2020-2021学年甘肃省天水高二（下）期中考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水高二（下）期中考试数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 函数fx=x⋅csx的部分图象的大致形状是( )
A.B.
C.D.

2. 已知i为虚数单位，z⋅21−i=1+2i，则复数z的虚部是( )
A.32B.32iC.12iD.12

3. 曲线y=xlnx在x=e处的切线的斜率为( )
A.1B.2C.−1D.−2

4. 若x，y满足x24+y23=1，则z=x+3y的最小值是( )
A.13B.−13C.15D.−15

5. 已知P(x, y)在椭圆x216+y29=1上，则x+y的最大值为( )
A.3B.4C.5D.6

6. 已知复数z=−1+2i2+i，则复数z的虚部为( )
A.iB.−iC.1D.−1

7. 已知集合A=1,2,3,4，B=x|−1≤x≤3，则A∩B=( )
A.x|1
8. 设函数fx=lg5x,x>0，3x,x≤0,则ff0等于( )
A.−3B.0C.1D.3

9. 在△ABC中，若b3csB=asinA，则csB等于( )
A.−12B.12C.−32D.32

10. △ABC中， a=2，b=3，C=π4，则△ABC的面积等于( )
A.322B.32C.3D.332

11. 已知x>0，y>0，若xy=3，则x+y的最小值为( )
A.3B.2C.23D.1

12. 已知向量a→=1,2,b→=−4,m，若a→与b→垂直，则实数m=( )
A.2B.−2C.−8D.8
二、填空题

已知fx=−12x2+2xf′2019−2019lnx，则f′1=________.
三、解答题

已知曲线C1的参数方程为x=4+5csty=5+5sint （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
(1)把C1，C2的方程化成普通方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ>0, 0≤θ<2π)．

千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的200天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d.
(1)根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关？

(2)小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天，再从这4天中随机抽出2天进行数据分析，求抽到的这2天中仅有1天出现“日落云里走”的概率．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E为PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)求证：平面AEF⊥平面PBC；

(2)求点B到平面PCD的距离．

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，点P的极坐标为2,π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；

(2)已知直线l：x=1−22t，y=1+22t（t是参数），若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求|PA|⋅|PB|的值．

已知函数fx=xex−x .
(1)求函数fx的单调区间；

(2)若函数gx=fx−12x2，求函数gx的极值．

已知椭圆的两个焦点分别为F1−2,0, F22,0，P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.
(1)求此椭圆的标准方程；

