→=(4, 3)，b→=(−1, 2)，
∴ a→−λb→=(4+λ, 3−2λ)，2a→+b→=(7, 8)，
∵ a→−λb→与2a→+b→平行，
∴ 4+λ7=3−2λ8，
解得λ=−12．
【答案】
解：(1)设等比数列的公比为q.
由a1=3，a4=24得24=3q3，
解得q=2，
∴ an=a1⋅qn−1=3⋅2n−1．
(2)由(1)可知，an=3⋅2n−1，
则a2=6，a5=48，
∴ b2=6，b9=48，
设等差数列bn的公差为d，
则b1+d=6,b1+8d=48,
解得b1=0,d=6,
∴ Sn=nb1+nn−12d=3n2−3n．
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
本题考查的是等差数列与等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式，属于基础题．
【解答】
解：(1)设等比数列的公比为q.
由a1=3，a4=24得24=3q3，
解得q=2，
∴ an=a1⋅qn−1=3⋅2n−1．
(2)由(1)可知，an=3⋅2n−1，
则a2=6，a5=48，
∴ b2=6，b9=48，
设等差数列bn的公差为d，
则b1+d=6,b1+8d=48,
解得b1=0,d=6,
∴ Sn=nb1+nn−12d=3n2−3n．
【答案】
解：(1)∵ ∠D=23π，CD=6，△ACD的面积为332，
∴ S△ACD=12AD⋅CD⋅sinD
=12×AD×6×32=332，
解得AD=6，
由余弦定理，得AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅csD
=6+6−2×6×−12=18，
∴ AC=32．
(2)由(1)知△ACD中，AD=6，CD=6，∠D=23π，
∴ ∠DAC=π6，
∵ AB⊥AD，
∴ ∠BAC=π3，
又∵ ∠B=π4，AC=32，
∴ 在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠BAC=ACsinB，
即 BC32=3222 ，
解得BC=33.
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
正弦定理
【解析】
本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
【解答】
解：(1)∵ ∠D=23π，CD=6，△ACD的面积为332，
∴ S△ACD=12AD⋅CD⋅sinD
=12×AD×6×32=332，
解得AD=6，
由余弦定理，得AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅csD
=6+6−2×6×−12=18，
∴ AC=32．
(2)由(1)知△ACD中，AD=6，CD=6，∠D=23π，
∴ ∠DAC=π6，
∵ AB⊥AD，
∴ ∠BAC=π3，
又∵ ∠B=π4，AC=32，
∴ 在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠BAC=ACsinB，
即 BC32=3222 ，
解得BC=33.
【答案】
解：(1)∵ 2acsA是ccsB与bcsC的等差中项，
∴ 22acsA=ccsB+bcsC，
由正弦定理，得22csAsinA=sinCcsB+csCsinB
=sinC+B=sinA，
解得csA=24．
(2)由(1)可知，csA=24，则sinA=144，
由题意，得S=12bcsinA=14，解得bc=8，
∴ AB→⋅CA→=−bccsA=−22．
【考点】
正弦定理
等差中项
平面向量数量积
【解析】
本题考查了正弦定理，面积公式，向量的数量积，意在考查学生的计算能力和综合应用能力．
【解答】
解：(1)∵ 2acsA是ccsB与bcsC的等差中项，
∴ 22acsA=ccsB+bcsC，
由正弦定理，得22csAsinA=sinCcsB+csCsinB
=sinC+B=sinA，
解得csA=24．
(2)由(1)可知，csA=24，则sinA=144，
由题意，得S=12bcsinA=14，解得bc=8，
∴ AB→⋅CA→=−bccsA=−22．
【答案】
解：(1)2an−Sn=1，
令n=1，解得a1=1，
n≥2，2an−1−Sn−1=1，
两式相减，得an=2an−1，
即{an}是以a1=1为首项，q=2为公比的等比数列，
∴an=2n−1．
(2)∵2an−Sn=1，an=2n−1，
∴bn=lg2(1+Sn)=lg22n=n，
∴Tn=11×2+12×3+⋯+1n(n+1)
=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)2an−Sn=1，
令n=1，解得a1=1，
n≥2，2an−1−Sn−1=1，
两式相减，得an=2an−1，
即{an}是以a1=1为首项，q=2为公比的等比数列，
∴an=2n−1．
(2)∵2an−Sn=1，an=2n−1，
∴bn=lg2(1+Sn)=lg22n=n，
∴Tn=11×2+12×3+⋯+1n(n+1)
=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
【答案】
解：(1)由已知2B=A+C，又A+B+C=π，
所以B=π3.
又c=2a，
所以b2=a2+c2−2accsB
=a2+4a2−2a⋅2acsπ3=3a2，
所以c2=a2+b2，
所以△ABC为直角三角形，C=π2，
所以A=π2−π3=π6.
(2)由题意知an=2n|cs(nC)|=2ncsnπ2
=0,n为奇数,2n,n为偶数.
由题意可知Sn=S2k+1=S2k=0+22+0+24+⋯+0+22k
=41−22k1−4=22k+2−43，k∈N∗，
由22k+2−43=20，得22k+2=64，
所以2k+2=6，解得k=2，
所以n=4或n=5.
【考点】
余弦定理
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知2B=A+C，又A+B+C=π，
所以B=π3.
又c=2a，
所以b2=a2+c2−2accsB
=a2+4a2−2a⋅2acsπ3=3a2，
所以c2=a2+b2，
所以△ABC为直角三角形，C=π2，
所以A=π2−π3=π6.
(2)由题意知an=2n|cs(nC)|=2ncsnπ2
=0,n为奇数,2n,n为偶数.
由题意可知Sn=S2k+1=S2k=0+22+0+24+⋯+0+22k
=41−22k1−4=22k+2−43，k∈N∗，
由22k+2−43=20，得22k+2=64，
所以2k+2=6，解得k=2，
所以n=4或n=5.