(2)若点P在第二象限， ∠F2F1P=120∘，求△PF1F2的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）期中考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：由f−x=−xcs−x=−xcsx=−fx，
所以fx为奇函数，排除A，C；
因为fx的大于0的零点中，最小值为π2，又因为fπ6=π6csπ6>0.
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
暂无
【解答】
解：因为z=1−i1+2i2=32+12i，
所以z的虚部是12．
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：y=xlnx的导函数为y′=1+lnx，
令x=e，求得斜率k=lne+1=2．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
椭圆的参数方程
三角函数的最值
【解析】
写出椭圆的参数方程x=2csθy=3sinθθ∈[0,2π),结合三角函数的最值，即可求出结果.
【解答】
解：因为x，y满足x24+y23=1，
所以椭圆的参数方程为x=2csθ,y=3sinθθ∈[0,2π),
所以z=x+3y=2csθ+3sinθ=13sinθ+φ，其中tanφ=23，
所以z的最小值为−13.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的正弦公式
椭圆的参数方程
【解析】
先根据椭圆方程设出x=4csθ，y=3sinθ，表示出x+y，利用两角和公式化简整理后，根据正弦函数的性质求得x+y的最大值．
【解答】
解：∵ P(x, y)是椭圆x216+y29=1上的一个动点，
设x=4csθ，y=3sinθ，
∴ x+y=4csθ+3sinθ=5sin(θ+φ).
∴ 最大值为5.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，z=−1+2i2−i2+i2−i=−2+4i+i−2i25=i，
则复数z的虚部为1．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
集合的含义与表示象限角、轴线角函数奇偶性的性质与判断 .
【解答】
解：因为集合A=1,2,3,4，B=x|−1≤x≤3，
所以A∩B=1,2,3 .
故选C .
8.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
根据分段函数解析式求解即可.
【解答】
解：因为f(x)=lg5x，x>0，3x,x≤0，
所以f(0)=30=1，
所以ff(0)=f1=lg51=0.
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
由csA=−12，可得A的值，再由正弦定理求得sinB的值，可得B的值．
【解答】
解：若b3csB=asinA，
则由正弦定理得sinB3csB=sinAsinA，
所以sinBcsB=3，
所以tanB=3，
因为0所以B=π3,
所以csB=csπ3=12.
故选B.
10.
【答案】
A
【考点】
三角形的面积公式
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：S=12absin C
=12×2×3×sin π4
=322．
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
基本不等式
【解析】
利用基本不等式的积定和最小进行求解.
【解答】
解：∵ x>0，y>0，
∴ x+y≥2xy，当且仅当x=y时取等号.
由题知xy=3，
∴ x+ymin=23.
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
本题考察平面向量垂直的坐标运算，主要是套用公式即可.
【解答】
解：∵a→与b→垂直，
那么根据两个向量垂直的坐标运算知
−4+2m=0，
解之得m=2.
故选A.
二、填空题
【答案】
2020
【考点】
导数的运算
【解析】
求导，令x=2019，求出f′2019=2020，代入导函数中，即可得到答案.
【解答】
解：函数的导数f′x=−x+2f′2019−2019x，
则f′2019=−2019+2f′2019−1，
∴ f′2019=2020，
∴ f′x=−x+4040−2019x，
则f′1=−1+4040−2019=2020.
故答案为：2020．
三、解答题
【答案】
解：(1)由x=4+5cst,y=5+5sint,
得x−4=5cst,y−5=5sint,
平方作和得(x−4)2+(y−5)2=25．
由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2−2y=0．
∴ C1的普通方程为(x−4)2+(y−5)2=25，
C2的普通方程为x2+y2−2y=0.
(2)联立(x−4)2+(y−5)2=25,x2+y2−2y=0,
解得：x=0,y=2 或x=1,y=1.
∴ C1与C2交点的坐标为(0, 2)，(1, 1)．
化极坐标为：(2, π2)，(2,π4)．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】
（1）把给出的参数方程移项后两边平方作和即可化为普通方程；把给出的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y即可化极坐标方程为普通方程；
（2）联立方程组求解交点的直角坐标，然后直接化为极坐标．
【解答】
解：(1)由x=4+5cst,y=5+5sint,
得x−4=5cst,y−5=5sint,
平方作和得(x−4)2+(y−5)2=25．
由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2−2y=0．
∴ C1的普通方程为(x−4)2+(y−5)2=25，
C2的普通方程为x2+y2−2y=0.
(2)联立(x−4)2+(y−5)2=25,x2+y2−2y=0,
解得：x=0,y=2 或x=1,y=1.
∴ C1与C2交点的坐标为(0, 2)，(1, 1)．
化极坐标为：(2, π2)，(2,π4)．
【答案】
解：(1)根据列联表，计算，
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
=200×90×30−10×702100×100×160×40=12.5>6.635，
所以有99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关.
(2)从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天，
则从出现“日落云里走”的天气中应抽取1天，
从未出现“日落云里走”的天气中应抽取3天，
随机抽出2天，总的情况数为6种，仅有1天出现“日落云里走”的情况数为3种，
所以根据古典概型的公式得P=36=12 .
【考点】
独立性检验
古典概型及其概率计算公式
分层抽样方法
【解析】


【解答】
解：(1)根据列联表，计算，
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
=200×90×30−10×702100×100×160×40=12.5>6.635，
所以有99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关.
(2)从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天，
则从出现“日落云里走”的天气中应抽取1天，
从未出现“日落云里走”的天气中应抽取3天，
随机抽出2天，总的情况数为6种，仅有1天出现“日落云里走”的情况数为3种，
所以根据古典概型的公式得P=36=12 .
【答案】
(1)证明：∵ PA⊥平面ABCD，
∴ PA⊥BC.
又底面ABCD为正方形，
∴ BC⊥AB.
∵ PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，
∴ BC⊥平面PAB.
∵ AE⊂平面PAB，
∴ BC⊥AE.
∵ PA=AB，E为PB中点，
∴ AE⊥PB.
∵ PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，
∴ AE⊥平面PBC.
又AE⊂平面AEF，
∴ 平面AEF⊥平面PBC．
(2)解：∵ AD//BC，AD=BC，
∴ VB−PCD=VA−PCD.
又VA−PCD=VP−ACD，
∴ VB−PCD=VP−ACD=13×12×4×4×4=323.
∵ S△PCD=12×42×4=82，
∴ 四棱锥B−PCD的高ℎ=3VB−PCDS△PCD=3282=22，
∴ 点B到平面PCD的距离为22.
【考点】
点、线、面间的距离计算
平面与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ PA⊥平面ABCD，
∴ PA⊥BC.
又底面ABCD为正方形，
∴ BC⊥AB.
∵ PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，
∴ BC⊥平面PAB.
∵ AE⊂平面PAB，
∴ BC⊥AE.
∵ PA=AB，E为PB中点，
∴ AE⊥PB.
∵ PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，
∴ AE⊥平面PBC.
又AE⊂平面AEF，
∴ 平面AEF⊥平面PBC．
(2)解：∵ AD//BC，AD=BC，
∴ VB−PCD=VA−PCD.
又VA−PCD=VP−ACD，
∴ VB−PCD=VP−ACD=13×12×4×4×4=323.
∵ S△PCD=12×42×4=82，
∴ 四棱锥B−PCD的高ℎ=3VB−PCDS△PCD=3282=22，
∴ 点B到平面PCD的距离为22.
【答案】
解：(1)由ρ=6sinθ，得ρ2=6ρsinθ，
又x=ρcsθ，y=ρsinθ，
∴ x2+y2=6y，
即曲线C的直角坐标方程为x2+y−32=9，
点P的直角坐标为1,1．
(2)把直线l的方程代入C方程，整理得t2−32t−4=0，
Δ=−322−4×1×−4>0，
设A、B对应的参数分别是t1，t2，则t1t2=−4，
于是|PA|⋅|PB|=|t1|⋅|t2|=|t1t2|=4．
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线的参数方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由ρ=6sinθ，得ρ2=6ρsinθ，
又x=ρcsθ，y=ρsinθ，
∴ x2+y2=6y，
即曲线C的直角坐标方程为x2+y−32=9，
点P的直角坐标为1,1．
(2)把直线l的方程代入C方程，整理得t2−32t−4=0，
Δ=−322−4×1×−4>0，
设A、B对应的参数分别是t1，t2，则t1t2=−4，
于是|PA|⋅|PB|=|t1|⋅|t2|=|t1t2|=4．
【答案】
解：(1)f′x=ex+xex−1=exx+1−1，
令f′x=0，即exx+1=1，
当x=0时，exx+1=1，f′x=0，
当x<0时，0∴ exx+1−1<0，即f′x<0，
当x>0时，ex>1，x+1>1，
∴ exx+1−1>0，即f′x>0
∴ 函数fx的单调递减区间为−∞,0，单调递增区间为0,+∞ ．
(2)函数gx=fx−12x2=xex−x−12x2，
∴ g′x=ex+xex−1−x=ex−1x+1 ．
令g′x=0，即ex−1x+1=0，
解得x=0或x=−1 .
当x∈−∞,−1时，g′x>0；
当x∈−1,0时，g′x<0；
当x∈0,+∞时，g′x>0 .
故gx在−∞,−1,0,+∞上单调递增，在−1,0上单调递减．
∴ 极大值为g−1=12−1e，极小值为g0=0．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′x=ex+xex−1=exx+1−1，
令f′x=0，即exx+1=1，
当x=0时，exx+1=1，f′x=0，
当x<0时，0∴ exx+1−1<0，即f′x<0，
当x>0时，ex>1，x+1>1，
∴ exx+1−1>0，即f′x>0
∴ 函数fx的单调递减区间为−∞,0，单调递增区间为0,+∞ ．
(2)函数gx=fx−12x2=xex−x−12x2，
∴ g′x=ex+xex−1−x=ex−1x+1 ．
令g′x=0，即ex−1x+1=0，
解得x=0或x=−1 .
当x∈−∞,−1时，g′x>0；
当x∈−1,0时，g′x<0；
当x∈0,+∞时，g′x>0 .
故gx在−∞,−1,0,+∞上单调递增，在−1,0上单调递减．
∴ 极大值为g−1=12−1e，极小值为g0=0．
【答案】
解：(1)∵ 2c=|F1F2|=4，
∴ c=2，
∴ |PF1|+|PF2|=2a=2|F1F2|=8，
∴ a=4，
∴ b2=a2−c2=16−4=12，
∴ 此椭圆的标准方程为x216+y212=1.
(2)设PF1=x，则PF2=8−x.
在△PF1F2中，
PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2⋅cs∠PF1F2，
∴ 8−x2=x2+16−2x⋅4×−12，
∴ x=125，
∴ S△PF1F=12PF1⋅F1F2⋅sin∠PF1F2=1235.
【考点】
椭圆的标准方程
正弦定理
余弦定理
椭圆的定义
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：(1)∵ 2c=|F1F2|=4，
∴ c=2，
∴ |PF1|+|PF2|=2a=2|F1F2|=8，
∴ a=4，
∴ b2=a2−c2=16−4=12，
∴ 此椭圆的标准方程为x216+y212=1.
(2)设PF1=x，则PF2=8−x.
在△PF1F2中，
PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2⋅cs∠PF1F2，
∴ 8−x2=x2+16−2x⋅4×−12，
∴ x=125，
∴ S△PF1F=12PF1⋅F1F2⋅sin∠PF1F2=1235.